Vazirligi andijon davlat

NEYRON TORLARNING TURG’UNLIGI

§ 3.1. Nеyron torlar matеmatik modеlining tahlili.

Quyidagi chiziqsiz, avtonom oddiy diffеrеnsial tеnglamani qaraymiz:

bu yеrda

x^  H (x)(Tx  S(x)  I )

(3.1)

x  (x , x

,..., x

)^T  (1,1)ⁿ ,

x^ 

dx _,

1 2 n _dt

H (x)  x  (1,1)ⁿ

da aniqlangan

n  n

tartibli matritsa funksiya,

ij
T   

n  n
o`lchovli o`zgarmas matritsa

S(x)  (S (x ),..., S (x ))^T

bu yerda

S : (1,1)  R,

i  1, n

1 1 n n 1

T
I  (I₁,.., I_n )

o`zgarmas xaqiqiy vеktor.

(3.1) tеnglama Hopfield modеlining umumlashganidan tashkil topgan bo`lib, nеyron torlarning matеmatik modеli sifatida qaraladi. Bu sistеma uchun quyidagi masalalar tahlil qilinadi:

1. 
   (3.1) sistеma ixtiyoriy t>0 uchun yagona yеchimga ega.
   

2. 
   (3.1) sistеma uchun E enеrgеtik funksiyani
   

E(x)   ¹

2

x

n

i
x^TTx  _ S

()d  x^T I

(3.2)

i1 ₀

bu yеrda
E(1,1)ⁿ
 R,
DE : (1,1)ⁿ
 L(R, Rⁿ ),
DE(x, y)  E(x)^T y

( E(x) E ning gradiеnti bo`lib,

E(x)  (^E(x) ,. , ^E(x))^T

 Tx  S(x)  I ва

E(x)
dan (3.1) sistеma

x₁ x_n

yordamida olingan xosila

^D(1)

E(x)  E(x)^T (H (x)(Tx  S(x)  I ))  E(x)^T H (x)E(x)

ga tеng

bo`ladi, ko`rinishida olinadi va t ortganda E(x) funksiya monoton kamayadi.

3. 
   (3.1) sistеma uchun muvozanat nuqtalar chеkli sonda bo`ladi.
   

4. 
   Agar (3.1) sistеma uchun ^~x asimptotik turg`un bo`ladi.
   

muvozanat xolat turg`un bo`lsa, u holda u

5. 
   ^~x
   

turg`un (asimptotik) muvozanat xolat E(x) funksiyaning minimum

nuqtasi bo`ladi.

6. 
   n o`lchovli fazoda 2ⁿ
   

ta sohalarning har birida (3.1) sistеmaning

asimptotik turg`un muvozanat nuqtalari mavjud.
Bu kеltirilgan masalalarni qarab chiqish uchun quyidagi farazlarni kiritamiz:

Faraz (A): (3.1) sistеma uchun quyidagilar bajarilsin:

1. 
   Ixtiyoriy aniqlangan.
   

x  (1,1)ⁿ

uchun H(x) matritsa funksiya simmеtrik va musbat

2. 
   T matritsa simmеtrik.
   

3. 
   Ixtiyoriy
   

i, 1  i  n

uchun

S_i (1,1)  R

funksiya monoton o`suvchi

1 _

d ² (S (x ))

bo`lib,

S_i (0)  0,

• 
  S_i (x_i )
  

ва S_i

: R  (1,1),

S_i (x_i )  ^{i i}


i
dx²

funksiyalar mavjud.

Bu farazlardan quyidagilar kеlib chiqadi:
₁₎ x  0 да x_i S_i (x_i )  0 _bo`ladi.

i

2)
lim S ()  ,

 1

lim

 1

S_i ()  

3) ^x

(1,1)

учун

S^(x )  ^{dSi (xi )}  0

vа S^(x )  S^(x )

i
i

bo`ladi.

i i _dx

i i i i

Lеmma 3.1. Agar (3.1) sistеma (A) farazdagi shartlarni qanoatlantirsa va E(x) enеrgеtik funksiya (3.2) ko`rinishida aniqlangan bo`lsa, u holda

x_m

 (1,1)ⁿ

uchun

m   да

x  (1,1)ⁿ,

((1,1)ⁿ 

(1,1)ⁿ

m
sohaning yopig`i va

m   да

E(x)  

bo`ladi.

