Vazirligi nizomiy nomidagi toshkent davlat pedagogika universiteti a. A. Normatov matematika tarixi

a)x,

a ² (1

a)x,....

_y p p p

2 p p

x ^q , a ^q x ^q , a ^q x ^q , ....

_y (1

p q

a)x ^q , (1

p q p q

a)a ^q x ^q ,

₂ p q p q

(1 a)a ^q x ^q , ...

p q

x

y x
1 a _q p q

1 a ^q

61

Polosalar kichrayganda tirish bajaradi. Natijada

p q

x ^q aniqmas bo’lishini yo’qotish uchun a

b^q almash-

Limit xolatida a

p q

1 b 1 bo’lib, x ^q

Xuddi shunga o’xshash

x hisoblanadi.

x

Cheksiz kichiklar ustida algebrik muxokama usulida foydalangan yana bir olim London qirollik jamiyatining asoschisi Oksford universitetining professori Djon Vallis (1616-1703). 1655 yili “Cheksizlar arifmetikasi” asarini e’lon qiladi. Bu asarida u Kavalьeri erishgan natijasini to’liqmas matematik induktsiya yordamida ixtiyoriy butun k uchun chiqaradi, ya’ni:

1

x^m dx

0

Umuman Vallis algebradan analiz tomonga qadam qo’ygan birinchi matema- tikdir. U cheksiz qatorlar va cheksiz ko’paytmalar bilan bemalol ish yurita olgan:

mavxum ifodalar, manfiy va kasr ko’rsatkichlar,

boshqalar.

¹ o’rniga belgini ishlatish va

0

2 2 4 4 6 6 8 8 ...

ko’rinishni olgan.

2 1 3 3 5 5 7 7 9 9 ...

Umuman 1630-1660 yillar orasida ishlagan barcha matematiklar a^t uⁿ = bⁿ x^t

ko’rinishdagi algebrik chiziq bilan bog’liq bo’lgan masalalar bilan shug’ullanganlar.

a

Xar biri t butun musbat, so’ng manfiy va kasr hollar uchun

chiqarishgan (turli usullar bilan).

x^mdx

0

formulani

Ba’zan algebrik bo’lmagan chiziqlar ham paydo bo’la boshlagan (Dekart, Paskalь – “ruletta”).

Endi differentsial metodlar bilan tanishaylik. Differentsiallash yordamida echiladigan masalalar:

1. 
   egri chiziqqa urinma o’tkazish;
   
2. 
   funktsiyaning ekstremumlarini topish;
   
3. 
   algebrik tenglamalarning karrali ildizlarini mavjudlik shartlarini topish;
   
4. 
   Xarakat traektoriyasining istalgan nuqtasida tezlikni topish (mexanika masalasi).
   

Bu borada ko’p ishlar qilgan olimlardan: o’aliley, Torichelli, Dekart, Ferma

0 Vallis, Borrou va boshqalar. Oxirgisining ishi bilan tanishaylik.
Vallisning shogirdi Isaak Borrou (1630-1677) Kembridj universitetining professori

,1669 yilda “o’eometriya va optikadan lektsiyalar” asarini e’lon qildi. Bunda u yuza-

62

larga oid masalalar bilan o’rinma o’tkazish masalalari o’zaro teskari aloqadorlikda ekanligini geometrik faktlar asosida bayon etadi.Buning mazmuni quyidagicha:
L I K

OF va OE egri chiziqlar berilgan bo’lsin. E va F nuqtalar umumiy abstsissaga ega.

х

Egri chiziqlar DF x R = S_ODE yoki Ry=

0

shart bilan bog’langan. U holda urinma osti

DT uchun yoki DT=R ^DF yoki R ^DГ =DE,

DE DT ^O

ya’ni, R ^dv

dx

v . Bu teoremani Borrou ikki

xil usulda isbotlaydi. ^o’

1. 
   kinematik usul. 7-rasm
   
2. 
   geometrik usulda: DT=R ^DF shartni qanoatlantiruvchi FT to’g’ri chiziq
   

DE

o’tkazilgan. Shu FT to’g’ri chiziq urinma ekanligi isbotlanishi kerak, ya’ni to’g’ri chi- ziqning F atrofidagi nuqtalari egri chiziqdan bir tarafda yotishini ko’rsatishimiz ke- rak. Egri chiziqning I nuqtasi orqali LJK va JKL to’g’ri chiziqlari OX o’qiga parallel qi- lib o’tkazamiz. U holda S_PDEG = R x LF.

Shakldan (yasalishiga ko’ra) ^{LК DT}

LF DF

^R bundan LKxDF=RxLF=S

DE

PDEG^xOE

egri chiziqning monotonligini e’tiborga olsak, u holda S_PDEGx>/Shu natijaga asoslanib Borrou urinma masalasiga teskari bo’lgan masalalarni ko’plab echadi. Bularning hammasi differentsial va integral tushunchalarni o’zaro teskari bog’lanishida ekanligini ko’rsatadi (kiyin geometrik formada bayon etilgan).

Bu fikrni rivoji tez orada Nьyuton va Leybnits asarlarida o’z ifodasini topadi. o’reklarning va Kfvalьerining geometrik metodlari hamda Dekart va Vallisning al- gebrik metodi bilan qurollangan Nьyuton va Leybnitslar differentsiallash va inte- grallashning umumiy metodini va ularni o’zaro teskari munosabatda ekanligini ochishdi.