|
ko`rinishdagi differensial tenglamalar.
Bunday
tenglamalarning umumiy yechimi
n
marta ketma-ket integrallash orqali
topiladi.
x
f
y
n
1
1
1
C
x
f
dx
x
f
y
n
,
2
1
2
1
1
2
C
x
C
x
f
dx
С
x
f
y
n
,…,
n
n
n
n
n
C
x
C
x
C
x
C
x
f
y
1
2
2
1
1
...
,
bu yerda
!
i
n
C
C
i
i
.
6-misol.
1
''
sin
y
x
x
differensial tenglamani yeching.
►Ikki marta integrallaymiz:
1
cos
ln
sin
1
C
x
x
dx
x
x
y
,
2
1
1
sin
ln
cos
ln
C
x
C
x
x
x
x
dx
C
x
x
y
.
Demak, berilgan tenlamaning yechimi:
2
1
sin
ln
C
x
C
x
x
x
x
y
.◄
0
...,
,
,
,
1
n
k
k
y
y
y
x
F
ko`rinishdagi differensial tenglamalar.
Bunday tenglamalar
z
y
k
almashtirish orqali tartibi pasaytiriladi. Bu
holda
0
...,
,
,
,
k
n
z
z
z
x
F
(
k
n
) – tartibli differensial tenglama hosil bo`ladi. Xususan,
1
k
n
uchun birinchi tartibli
0
,
,
z
z
x
F
differensial tenglama hosil bo`ladi.
Bu tenglamaning yechimini
k
marta integrallab berilgan tenglamaning
yechimi topiladi.
7-misol.
x
y
y
y
x
ln
differensial tenglamani yeching.
►
z
y
deb belgilab yechamiz.
,
ln
x
z
z
z
x
x
z
x
z
z
ln
.
17
Hosil bo`lgan bir jinsli differensial tenglamada
ux
z
almashtirish
bajaramiz.
u
u
u
x
u
ln
yoki
x
dx
u
u
du
)
1
(ln
.
Integrallab,
1
ln
ln
1
ln
ln
C
x
u
yoki
x
C
u
1
1
ln
.
Bundan
x
C
e
u
1
1
yechimni olamiz va
u
dan
y
o`zgaruvchiga qaytamiz,
ya‟ni
x
C
xe
y
1
1
. Natijada,
2
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
C
e
C
xe
C
dx
xe
y
x
C
x
C
x
C
.◄
8-misol.
2
y
ctgx
y
differensial tenglamani yeching.
►
z
y
deb belgilab yechamiz:
tgx
z
tgx
z
2
.
Hosil bo`lgan chiziqli differensial tenglamada
uv
z
almashtirish
bajaramiz.
0
v
tgx
v
va
tgx
v
u
2
.
Birinchi tenglamaning
x
v
cos
yechimini ikkinchi tenglamaga
qo`yamiz:
x
x
u
2
cos
sin
2
.
Bundan
1
cos
2
C
x
u
hosil bo`ladi. Natijada, birinchi tartibli chiziqli
differensial tenglamaning yechimi
x
C
C
x
x
uv
z
cos
2
cos
2
cos
1
1
ga ega bo`lamiz. Bu tenglikni ikki marta integrallab berilgan tenglamaning
yechimi topiladi:
2
1
1
sin
2
cos
2
C
x
C
x
dx
x
C
y
;
3
2
1
2
2
1
cos
sin
2
C
x
C
x
C
x
dx
C
x
C
x
y
.◄
0
...,
,
,
,
n
y
y
y
y
F
ko`rinishdagi differensial tenglamalar.
Erkli
x
o`zgaruvchioshkor qatnshmagan bunday tenglamalar
)
(
y
z
y
almashtirish orqali tartibi pasaytiriladi. Bu holda,
z
z
y
y
z
y
)
(
,
18
...
,
2
2
z
z
z
z
y
va
hakozo
almashtirishlardan
foydalanib,
tenglamaning tartibi bittaga pasaytiriladi.
9-misol.