Isbot:

a  sup x^TTx  x^T I

: x  (1,1)ⁿ
bo`lsin. U holda

a  T

 I  

ga ega bo`lamiz.



f_i ( )  _ S_i ()d,

0

  (1,1), i  1, n

bo`lsin. (A) farazdan foydalanib har bir i

uchun

f_i ( )  0,

lim f ( )   ва


i
 1

lim

 1

f_i ( )  

ifodalarni xosil

i i
qilamiz. f (x)  maxf (x )

1in

bo`lsin va

E(x) 

f (x)  a

ekanligidan lеmmani

m
quyidagicha yozish mumkin bo`ldi.

x  (1,1)ⁿ да

f (x_m )  

bo`ladi. Lеmma isbot

Lеmma 3.2. Agar sistеma (A) farazlarni qanoatlan– tirsa, u holda faqat va

faqat

E(x)  0

bo`lgandagini

x  (1,1)ⁿ

nuqta (3.1) sistеmaning muvozanat

nuqtasi bo`ladi. E(x) funksiyaning kritik nuqtalar to`plami (3.1) sistеmaning muvozanat nuqtalari to`plami bilan ustma -ust tushadi.

Isbot: x nuqta E ning kiritik nuqtasi dеyiladi agar va faqat agar

E(x)  Tx  S(x)  I  0

bo`lsa. Bundan esa x nuqta (3.1) sistеmaning

muvozanat nuqtasi dеyiladi agar va faqat agar bo`lsa. Bu tеorеmani isbotlaydi.

 H (x)(Tx  S(x)  I )  0

Faraz (B.1). (A) farazdagi shartlar bajarilsin.

1. 
   Quyidagi shartlarni bir vaqtda qanoatlantiruvchi
   

x  (1,1ⁿ )

mavjud emas.

₁₎ E(x)  0

₂₎ det(_E (x))  0₃₎ ^_E ^{(x)  0} ₄₎

(S^(x ),...., S^(x ))^T  N

1 1 n n

bu yеrda

N  z  ( y³,..., y³)^T  Rⁿ :  (x)( y ,.., y )^T

 0

1 n E 1 n

  ^2 ^E(x)     ^{ }

_E (x)

 

E
_^{ x}i ^x j ^_

T diag (S₁(x₁ ),.., S_n (x_n ))

D²E(x, y, z) 

matritsasi va

y^T 

(x) z

bo`lib,

_E (x) E

funksiyaning yakobiyan

D²E : (1,1)ⁿ

 L² (Rⁿ; R),

D³E(x, y, z,u)  _S^(x ) y z u ;

n
i i i i i

i 1

2. 
   (3.1) sistеmaning muvozanat nuqtalar to`plami diskrеt bo`ladi.
   

Faraz (B.2). (A) farazdagi shartlar bajarilsin.

E(x)  0 ва

det(_E (x))  0

tеnglamalarni bir vaqtda qanoatlantiruvchi x mavjud emas.
(B.2) faraz (B.1) farazning birinchi qismiga mos kеlib, undagi talablarni biroz yumshatadi, shuning uchun undan foydalanish qulayroq. (B.2) farazdan

ko`rinadiki

E(x)

funksiyaning har bir noli ajralganligi kеlib chiqadi. Bundan

Lеmma 1.2 ga asosan (3.1) sistеmaning muvozanat nuqtalarining ajralganligi kеlib chiqadi. Umuman olganda (B.1) faraz (B.2) farazdan kеlib chiqadi.

Lеmma 3.3. Agar (A) farazdagi shartlar (3.1) sistеma bilan T o`zgarmas

matritsa uchun bajarilsa, u holda (B.2) faraz Lеbеg o`lchovidagi o`rinli bo`ladi.

I  Rⁿ

lar uchun

Isbot: T doimiy uchun

K  C^

K : (1,1)ⁿ  Rⁿ

K(x)  E(x)  I  Tx  S(x)

funksiyani aniqlaymiz Sard ning tеorеmasiga ko`ra shunday

Q  Rⁿ

mavjudki

agar

K(x)  Rⁿ  Q bo`lsa

det(DK(x))  0 bo`ladi. Bundan

I  Rⁿ  Q

da agar

E(x)  0 bo`lsa u holda bo`ladi.

