|
СС1 АВ
СС А В
rasm
А С В
1 1 1
Endi faraz qilaylik bu teng burchaklar quyidagicha bo’lsin:
o’tmas bo’lsin – bu tezda qarama-qarshilikka olib keldi;
to’g’ri bo’lsin – Evklid aksiomasi bo’ladi;
o’`tkir bo’lsin – bunga Sakkeri fikricha qarama-qarshilik bo’lib, parallellik aksiomasi isbot bo’lar edi. Lekin mantiqiy davom ettirish qiziq natijalariga olib bor- moqda, qarama-qarshilik esa yo’q edi.
Bunga o’xshash urinishlar juda ko’p bo’lgan. 1763 yili Klyugelь bunday urinish- larni jamlab tahlil qiladi va Evklid bu aksiomani juda to’g’ri joyiga qo’ygan deb xulo- sa qiladi.
Bu sohadagi so’nggi ishlardan biri 1776 yili Lambert e’lon qilgan maqoladir: “Parallel chiziqlar nazariyasi”. U Sakkeri - Klyugelь ishlaridan foydalanib, to’rtburchakni modifikatsiya qiladi, ya’ni
АА1
АВ,
ВВ1
АВ,
А1В1
АА1 va masalani V1 burchakning kattaligini aniqlashga olib
boradi.
75
U ham to’g’ri burchakda – Evklid geometriyasiga, o’tmas burchakda – qarama qarshilikka uchraydi.
Bu kabi ko’plab ishlar natijasida “Boshlang’ichlar” o’quv darsligi sifatida ya- roqliligi shubha ostiga olindi. Natijada Angliyada, o’ermaniyada engillashtirilgan bayoni berildi. Frantsiyada esa Dalamber, Bezu, Lejandr, Lakrualar tomonidan boshlang’ich va o’rta maktablar uchun maxsus darsliklar yozdilar. Bu darsliklar u yo- ki bu darajada Evklid sxemasidan tashqariga chiqdilar. Aynan shu darsliklar bizning hozirgi tipdagi geometriya darsliklarimizning namunalaridir:
o’lchov va harakat kiritildi (Evklidda yo’q);
arifmetika metodlari kiritildi, nisbat va proportsiyalarga arifmetik mazmun kiritildi natijada 5-kitobga zarurat qolmadi;
algebraik belgilar va algebra elementlarining kiritilishi natijasida 2- kitobga zarurat qolmadi;
radikallarni qo’llanilishi natijasida 10-kitobga zarurat qolmadi.
Natijada Evklidning "Boshlang’ich"lari keng o’quvchilar ommasi uchun tushu- narli va amaliy ehtiyojlar uchun qulay bo’lgan elementar geometriya kursiga aylan- di.
Tekshirish savollari:
XVIII asr matematikasini rivojlanishida FA va davriy nashrlarning roli qan- day?.
Rossiyada matematikani rivojlanishida Eylerning roli qanday?.
Matematikani boshqa sohalarini vujudga kelishida kimlar boshlovchilik qi- lishgan?
Funktsiya tushunchasi qanday shakllangan va rivojlangan?
XVIII asr matematikasining asosiy xarakterli yo’nalishlari qanday?
4-§. Noevklid geometriya
Reja:
XIX asrgacha bo’lgan geometriyaning xolati.
Noevklid geometriyaning kashf etilishi.
o’eomertik sistemalarni interpritatsiyalash muammolari.
o’emetriyani (matematikani) aksiomatik kurash muammolari.
asr boshiga kelib geometriya fani etarlicha rivojlangan mustaqil bo’limlariga ega bo’lgan fan sifatida shakllanadi. Analitik gemetriyaning o’.Darbu tomonidan, differentsial geometriyani o’auss tomonidan, proektiv geometriyani J. Ponsele, Shteyner, Shalь, Shtaudt, Myobida, Shtudi, Kartanlar tomonidan, so’ngroq esa Lobachevskiy geometriyasi va bundan keyin A. Kelli va F. Kleyn tomo- nidan rivojlantirildi.
