Va butun ko’rsatkichli ildiz chiqarish ishoralari va
Download 157,66 Kb.
|
cos va sin teoremasi
Haqiqiy x sonining absolut miqdor (|x| - bilan belgilanadi) manfiy bo’lmagan son bo’lib, quyidagicha aniqlanadi: agar x≥0 bo’lsa, u holda |x|=-x. agar x<0 bo’lsa, u holda |x|=-x.
Nuqtaning (dektor yoki aforn ) kordinatalaridan birinchisi Absissa odatda lotin alfavitining x harifi bilan belgilanadi.
ifoda. Ant’esi soninig butun qismi.
a0 a1+ d, a1 + 2d, …a1 + nd, … Shunday qilib arifmetik progressiya o’zining birinchi hadi va ayirmasi bilan to’liq aniqlanadi. Arifmetik progressiyaning n- hadi an = a1 + (n-1) d formula bilan aniqlanadi. Arifmetik progressiyaning dastlabki n ta hadi yig’indisi: Sn = a1 + an x n = [a1 + d(n- 1)] x n. 2 2 10. Arifmetik proporsiya. a– b = c – dko’rinishidagi tenglik, bunda a,b,c,d lar arifmetik sonlar. Arifmetik proporsiya ayirmali proporsiya deb ham aytiladi. 11. Arifmetik ildiz – manfiy bo’lmagan sonning juft yoki toq darajali ildizning manfiy bo’lmagan qiymati. Masalan: Arifmetik ildiz 4[16 = 2 Arifmetik ildiz 3[ 27 = 3 Arifmetik ildizning tarifiga ko’ra 3[- 27 Arifmetik ildiz mavjud emas. 12. Arifmetik o’rta qiymat. Bir necha a1,a2,…., an souning o’rta arifmetik qiymati deb a1+a2+an songa aytiladi. n 13.Arkkosekons – kosekonsgan teskari funksiya. Arkosekons bunday belgilanadi. arccoseex. Uning bir qiymati tarmog’i arccoseening bosh qiymati deyiladi va arccoseex orqali belgilanadi. Bundan - П ≤ arccoseex ≤deyiladi va arcoseex funksiya toq va chegaralangan funksiya. 2 14. Astrolabiya –gorizantal tekislikda joylashgan burchaklarni o’lchash uchun ishlatiladigan asbob (burchak o’lchagich ). 15. Binom – ikki had degan ibora bilan bir xil ma’noni anglatadi. Bu lotincha ,,B”- ikki deganda so’z bilan grekcha ,,nomos ”soha, qismi, hal degan so’zlardan hosil bo’lgan. 16. Burchak bissektrisasi – burchakning uchidan chiqqan va burchakni teng ikkiga bo’ladigan yarim to’g’ri chiziq (nur ).Burchak bissektrisasi burchakni simmetriya o’qidir. Burchak bissektrissasi deb, burchak ichida uning tomonlaridan teng uzoqlikda yotadigan nuqtalarning geometric o’rniga aytiladi. 17. Ehtimollik – cheksiz ko’p marta takrorlanishi mumukun bo’lgan voqealar majmuida biror tanli voqea yuz berishi. Ba’zi xollarda extimollikning son qiymati tayin bir voqeaga qulaylik beradigan, mumkun bo’lgan hamma xollar sonining umuman barcha teng imkoniyatlarni xollar sonining nisbatiga teng bo’ladi. Extimollik bilan tayin bir voqea yuz berishining nisbiy sonni (chastotasining) aralashtirib yuborish to’g’ri emas, bu nisbiy son odatda bu voqeaning yuz berishi extimollikdan faqat juda oz farq qiladi. Extimollikning to’liq ta’rifini 30 – yillarda A.N Kolmogorov bergan va uni o’lchovlar nazariyasiga bog’lagan. Adab: И.А.КОПМОГОРОВ основниъе понятия герое вероятностей ОИИТИМ 1936. 18. Vertikal – to’g’ri chiziqni ikkiita perpendikuliyar tekislikdagi (proeksiyaning tekislikdagi).proeksiyani tekshirilgan proeksiyalarni vertikal tekisligiga proeksiyalarni tekshirilganda proeksiyalarining gorizantal tekisligiga perpendikuliyar bo’lmagan tog’ri chizik . Vertikal termini chizma geometriyada ishlatilgan bo’lib, xozir eskirib qolgan . Hozirg vertikal o’rniga frontlar (q.) termeni ishlatiladi. 19. Vertikal burchaklar – qarama – qarshi burchakning huddi o’zi (к. Протива положные углы). 