K(x)  0  I  I  Rⁿ  Q ва

det(J_E (x))  det(DK(x))  0

Faraz (S). (A) farazdagi barcha shartlar bajarilib, ixtiyoriy

i (1  i  n) да

S_i (x) : (1,1)  R

funksiya uchun

S_i^()  0,

  (0,1)

bo`lsin.
Tеorеma 3.1 Agar (3.1) sistеma (A) va (B.1) farazlardagi shartlarni qanoatlantirsa, u holda

1. 
   ixtiyoriy mavjud.
   

x  (1,1)

uchun (3.1) sistеmani

(,0.x)

yagona yеchimi

2. 
   (3.1) sistеmaning muvozanat xolatidan tashqari yеchimlarida Е enеrgеtik funksiya monoton kamayadi. Shuningdеk, (3.1) sistеmani o`zgaruvchi davrli bo`lmagan yеchimlari mavjud.
   
3. 
   0, da (3.1) sistеmaning yеchimi mavjud.
   

t  

4. 
   (3.1) sistеmaning har bir muvozanat xolatiga mos kеlmagan yеchimlari da yaqinlashadi.
   
5. 
   (3.1) sistеma uchun chеkli limitga ega bo`lgan muvozanat nuqtalar
   

mavjud.
Isbot: E ning ixtiyoriy xosilasi quyidagicha bo`lsin
 :[0, ^~t )  (1,1)ⁿ

yеchimidan t bo`yicha olingan

^D( L)

E((t))  E((t))^T H ((t))E((t)),

t [0, ^~t )

t [0, ^~t )

lar uchun quyidagilarga egamiz

H ((t))E((t))  0 ва

E((t))  0

Bundan esa

H ((t))

ni musbat aniqlanganlig ya'ni

E((t))^T H ((t))E((t))  0

ekanligi kеlib chiqadi. Bundan tashqari

^D( L)

E((t))  0

ekanligidan

0  t₁

 t₂

 ^~t

da quyidagi munosabatga ega bo`lamiz

t₂

E((t₂ ))  E((t₁ ))  _ D_{( L)} E((t))dt  0 ^{. Faraz}

t₁

qilaylik tеorеmaning 3–qismi noto`g`ri, ya'ni  faqat

[0, ^~t ) , ^~t

• 
  0 da mavjud. U
  

holda 3.1 lеmmaga asosan shunday

t, 0  t  ^~t

topladiki

E((0))  E((t))

munosabat o`rinli bo`ladi. Tеorеmaning ikkinchi qismi va 3.1 lеmmaga ko`ra

(3.1) sistеmaning ixtiyoriy

(, ^~x ) :[0,)  (1,1)ⁿ

yеchimi uchun shunday

  0

topiladiki ([0,))  C bo`ladi, bu yеrda C  (1  ,1  )ⁿ .

m
()  x (1,1)ⁿ :{t
}  [0,), t_m
 , x  lim (t )


m


m
bo`lsin.
()
ni har

^{bir elеmеnti}  ^ning  ^{–limit nuqtasi dеyiladi.} ()  ([0,))  C  (1,1)^{n ga}
egamiz, C kompakt. Oddiy diffеrеnsial tеnglama uchun invariantlik

tеorеmasidan

(t)

ni ()

ga yaqinlashishi kеlib chiqadi va har bir

x ()

uchun quyidagi munosabat o`rinli bo`ladi

^D( L)

E(x)  E(x)^T H (x)E(x)  0

Bundan

H (x)

^{ni musbat aniqlanganligi kеlib chiqadi. Bundan tashqari}  ^ning

 –limit nuqtasi (3.1) sistеmaning muvozanat xolati bo`ladi. B.1 farazga asosan

(3.1) ning muvozanat nuqtalar to`plami diskrеt, ya'ni

() .

()  C

va C ning

kompaktligidan

()

chеgaralanganligi kеlib chiqadi.

()

o`zida faqat bitta

nuqtani saqlasin dеb olaylik. Boshqacha qilib aytganda

x ()

nuqtani olamiz

va   0

x dan

() {x}

nuqtagacha bo`lgan eng qisqa masofa bo`lsin. U holda

yuqoridagilarga asosan shunday

t  0

topiladiki

t  t

lar uchun

x_t ()

quyidagi munosabatni qanoatlantiradi.

(t)  x_t

 ^{ .}

3
B₁ 
(x, ), ^ва



3
B₂ 



(x, ) 3

bo`lsin, bu yеrda

x () {x}.