Ayniqsa, Lobachevskiy geometriyasining ta’siri umuman geometriyani sifat jixatdan yangi mazmunga olib chiqdi va hozirgi zamon formasiga keltiradi.
76
Noevklid geometriyaning asoschisi Nikolay Ivanovich Lobachevskiy (1792- 1856) Nijniy Novgord shaxrida amaldor oilasida tug’ildi. 1811 yili ªozon universitete- ni tugatib, shu erda ishlay boshladi. 1816 yili professor bo’lib, 1827-46 yillarda rektor bo’lib ishladi. Uning matematika sohasidagi serqirra ijodi quyidagi ilmiy ishlar bilan ifodalangan:
Algebra yoki cheklilarni qisoblash (Algebra ili vыcheslenie konechnыx) 1834, Trigonometrik satrlarni yo’qolishi haqida (Ob ischeznovanii trigonometricheskiy strok) 1834, Cheksiz qatorlarni yaqinlashishi haqida 1841, Ba’zi aniq integrallarini ahamiyati haqida (O znachenii nekotorыx opredelyonnыx integralov) 1852 va bosh- qalar.
Lekin Lobachevskiyga shuxrat keltirgan kashfiyot geometriya sohasidir.
1826 yili 11 fevralda fizika-matematika bo’limining yig’ilishida “Sjatoe izlojenie osnov geometrii so strogim dokazatelstvom teoremы o parallelnыx” ma’ruza qildi.
Keyinchalik ishlarni rivojlantirib 1835 yili Tasavvurimizdagi geometriya, Ta- savvurimizdagi geometriyaning ba’zi integrallarga tadbiqi 1836, Parallellarning to’liq nazariyasi bilan geometriyaning yangi boshlanishi 1834-38, o’eometrik tekshi- rishlar 1840, Pangeometriya 1855 asarlarni yozdi.
Lobachevskiyning noevklid geometriyasining boshlanishi 5-postulatni quyi- dagi aksioma bilan almashtirishdan boshlanadi: berilgan to’g’ri chiziqda yotmagan nuqta orqali shu tekislikda yotib u bilan kesishmaydigan bittadan ortiq to’g’ri chiziq o’tkazish mumkin. Natijada qarama-qarshilik bo’lmagan, mantiqan qat’iy va ketma- ketlikda bo’lgan xulosalar sistemasi, yangi, qozircha noqulay bo’lgan geometriyaga olib kelishini ko’radi.
Lobachevskiy geometriyasining absolyut qismi Evklid geometriyasi bilan deyarli bir xil. Parallelik aksiomasi ishlay boshlagandan boshlab ish o’zgaradi.
Jumladan quyidagi teoremalar:
parallel to’`g’ri chiziqlarni joylanishi;
uchburchak va ko’pburchaklar ichki burchaklarining yig’indisi;
yuzalar;
aylanaga ichki va tashqi chizilgan ko’pburchaklar;
figuralarning o’xshashligi va tengligi;
trigonometriya;
Pifagor teoremasi;
doira va uning bo’laklarini o’lchash.
Bu teoremalarda Lobachevskiy geometriyasi Evklid planametriyasidan far- qlanadi. Shularning ba’zilari bilan tanishaylik. Lobachevskiy aksiomasidan shu narsa ma’lum bo’ladiki, berilgan nuqta orqali o’tuvchi to’g’ri chiziqlar cheksiz ko’p. Ular dasta tashkil etadi. Demak, dastaning chegaraviy to’g’ri chiziqlari mavjud: OV va OV1. Mana shular O1A ga parallel deb ataladi. Endi parallellikni yo’nalishini aniqlay- lik. Parallellik yo’nalishida to’g’ri chiziqlar bir-biriga yaqinlashadi aksincha esa uzoq- lashadi. Parallellik burchagi alьfa berilgan nuqtadan to’g’ri chiziqqacha bo’lgan OO1 masofaning kattali-
77
rasm
giga bog’liq, ya’ni x 0 bo’lsa, u xolda
( x); tg
( x) 2
Do'stlaringiz bilan baham: |