20. O’zaro teskari sonlar – ikkita a ≠ o va 1 son. O’zaro teskari sonlarning ko’paytmasi 1 ga teng. O’zaro teskari sonlar tushunchasi ba,zan tenglamalarni og’zaki yechishda ishlatiladi: a Masalan, x + 1 = 2,5 tenglamani x + 1 = 2 + 1 ko’rinishida yozish mumkin, bundan uning ildizlari x x x,= 2 va x2 = 1 bo’lishini ko’rish oson. O’zaro teskari sonlar oddiy kasirlarini bo’lishda va sonlarni 2 manfiy ko’rsatkichli darajaga ko’rsatishda ishlatilinadi. O’zaro teskari sonlarning xossasini qayd qilib o’tamiz: agar a > o bo’lsa, a + 1 > 2. 2 21. O’zaro bir qiymatli moslik – ikki to’plam elementlari orasidagi shunday moslikki, bunda brinchi to’plamning har bir elementlarga ikki to’plamning faqat bitta elementi mos keladi. O’zaro bir qiymatli moslik funksiyaning yoki akslanishning (Қ . Отображение) xususiy ko'rinishidir. Misol: (0,1) kesma nuqtalari bilan (0,2) kesma nuqtalari orasida o’zaro bir qiyamatli moslik o’rnatish mumkin buning uchun (0,1) ^ songa (0,2) kesmaning 2^ sonning mos qo’yish yetarlidir. 22. O’zaro tub xadlar – agar F1,F2,…Fk, (k>2) ko’pxadlarning eng katta umumiy bo’luvchisi (Қ Наиболейший общий делетель) nolinchi darajasi ko’phad bo’lsa bu ko’phadlar o’zaro tub xadlar deyiladi. O’zaro tub xadlarining muxum xossalaridan biri bilan o’zaro tub bo’lsa , u holdada d ko’had F1,F2,…Fk (k≥2) ko’paytma bilan har biri bilan o‘zaro tub bo’lsa , u holada d fo’phad F1, F2,… Fk ko’paytma bilan ham o’zaro tub bo’ladi. 23. Viet – (вьет) Fo’rmulalari – n darajali ( bosh hadining koefisenti borga bo’lgan ) x n + a, x n ∙ 1 +…an ko’phad koffesentlari bilan uning a1, a2, …., an orasidagi ildizlaridagi munosabatlarni belgilovchi formulalar. Viet formulalar quydagichdir n = 2 bo’lgan xususiy xolda ikkinchi darajali x2 + p x + q ko’phad uchun viet (viet) topgan. 24. Tashqi burchak – uchburchak ichki burchaklarning biri bilan qo’shni (Қ. Сиежный уголъ) bo’lgan burchak. Uchburchakning tashqi burchak o’ziga qo’shni bo’lmagan ichki burchaklarning har biridan katta (bu teareiz) paralellik aksiomasiga asoslanmagan holda isbot etiladi, ya’ni u absolute geometriyaning teoremasidir. 25. O’suvchi ketma – ketlik – keyingi hadi oldingi hadidan katta bo’lgan, ya’ni an + a1 > an (n= 1,2,3…) bo’lgan a1, a2 …..an … ketma – ketlik kamaymagan ketma – ketlik deyiladi.yuqoridan chegaralangan kamayuvchi ketma – ketlik (К Ораниченная посмдователынность) chetli limitga ega. 26. O’suvchi progressa – 10 o’suvchi arifmetk progressiya – ayirmasi noldan katta bo’lgan ( d > o ) progressga (қ) 20 O’suvchi progressya geometric maxraji 1 katta (a > 1) va birinchi hadi musbat bo’lgan progressa. 27.O’suvchi funksiya – a ≤ x ≤ b kesmada (yoki intervalda, yoki to’plamga) y = f (x) funksiya uchun kesmadagi interval f (x) funksiya bu to’plamdagi har qanday x1 < x2 da f (x) < f (x2) tengsizlik bajarilsa funksiya kamayuvchi funksiya deyiladi (a,b) kesmada yoki mos ravishda (a,b) intervalda differensialanuvchi funksiya f (x) xosilasi a ≤ x ≤ b da yoki mos ravishda a < x < b ga manfiy bo’lmaganda, ya’ni f (x) ≤ o bo’lganda va faqat shu holdagina funksiya unda kamayuvchi funksiyadir. Funksiyaning kesmada yoki intervalda o’suvchini uning nuqtada o’suvchi bilan aralashtirib yuborish yaramaydi. 28. Ichki chizilgan burchak – uni aylana o’tadigan tomonlari esa tomonlari kesib o’tadigan burchak 32 – rasmda A,B,C burchakichki chizilgan burchakdir. Ichki chizilgan burchak uni o’z ichiga olmaydigan AKS yoy ichki chizilgan burchak tyanadigan yoy deb (yoki 180o yoyga) tayanuvchi ichki chizilgan burchak to’g’ri burchakdir. 