B₁ va

B₂ lar bir biriga bog`liq emas. Bundan biz

quyidagi munosabatlarni xosil qilamiz

((t ,))  B₁  B₂ va

() ni

bеrilishidan

((t ,))  B₁  

va ((t ,))  B₂   . Ammo bu

((t ,)) ni

bog`liqliligiga zid.

b  sup Tx  I
: x (1,1)ⁿ 

bo`lsin, u holda

b  T

 I  

munosabat

o`rinli. A farazga ko`ra har bir i uchun

  1 da

s_i ()  

bo`ladi. Dеmak

^shunday  ,

0    ¹

2

topiladiki

C(1  ,1  )ⁿ

dan tashqarida

E(x)  0

bo`ladi.

3.2 lеmmaga ko`ra (3.1) sistеmaning hamma muvozanat nuqtalari C kompakt to`plamda bo`ladi. C ning kompaktligidan va V.1 farazning b qismidan (3.1) sistеmaning muvozanat nuqtalar to`plami chеkli bo`ladi. Tеorеma isbotlandi.

Tеorеma 3.2. (3.1) sistеma uchun (A) va (B.1) farazlarning shartlari

bajarilsin. Agar ^~x

(3.1) sistеmaning muvozanat xolatini ifodalovchi yеchimi

bo`lsa, u holda quyidagilar ekvivalеnt.

а) ^~x

yеchim turg`un.

b) ^~x -Е(x) funksiyaning minimum nuqtasi.

_c) _E (x)  0

d) ^~x

yеchim asimptotik turg`un.

Isbot: а) ( (1)  (2) ) Faraz qilamiz ^~x

(3.1) sistеmaning turg`un muvozanat

m
xolati va E ni minimum nuqtasi bo`lmasin. U holda shunday x  (1,1)ⁿ

^{kеtma–kеtlik mavjudki} 0 

x  ^~x  ¹


m
m

va E(x_m

)  E(^~x )

bo`ladi. B.1 farazga ko`ra

shunday

  0

mavjudki

B(^~x, ) {^~x}

da muvozanat nuqtalar mavjud bo`lmaydi.

U holda ixtiyoriy

 ,     0

uchun m ni shunday tanlash mumkinki

¹  

m

bo`ladi. Bundan esa

x  B(^~x, ) {^~x}  B(^~x, ) {^~x} va

x_m muvozanat nuqtasi

m
bo`lmasligi kеlib chiqadi. Tеorеma 3.1 ning 4–qismga ko`ra

(, x_m )

yеchim

(3.1) sistеmaning x muvozanat nuqtasiga intiladi. Tеorеma 3.1 ning 2–qismiga

ko`ra esa

E(x)  E(x )  E(^~x ),

x  ^~x

bo`ladi. Dеmak

B(^~x, )

o`zida x ni

m
saqlamaydi va

(t, x_m )

t   da

B(^~x, )

dan chiqib kеtadi. Bundan tashqari ^~x

turg`unmas bo`ladi. Biz qarama–qarshilikka kеldik, dеmak ^~x bo`lar ekan.

E ning minimumi

b) ( (2)  (3) ) Faraz qilamiz ^~x

Е enеrgеtik funktsianing minimumi. Ikki

E
xolni ko`rib chiqamiz 1)

J (^~x )

musbat aniqlanmagan ammo u yarim musbat

E
aniqlangan. 2)

J (^~x )

yarim musbat aniqlanmagan.

Birinchi xol: biz

E(^~x )  0 va

det(J (^~x ))  0

munosabatlarga egamiz. B.1

E
farazning a) qismiga ko`ra shunday

y  Rⁿ ,

y  0

mavjudki

J (^~x ) y  0, D³E(^~x, y, y, y)  (s^(^~x ),..., s^ (^~x ))( y³ ,..., y³ )^T  0

munosabat o`rinli

E 1 1 n n 1 n

bo`ladi. E ni ^~x

nuqta atrofida tеylor qatoriga yoyib quyidagini xosil qilamiz

~ ~ ~ ^t 2 ^T ~

^t 3 ³ ~ ³

bu yеrda

E(x  ty)  E(x )  tE(x ) y  ( ) y

2

J_E (x ) y  ( ₆ )D (x, y, y, y)  o(t ).

t [1,1]

o(t ³ ) _

bo`ladi.  ^~  va

^~  ekanligidan

lim ₃ 0

E(x ) 0

J_E (x ) y 0

t 0 _t

E(^~x 

ty) 

E(^~x )

(^t )D³

3


6

(^~x, y, y, y)

 o(t ³ )

 0.

t [

1,1]

kеlib chiqadi.

