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2.1 O„zgarmas koeffitsiеntli chiziqli diffеrеnsial tеnglama va
tenglamalar sistemasini yеchishning opеratsion hisob usuli
Ushbu
(
1)
( )
( ) ....
( )
( )
( )
1
1
n
n
x
t
a x
t
a
x t
a x t
f t
n
n
(2.1)
differensial
tenglamada
n
n
a
a
a
a
,
,...,
,
1
2
1
o`zgarmas
sonlar,
)
(
),
(
),
(
,
...
),
(
),
(
1
t
f
t
x
t
x
t
x
t
x
n
n
lar asl funksiyalar bo`lsin. Quyidagi Koshi
masalasi yechimini topishning operatsion usulini qaraymiz:
( )
( )
( )
( )
( )
. (2.2)
( )
( ),
( )
( )
x t
X p
f t
F p
bo`lsin. U holda aslni differensiallash
formulasidan foydalanamiz:
2
( )
( )
(0),
( )
( )
(0)
(0),...
x t
pX p
x
x t
p F p
px
x
( )
1
(
2)
(
1)
( )
( )
(0) ...
(0)
(0).
n
n
n
n
n
x
t
p X p
p
x
px
x
.
(2.1) tenglamaga tasvirlarni qo`yib,
)
(
p
X
noma‟lumga nisbatan chiziqli
tenglamani hosil qilamiz. Uni ixcham holda yozilishi
)
(
)
(
)
(
)
(
1
p
R
p
F
p
X
p
Q
n
n
. (2.3)
(2.3) tenglamadan
)
(
p
X
topiladi va uning asli (2.1) tenglamaning
(2.2) shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi bo`ladi.
18-misol.
1
)
0
(
,
x
e
x
x
t
tenglamani yeching.
►
1
( )
( ),
,
( )
( ) 1
1
t
x t
X p e
x t
pX p
p
.
,
1
1
)
(
1
)
(
p
p
X
p
pX
2
1
1
( )
, ( )
1
.
1
1
t
t
t
X p
te
e
x t
t
e
p
p
◄
Agar (2.1) tenglama
0
)
0
(
...
)
0
(
)
0
(
)
1
(
n
x
x
x
(2.4) boshlang`ich
shartlar bilan berilgan bo`lsa, Dyuamel integrali yordamida quyidagicha
yechiladi. Qo`shimcha
1
)
(
)
(
1
....
)
(
1
)
(
)
1
(
)
(
t
z
n
a
t
z
n
a
t
z
a
t
z
n
n
(2.5)
0
)
0
(
...
)
0
(
)
0
(
)
1
(
n
z
z
z
(2.6)
(2.4) boshlang`ich shartlar bilan berilgan (2.5) differensial tenglama
tuziladi.
1
( )
( ),
( )
( ), ( )
( ), 1
x t
X p
f t
F p z t
Z p
p
bo`lsin.
Quyidagi
)
(
1
)
(
,
)
(
)
(
)
(
p
pQ
p
Z
p
Q
p
F
p
X
n
n
(2.7)
28
tenglamani hosil qilamiz. Bundan
)
(
)
(
)
(
p
Z
p
pF
p
X
ekani ma‟lum.
Dyuamel integralidan foydalanib,
d
t
z
f
z
t
f
t
x
t
t
)
(
)
(
)
0
(
)
(
)
(
0
(2.8)
yechimni topamiz.
19-misol.
0
)
0
(
)
0
(
)
0
(
,
sin
x
x
x
t
x
x
tenglamani yeching.
►
Qo`himcha tenglama tuzamiz:
.
0
)
0
(
)
0
(
)
0
(
,
1
z
z
z
z
z
2
1
( )
( ),
( )
( ),
( )
( ), 1
z t
Z p
z t
pZ p
z t
p Z p
p
.
