Va o’rta maxsus ta’lim vazirligi

Null funktsiyasi - bu argumentlarsiz, har doim qaytadigan funksiya 0 .
Bir o'zgaruvchining vorisi vazifasi, u istalgan natural sonni darhol keyingi natural songa beradi.
Funksiyalar, bu erda, n o'zgaruvchida, har qanday tartiblangan natural sonlar to'plamini ushbu to'plamdan raqamga tayinlash.
O'zgarish va ibtidoiy rekursiya operatorlari quyidagicha tasniflanadi:
Superpozitsiya operatori (ba'zan almashtirish operatori). M o'zgaruvchining funktsiyasi bo'lsin va har bir o'zgaruvchining funktsiyalarining tartiblangan to'plami bo'lsin. Keyin funktsiyalarning funktsiyaga superpozitsiyasining natijasi o'zgaruvchilar funktsiyasi bo'lib, u har qanday tartiblangan natural sonlar sonini belgilaydi.
Primitiv rekursiya operatori. N o'zgaruvchining funktsiyasi bo'lsin va o'zgaruvchilar funktsiyasi bo'lsin. Keyin ibtidoiy rekursiya operatorini bir juft funktsiyaga qo'llash natijasi shakl o'zgaruvchisining funktsiyasi deb ataladi;
Bu ta'rifda o'zgaruvchini takrorlash hisoblagichi, ya'ni takrorlanadigan jarayonning boshida boshlang'ich funktsiya sifatida, o'zgaruvchilar funktsiyalarining ma'lum bir ketma -ketligini ishlab chiqaruvchi sifatida, va - sonini oluvchi operator sifatida tushunish mumkin. kirish sifatida iteratsiya bosqichi, berilgan iteratsiya bosqichidagi funksiya va iteratsiyaning keyingi bosqichida funktsiyani qaytaradi.
Ibtidoiy rekursiv funktsiyalar to'plami - bu barcha asosiy funktsiyalarni o'z ichiga olgan va belgilangan almashtirish va ibtidoiy rekursiya operatorlari ostida yopilgan minimal to'plam.
Imperativ dasturlash nuqtai nazaridan, ibtidoiy rekursiv funktsiyalar faqat arifmetik operatsiyalar qo'llaniladigan dastur bloklariga, shuningdek shartli operator va arifmetik pastadir operatoriga (tsikl boshida takrorlanishlar soni ma'lum bo'lgan loop operatoriga) mos keladi. ). Agar dasturchi takrorlanishlar soni oldindan ma'lum bo'lmagan va asosan cheksiz bo'lishi mumkin bo'lgan while loop operatoridan foydalanishni boshlasa, u qisman rekursiv funktsiyalar sinfiga o'tadi.
Keling, ibtidoiy rekursiv bo'lgan bir qator taniqli arifmetik funktsiyalarni ko'rsataylik.
Ikkita natural sonni qo'shish funktsiyasini ikkita o'zgaruvchining ibtidoiy rekursiv funktsiyasi deb hisoblash mumkin, bu funktsiyalarga ibtidoiy rekursiya operatorini qo'llash natijasida olingan, ikkinchisi esa asosiy funktsiyani asosiyga almashtirish orqali olinadi. funktsiya:
Ikkita natural sonni ko'paytirishni ikkita o'zgaruvchining ibtidoiy rekursiv funktsiyasi deb hisoblash mumkin, bu ibtidoiy rekursiya operatorini funktsiyalarga qo'llash natijasida olingan, ikkinchisi esa asosiy funktsiyalarni almashtirish va qo'shish funktsiyasiga ega bo'lish:
Ikki natural son () ning nosimmetrik farqini (farqning mutlaq qiymati) ikkita o'zgaruvchining ibtidoiy rekursiv funktsiyasi deb hisoblash mumkin, bu quyidagi almashtirishlar va ibtidoiy rekursiyalarni qo'llash orqali olingan:

Keling, funktsiyalarning superpozitsiyasi (yoki qoplamasi) kontseptsiyasi bilan tanishib chiqaylik, u berilgan funktsiyani argumenti o'rniga boshqa argumentdan funktsiyani almashtirishdan iborat. Masalan, funktsiyalarning superpozitsiyasi funktsiyani beradi, shunga o'xshash funktsiyalar olinadi
Umuman olganda, biz funktsiyani ma'lum bir mintaqada, funktsiyani esa mintaqada va uning qiymatlarini hammasini o'z ichiga olamiz deb o'ylaymiz, keyin z o'zgaruvchisi, ular aytganidek, y orqali va o'zi funktsiyadir.