29. Qavariq egri chiziq – Dekatr kordinatalari sistemasiga nisbatan qavari egri chiziq – har bir yoki o’zining va taridan pastga yotmaydigan egri chiziq yoki egri chiziq M nuqtaning biror atrofida qavariq u M nuqta qavariq egri chiziq deyiladi. 30. Qavariq soxa – bu shunday soxaki 2 ta nuqta shu soxaga tegishli bo’lganda bu nuqtalarni tutashtiruvchi to’g’ri chiziq kesmasi ham shu sohaga tegishli bo’ladi. 31. Qavariq sirt – Agar z = f (x,y) sirt quydagi xossaga ega bo’lsa u qavariq sirt deb ataladi: urinma tekislik berilgan sirtdan yuqoriga otmaydi. Agar f (x,y) funksiya 2 – uzluksiz xususiy xossalarga ega bo’lsa qavariqlikning sharti quydagicha (b2 f)2 – b2f b2f ≤ 0 (bxby) – bx2 by2 32. Qavariq jism – jismning har qanday 2 nuqtasining tutashtiruvchi to’g’ri chiziq kesmasi butunlay jismga tegishli bo;lsa, bunday jism qavariq jismdir. Shar, kub, shar simetriyasi qavariq jismga misol bo’la oladi. 33. Qavariqlik – y = f (x) funksiya grafigining ushbu xossasi x = xo nuqtaning biror atrofida egri chiziqning har bir yoni o’zining vataridan yuqorida yotadi. Bu holda f (x) funksiyaning grafigi x = xo nuqtada qavariqligi bilan yuqoriga (botiqligi bilan pastga) qaraganda deyishadi va funksiyaning o’zi bu nuqtada qavariq deyiladi. Agar f (x) mavjud bo’lsa, u holda x = xo nuqtada q f (x) ≤ 0 shart bilan aniqlanadi. 34. Oliy geometriya – geometrik fanlar turkumi bo’lib unga unversitet pedagogika inisitutlarining fizika, matematika fakultetlariga o’qitiladigan geometriya asoslari (elementlar geometriyaning aksiomatik asoslanishi) proektiv geometriya (a) kiradi. Oliy geometriya sof shartli termindir. Ba’zan analitik geometriya va differcnsial geometriya ham oily geometriyaga kiradi. Adab: N F Efimov: Выщая фиометрия физиатшз. M 1961. 35. Geksaetr olti yoqli misollar: Beshburchakli piramida paralillaped to’rtburchakni kesik piramidalar Geksaedrгранники ) Grek, rek, - olti, + hedra – yo’q. 36. Geometrik prograssiya – 2 – xaddan boshlab har bir hadi mazkur progressiya uchun o’zgarmas bo’lgan biror songa (progressiya maxrajiga) oldingisini ko’paytirishdan xosil bo’lgan sonlar ketma- ketligi geometric progressiyaning umumiy ifodasini bunday yozish mumkin: a, aa, aa2,… , aa,n,…, Bunda a – birinchi had q – geometrik progressiya mahraji. Agar a,>o bo’lganda geometric progressiyaning mahraji biridan katta (a>1) b’lsa, geometrik progressiya osuvchi, a<1 bo’lsa kamayuvchi geometrik progressiya deyiladi. Masalan: o’suvchi geometrik progressiyalar: 3. 6, 12,24,… (a=2): 8,16,32,64,… (a=2): kamayuvchi geometrik progressiyalar 3,1, 1, 1,… (a= 1): 8,4,,2,1 1,… (a = 1) 3 9 3 2 2
Geometrik progressiyaning dastlabki n ta hadining yig’indisi bu formulabilan ifodalanadi. Sn = a – a qn 1 - a Agar | q | < 1 bo’lsa, hadlarning soni cheksiz ko’p bo’lganda (n - > ∞) Sn yig’indi aniq S = a limitga intiladi. Bu 1-q hol bunday yoziladi: a + aq + aq2 + … + aqn +… = n 1-q Bu tenglikning chap tomoni geometric (shakl) qator deb ataladi, ∞ ∑ aq n -1 ko’rinishida yozish mumkin. N=1 37. Erksiz o’zgaruvchan miqdor – “функция” (Q) termining sinonimi. 