|
x, y,...,z elementlar sistemasining maksimal chiziqli erkli soniga teng. Xususan
agar elementlar
x, y,..., z
elementlar chiziqli erkli bo`lsa, u holda
L( x, y,..., z)
chiziqli qobiqning o`lchovi
x, y,..., z
elementlar soniga teng.
Qism fazoning yig`indisi va kesishmasi.
L1 va L2
R fazoning ikkita ixtiyoriy qism fazosi bo`lsin. R fazoning bir paytda
L1 va L2
da yotuvchi x elementlari to`plami R fazoning qism fazosi bo`ladi va u
L1 va L2
fazolarning ko`paytmasi deyiladi.
R fazoning barcha y
z ko`rinishdagi elementlari to`plami, bunda y
L1 fazoning
elementi z esa
L2 fazoning elementi R fazoning qism fazosi bo`ladi va u
L1 va
L2 fazolarning yig`indisi deyiladi.
Misol. R uch o`lchovli fazodagi barcha erkin vektorlarning chiziqli fazosi, L1
Oxy tekislikka parallel bo`lgan barcha erkin vektorlarning qism fazosi, L2
esa Oxz
tekislikka parallel bo`lgan barcha erkin vektorlarning qism fazosi bo`lsin. U holda
L1 va L2
fazolarning yig`indisi R fazoning o`zidan, fazolarning kesishmasi esa
Ox o`qiga parallel bo`lgan barcha erkin vektorlar to`plamidan iborat.
teorema. Chekli o`lchovli R chiziqli fazoning
L1 va L2
qism fazolarining
o`lchovlarining yig`indisi, ushbu qism fazolar kesishmasi va yig`indisini o`lchovlari yig`indisiga teng.
L1 va L2
Chiziqli fazoni qism fazolarning to`g`ri yig`indisiga yoyish.
n o`lchovli R fazoning qism fazolari bo`lsin.
1-ta`rif. R fazo
L1 va L2
qism fazolarning to`g`ri yig`indisi orqali ifodalanadi
deyiladi, agarda R fazoning har bir x elementi yagona usul bilan
x x1 x2
ko`rinishda ifodalansa. Bunda x1
L1 fazoning
x2 esa L2
fazoning elementi.
Bu hol
R L1 L2
ko`rinishda belgilanadi. Oxirgi tenglik R fazoning
L1 va L2
fazolarning to`g`ri yig`indisiga yoyilmasi deyiladi.
R uch o`lchovli erkin vektorlar fazosi,
L1 esa Oxy tekisligiga parallel bo`lgan
barcha vektorlar fazosi
L2 esa Oz o`qiga parallel bo`lgan barcha vektorlar fazosi
bo`lsa, u holda R L1 va L2 fazolarning to`g`ri yig`indisidan iborat bo`ladi.
Teorema. n o`lchovli R fazo
L1 va L2
qism fazolarning to`g`ri yig`indisidan iborat
bo`lishi uchun , ularning kesishmasi faqat nol elementdan va R ni o`lchovi
L1 va
L2 fazolar o`lchovlari yig`indisidan iborat bo`lishi etarli.
Endi n o`lchovli chiziqli fazoda bazis o`zgarganda koordinatalarni o`zgarishi
va bazislarni almashtirishni qaraylik.
e , e ,..., e va e1 ,e1 ,..., e1
lar n o`lchovli R chiziqli fazodagi 2 ta ixtiyoriy bazislar
1 2 n 1 2 n
bo`lsin. R fazoning ixtiyoriy elementi har ikki bazis orqali ham ifodalanadi. Faraz
qilaylik
e1 ,e1 ,..., e1 elementlar e , e ,..., e
lar orqali quyidagicha ifodalansin:
1 2 n 1 2 n
e1 a e a e
...
a e ,
e
a
1
2 21e1 a22e2 ...
a2 nen ,
(1)
.......... .......... .......... .......
e1 a e a e
...
a e .
n n1 1
n 2 2
nn n
holda birinchi
e , e ,..., e bazisdan e1 ,e1 ,..., e1
bazisga o`tish matritsasi
1 2 n 1 2 n
quyidagi ko`rinishda bo`ladi:
a11
a12
...
a1n
A a21
...
an1
a22
...
an 2
...
...
...
a2 n
...
ann
(2)
Bu matritsaning d determinanti noldan farqli ikkinchi bazisdan birinchi bazisga
o`tish matritsasi B A matritsaga teskari matritsa bo`ladi. Ma`lumki, A matritsaga
teskari matritsa
A11 / d
B A12 / d
...
A1n / d
A21 / d A22 / d
...
A2 n / d
...
...
...
...
An1 / d An 2 / d
...
Ann / d
Aij
esa A matritsaning
aij elementining algebraik to`ldiruvchisi.
(1) ning birinchi tenhligini
A1 j
ga, ikkinchisini
A2 j
ga va hakazo n -sini esa
Anj
ko`paytirib, so`ngra ularni qo`shib quyidagi tenglikni hosil qilamiz.
e1 A
e1 A
n
e (a A a A
....
a A )
1 1 j
2 2 j
nj i
i 1
1i 1 j
2 i 2 j
ni nj
i ustun elementlarini mos j ustun algebraik to`ldiruvchisiga ko`paytmalari
yig`indisi i
j bo`lganda nolga tengligini hisobga olsak ( i j
da d ga teng)
Oxirgi tenglikdan
e1 A
e1 A e d
e
e
1
ej 1
yoki
1 ....
e1 , j
1,2,..., n
n
2
e A11 e1
A21 e1
....
e1 ,
e A12 e1
A22 e1
....
e1 ,
e
.......... .......... .......... .......... ....
e
e
e
1 1
n 1 2
.... 1
n
(4) formula
e1 ,e1 ,..., e1 bazisdan e , e ,..., e
bazisga o`tish matritsasi A matritsaga
1 2 n 1 2 n
teskari matritsa orqali o`tishni ifodalaydi. Bu A matritsaga teskari matritsani A 1
orqali belgilaymiz.
Bazis almashritganda koordinatalar orasidagi munosabat.
Maxsusmas (2) matritsa orqali
e , e ,..., e bazisdan e1 ,e1 ,..., e1
bazisga o`tilgan
1 2 n 1 2 n
bo`lsin. U holda bazislarni teskari almashtirishiga (3) matritsa mos keladi x
qaralayotgan R chiziqli fazoning ixtiyoriy elementi bo`lsin.
(x1 , x2 ,...,xn )
esa uni
e , e ,..., e
bazisdagi koordinatasi
(x1 , x1 ,...,x1 )
esa
e1 , e1 ,..., e1
bazisdagi
1 2 n
1 2 n
1 2 n
koordinatasi bo`lsin, ya`ni
x x1e1
x1e1
...
x1 e1 x e
x e ... x e
1 1 2 2 n n 1 1 2 2 n n
e1 , e2 ,..., en
lar o`rniga ularni (4) dagi ifodalarini qo`yib
x x1e1
x1 e1
...
x1 e1
x ( A11 e1
A21 e1
...
e1 )
1 1 2 2
n n 1 d 1 d 2 n
x ( A12 e1
A22 e1
...
e1 )
...
x ( A1n e1
e1 ...
e1 ).
2 d 1 d 2 n n d 1 2 n
Oxirgi tenglikdan
Do'stlaringiz bilan baham: | 