Berilgan ma'lumot uchun birinchi navbatda unga mos keladigan narsani toping (Y dan Y qiymatining belgisi bilan tavsiflangan qoidaga muvofiq, keyin esa mos keladigan y qiymatini o'rnating (qoida bo'yicha,
uning qiymati belgi bilan tavsiflanadi va tanlangan x ga mos deb hisoblanadi. Funktsiya yoki murakkab funktsiyadan kelib chiqadigan funktsiya funktsiyalarning superpozitsiyasi natijasidir
Funktsiya qiymatlari funktsiya aniqlangan Y mintaqasidan tashqariga chiqmaydi degan taxmin juda muhim: agar u o'tkazib yuborilgan bo'lsa, bema'ni bo'lib chiqishi mumkin. Masalan, biz faqat x qiymatlarini hisobga olamiz deb faraz qilsak, aks holda bu ibora mantiqiy bo'lmaydi.
Bu erda funktsiyani kompleks sifatida tavsiflash funksiyaning z ning x ga bog'liqligi bilan emas, balki bu bog'liqlikni aniqlash usuli bilan bog'liqligini ta'kidlashni foydali deb bilamiz. Masalan, So'ngra y uchun ruxsat bering
Bu erda funksiya murakkab funksiya shaklida berilgan bo'lib chiqdi.
Endi funktsiyalarning superpozitsiyasi kontseptsiyasi to'liq aniqlanganidan so'ng, biz tahlilda o'rganiladigan funktsiyalar sinflarining eng oddiylarini aniq tavsiflay olamiz: bular, birinchi navbatda, yuqorida sanab o'tilgan elementar funktsiyalar, so'ngra ulardan olingan funktsiyalar. ular to'rtta arifmetik operatsiyalar va superpozitsiyalar yordamida ketma -ket cheklangan marta ishlatilgan. Ular cheklangan shaklda boshlang'ichlar bilan ifodalanishi aytiladi; ba'zida ularning hammasini elementar deb ham atashadi.
Keyinchalik, yanada murakkab analitik apparatni (cheksiz ketma -ketliklar, integrallar) o'zlashtirgan holda, biz tahlilda ham muhim rol o'ynaydigan, lekin elementar funktsiyalar sinfidan tashqariga chiqadigan boshqa funktsiyalar bilan tanishamiz.
Ilmiy hamjamiyatda bu mavzu bo'yicha keng tarqalgan hazil bor, "chiziqsizlik" ni "filsiz" bilan taqqoslashadi-"fil" dan boshqa barcha jonzotlar "fil bo'lmaganlar" dir. O'xshashlik shundaki, bizni o'rab turgan dunyodagi ko'pgina tizimlar va hodisalar chiziqli emas, bir nechta istisnolar. Shunga qaramay, maktabda bizga "chiziqli" fikrlashni o'rgatishadi, bu juda yomon, chunki biz koinotning chiziqli bo'lmaganligini, uning jismoniy, biologik, psixologik yoki ijtimoiy jihatlarini idrok etishga tayyorligimiz nuqtai nazaridan. Chiziqsizlik o'z -o'zidan atrofdagi dunyoni bilishning asosiy qiyinchiliklaridan birini to'playdi, chunki oqibatlari, ularning umumiy massasi, sabablarga mutanosib emas, o'zaro ta'sir qilishda ikkita sabab qo'shimchali emas, ya'ni oqibatlari ko'proq oddiy superpozitsiyadan ko'ra murakkabroq, sabablar vazifalari. Ya'ni, bir vaqtning o'zida ta'sir qiladigan ikkita sababning mavjudligi va ta'siridan kelib chiqadigan natija, har bir sabab alohida, boshqa sabab bo'lmasa, olingan natijalar yig'indisi emas.