,
1
1
1
)
1
(
1
)
(
2
2
2
2
p
p
p
p
p
Z
t
t
t
z
sin
)
(
. (2.8) formuladan va
t
z
z
t
cos
1
,
0
)
0
(
ekanidan foydalanib quyidagini topamiz:
t
t
t
d
t
t
d
d
t
t
x
0
0
0
)
sin
sin
cos
(cos
sin
sin
))
cos(
1
(
sin
)
(
0
0
0
0
2
cos
cos
4
1
1
cos
)
2
cos
1
(
2
sin
2
sin
2
cos
cos
t
t
t
t
t
t
d
t
d
t
)
2
sin
sin
2
cos
(cos
4
1
sin
2
1
1
cos
2
sin
sin
4
1
sin
2
1
0
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
.
1
sin
2
1
cos
cos
4
1
t
t
t
t
◄
O`zgarmas koeffitsientli oddiy chiziqli differensial tenglamalar
sistemasi ham xuddi yuqoridagi kabi operatsion hisob yordamida ikki
noma‟lumli algebraik tenglamalar sistemasiga keltirib yechiladi.
20-misol.
Koshi masalasini yeching:
.
0
)
0
(
,
1
)
0
(
,
1
2
y
x
x
y
y
x
►
( )
( ), ( )
( )
x t
X p
y t
Y p
bo`lsin.
1
( )
( ) 1,
( )
( ), 1
x t
pX p
y t
pY p
p
dan foydalanib,
sistemani qayta yozamiz:
29
p
p
X
p
pY
p
p
Y
p
pX
1
)
(
)
(
2
)
(
1
)
(
.
Sistemani yechib,
p
p
p
p
Y
p
p
p
X
2
1
2
)
(
1
1
2
)
(
2
2
yechimni hosil qilamiz va asl funksiyalarini topamiz. Bu esa Koshi
masalasining yechimi bo`ladi:
2
cos
2
)
(
1
sin
2
)
(
t
t
y
t
t
x
.◄
30
Variant 1
Variant 2
Differensial tenglamalarning umumiy yechimi(integrali) topilsin
1.
x
y
arctg
x
y
y
x
1.
x
y
x
y
x
y
sec
2.
2
2
3
0
y dx
xy
dy
2.
2
3
1
'
x
y
xy
x
3.
2
2
2
1
'
x
y
xy
x y
3.
3
1
0
2
ydx
x
x y dy
4.
x
y
2
cos
1
4.
x
e
x
y
2
5.
tg5
5 .
y
x
y
5.
''
' 0
xy
y
Koshi shartini qanoatlantiruvchi yechimi topilsin
6.
2
1
,
2
1
,
2
2
y
y
y
tgy
y
6.
3
1
0
,
2
0
,
0
2
3
y
y
y
y
y
7.
'' 5 ' 6
0,
(0) 1,
'(0)
0
y
y
y
y
y
7.
''
'
0,
(0) 1,
'(0)
0
y
y
y
y
8.
'' 2 ' 2
0,
(0) 1,
'(0)
0
y
y
y
y
y
8.
'' 4 ' 13
0,
(0) 1, '(0) 1
y
y
y
y
y
9.
'' 2 '
0,
(0) 1,
'(0)
0
y
y
y
y
y
9.
'' 2 '
0,
(0) 1,
'(0) 1
y
y
y
y
y
Differensial tenglamalarning xususiy yechimi topilsin
10.
2
'' 5 ' 6
1
x
y
y
y
x
e
10.
2 2
'' 4
x
y
y
x e
11.
2
'' 4 ' 4
y
y
y
x
11.
.
IV
y
y
x
12.
'' 9
cos 2
y
y
x
12.
'' 4 ' 4
sin 2
y
y
y
x
13.
2
'' 2 ' 5
( cos 2
sin 2 )
x
y
y
y
e x
x
x
x
13.
2e
cos .
x
y
y
x
Do'stlaringiz bilan baham: |