Koshi masalasini yeching:
2
2
'' 1
'
yy
y
,
1
0
,
2
)
0
(
y
y
.
►
dy
dz
z
y
z
y
,
deb belgilab yechamiz:
2
1
2
z
dy
dz
yz
.
Hosil bo`lgan birinchi tartibli o`zgaruvchilari ajraladigan differensial
tenglamani yechamiz.
y
dy
z
zdz
2
1
2
yoki
1
2
ln
ln
1
ln
C
y
z
.
Bundan
1
1
y
C
z
,
ya‟ni
1
1
y
C
y
hosil
bo`ladi.
1
0
,
2
)
0
(
y
y
boshlang`ich shartlarga ko`ra,
1
1
С
. Natijada,
1
y
y
yoki
dx
y
dy
1
tenglikga ega bo`lamiz. Bu tenglikni integrallab berilgan tenglamaning
umumiy integralini topamiz va
2
)
0
(
y
boshlang`ich shartdan
foydalanamiz:
2
1
2
C
x
y
va
2
2
С
2
1
2
x
y
.
Demak, Koshi masalasining yechimi:
1
2
2
2
x
y
.◄
Yuqori tartibli chiziqli diffеrеnsiаl tеnglаmаlаr.
Agar
n
- tartibli
differensial tenglamada izlanayotgan funksiya va uning hоsilalari birinchi
darajada qatnashsa, bunday tenglama
n- tartibli chiziqli differensial
tenglama
deyiladi.
U quyidagi ko`rinishga ega:
)
(
)
(
...
)
(
)
(
)
1
(
1
)
(
0
x
f
y
x
a
y
x
a
y
x
a
n
n
n
.
Bu yerda
)
(
...,
),
(
),
(
1
0
x
a
x
a
x
a
n
lar va
)
(
x
f
biror
D
sohada berilgan
x
ning
ma‟lum uzluksiz funksiyalari(o`zgarmas bo`lishi ham mumkin).
n
i
x
a
i
,
1
)
(
funksiyalar
tenglamaning kоeffitsientlari
deyiladi, shu bilan
19
birga
1
)
(
0
x
a
(agar 1 ga teng bo`lmasa tenglamaning hamma hadlarini
unga bo`lishimiz mumkin),
f
(
x
) funksiya esa
ozod hadi
deyiladi.
Agar
0
)
(
x
f
bo`lsa, ushbu
)
(
)
(
...
)
(
)
1
(
1
)
(
x
f
y
x
a
y
x
a
y
n
n
n
(1.25)
tenglama
n - tartiblichiziqli bir jinsli bo`lmagan differensial tenglama
deyiladi.
Agar
0
)
(
x
f
bo`lsa, ushbu
0
)
(
...
)
(
)
1
(
1
)
(
y
x
a
y
x
a
y
n
n
n
(1.26)
tenglama
n – tartibli chiziqli bir jinsli differensial tenglama
deyiladi.
Chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar yechimining tuzilishi
.
(1.26)
tenglamalarning
umumiy
yechimlarini
topishda
ularning
)
(
,
...
),
(
),
(
2
1
x
y
x
y
x
y
n
xususiy yechimlarining chiziqli bog`liq va chiziqli
erkliligi asosiy rol o`ynaydi.
Agar bir vaqtda nol bo`lmagan shunday
n
,
...
,
,
2
1
o`zgarmas
sonlar mavjud bo`lsaki,
0
)
(
1
n
i
i
i
x
y
,
b
a
x
,
ayniyat o`rinli bo`lsa,
)
(
,
...
),
(
),
(
2
1
x
y
x
y
x
y
n
funksiyalar sistemasi
b
a
x
,
da
chiziqli bog‘liq
sistema
deyiladi. Agar bu ayniyat barcha
0
i
bo`lgandagina bajarilsa,
)
(
,
...
),
(
),
(
2
1
x
y
x
y
x
y
n
funksiyalar sistemasi
b
a
x
,
da
Do'stlaringiz bilan baham: |