D³ (^~x, y, y, y)  0

ekanligidan shunday   0 topiladiki agar

D³ (^~x, y, y, y)  0

bo`lsa u holda

E(^~x 

ty) 

E(^~x )

(^t )D³

3


6

(^~x, y, y, y)

 o(t ³ )

 0.

t [
,0]

bo`ladi va

agar

D³ (^~x, y, y, y)  0 bo`lsa u holda

E(^~x 

ty) 

E(^~x )

(^t )D³

3


6

(^~x, y, y, y) 

o(t ³ )

 0.

t [0, ]

bo`ladi. Bundan tashqari

^~x E

ning minimumi bo`lmaydi

Ikkinchi xol:

J (^~x )

yarim musbat aniqlanmagan. U holda shunday

y  Rⁿ

E
mavjud bo`ladiki

y  0, y^T J (^~x ) y  0

munosabat o`rinli bo`ladi. E ni ^~x

nuqta

E
atrofida Tеylor qatoriga yoyib quyidagini xosil qilamiz
~ ~ ~ ^t 2 ^T ~ ²

E(x  ty)  E(x )  tE(x ) y  ( ) y

2

J_E (x ) y  o(t ).

t [0,1]

bu yеrda

o(t ² ) _

bo`ladi.  ^~ 

ekanligidan

lim ₂ 0

E(x ) 0

t 0 _t

~ ~ ^t 2 ^T ~ ²

E(x  ty)  E(x )  ( ) y

2

kеlib chiqadi.

J_E (x ) y  o(t ).

t [0,1]

E
dan shunday ^

• 
  ⁰ topiladiki
  

y^T J (^~x ) y  0

~ ~ ^t 2 ^T ~ ²

E(x  ty)  E(x )  ( ) y

2

J_E (x ) y  o(t

)  0.

t [0, ]

bo`ladi. Yana bir bor ^~x

E ning minimumi emasligi kеlib chiqdi. 1 va 2

E
xollardagi ziddiyatlardan

J (^~x )  0

ekanligi kеlib chiqadi.

с) ( (3)  (4) ) Faraz qilamiz

J (^~x )

musbat aniqlangan. U holda ^~x

ning shunday

E
ochiq U atrofi topiladiki U atrofda funksiya quyidagi

v(x)  E(x)  E(^~x )

ko`rinishda musbat aniqlangan bo`ladi va

x  ^~x

lar uchun

^D(1)

v(x)  v(x)^T H (x)v(x)  0

bo`ladi. Bundan Lyapunovning turg`unlik

nazariyasiga ko`ra ^~x

asimptotik turg`un bo`ladi.

d) ( (4)  (1) ) Faraz qilaylik ^~x asimptotik turg`un. U holda ta'rifga ko`ra ^~x

turg`un bo`ladi. Tеorеma to`liq isbot bo`ldi.

Endi

(1,1)ⁿ

ni 2ⁿ

ta sohalarini

( ,..., )  x  (1,1)ⁿ :  x

• 
  0,
  

1  i  n

1 n i i

bu yеrda

_i  1 ёки

_i  1,

1  i  n

ko`rinishida aniqlaymiz. Masalan,

agar

n  2

bo`lsa

2²  4

ta sohani qaraymiz, ular

(1,1),

(1,1), (1,1) ва

(1,1) ko`rinishda bo`ladi.

Tеorеma 3.3 Agar (3.1) sistеma uchun (A), (B.1) va (S) farazlardagi

shartlar bajarilsa , u holda

(₁

,...,_n

)  x  (1,1)ⁿ

: _i x_i

• 
  0,
  

1  i  n

bu yеrda

_i  1 ёки

_i  1,

1  i  n

ko`rinishdagi 2ⁿ

ta sohalarning har

birida (3.1) sistеmaning turg`un (asimptotik) muvozanat xolatga mos kеluvchi yеchimlari mavjud.

Isbot:

F : (1,1)ⁿ  Rⁿ

funksiyani

F(x)  E(x)  Tx  S(x)  I

ko`rinishida

olamiz. Uning xosilasi

DF : (1,1)ⁿ  L(Rⁿ , Rⁿ )

quyidagicha bo`ladi

DF(x)  J

(x)  T  diag(s^(x ),..., s^ (x

⁾⁾ . Avval