38. Ассоциативлик (групалаш) qonuni – binary operatsiyasi bo’ysunadigan qonun. Agar binar amalini ko’paytirish deb tushunsa holda A. Қ a (b c) = (a b) c ko’rinishida bo’ladi. A. Q ko’pgina gurupalash qonuni deb ataladi. Bu nom lotincha association birlashtirish degan so’zdan kelib chiqqan. A q gab bo’ysunuvchi amallarga sonlarni qo’shish va ko’paytirishi amallari, matritsalarini (q) qo’shish va ko’paytirish, o’rniga qo’shishlarni (Q Patstanovka) ko’paytirishi mumkin. Vektor ko’paytma (q vektornoe proizvedenie) A. q ga bo’ysunmaydi. Sonlarni ayirish va bo’lish amallari ham A q ga bo’ysunmaydi, chunki, umuman aytganda (a : b) ≠ a : (b : c). A. Q. guruppa aksiomalaridan biri xisoblanadi. 39. Distributuvlik qonuni – ayni bir to’plamda aniqlangan ikkita binar operatsiyasini bir – biriga bog’laydigan qonun. Agar bir operatsiyani ko’paytirish, ikkinchisini qo’shish deb qaralsa, u holda D, q bunday ko’rinishda bo’ladi. a (b+c) = a b + ac D, Q. ga ko’paytirish va qo’shish operatsiyalari simmetrik bo’lmagan holda kirganligi uchun, ko’pgina D Q ko’paytirishning qo’shishga nisbatan D Q deb atalgan, yuqorida keltirilgan D Q bilan bir qatorda o’ng D Q ham qaraladi. (b + c) a = b a + c a. Ko’pincha D Q taqsimot qonuni deb ataladi. Distributiv degan nom lotincha – Distrubutus – taqsimot so’zidan kelib chiqadi. To’plamalarni (Қ Объединение множеств) birlashtirish va to’plamlarning kesishmasi (Қ Пересечение множеств) o’zaro Distributivdir, ya’ni quydagi D Q o’rinli. Aת (BVC) = (AתB)V(AתC): (BVC) ∩A = (B∩A) V (C∩A): Av (B∩C) = (AVB)∩ (AVC): (B∩C)VA = (BVA) ∩ (CVA). Sonlarni ko’paytirish qo’shimchaga nisbatan distributiv lekin sonlarni qo’shish sonlarini ko’paytirishga nisbatan distributiv emas, ya’ni umuman aytganga. ab + c ≠ (a + c) (b + c). 40. Kvadratik o’zaarolik qonuni – kvadratik chegirmalar (Қ Квадратически вычет) nazariyasining K. F Guass topgan eng muhim hossalardan biri. Agar P va Q – turli tup sonlar bo’lsa, K, O’, Q. qudagini tastiqlaydi; P - 1 . q – 1 2 2 (q) = (-1) (p) p q bunga (q) va (p) – Лежандр simvollari (Қ) p q 41. Kammutativlik qonuni – bilan opetizietsiesi bo’ysunishi mumkin, bo’lgan qonun. Agar binan opetizietsiesi ko’paytirilishi deb tushunilsa, u holda K. қ bunday ko’rinishda bo’ladi: ab = ba. Қ қ ga ko’pincha uning almashtirish qonuni deb ataladi. K қ ga bo’ysunuvchi opratsiyalarga misol qilib sonlarni qo’shish va ko’paytirish, to’plamning kesishmasi (қ. Пересечения множеств) hamda to’plamlar birlashmasini (қ Объединение множеств) (ko’rsatish) hamda to’plamlar birlashmasini (қ Объединение множеств) ko’rsatishi mumkin.Sonnlarini ayirish va bo’lish chunki umuman aytishganda. a ; b ≠ b ; a ba a – b ≠ b – a | . o’rniga qo’yishlarini (қ умножение подстановка) ko’paytirishi, matritsalarni (қ) ko’paytirish , vecktor ko’paytirishi K. қ bo’ysunishmaydi. .Лат . commutare – siljitish. 42. Ajoyib laminar - matematik analiz kursida quydagi ikkta ajoyib limit keltirib chiqariladi. Lim simk = 1 va lim (1 + 1)x = e = 2.718281 828 459… x→o x x→o x Bu limitlarning ajoyibligi shundaki, boshqa yo’l bilan kestirib chiqarilishi ancha murakkab bo’lgan cheksiz ko’p boshqa limitlarning son qiymatlarini bulardan foydalanib juda sodda va osson topish mumkin. Misol uchun ak sin ax, tg ax, arc, sin ax, cheksiz kichik miqdorning bir – biriga ekvimaent ekenligi ya’ni x→o ga bu funksiyalardan istalgan ikktasining bir – biriga nisbatining limiti birga teng bo’lishi birinchi A. л dan birdaniga kelib chiqadi. Ikkinchi A л dan misol uchun quydagi limitlar bevosita kelib chiqadi;
Lim (1 + x) 1x e, lim ( x )x x→o x→∞(1+x) = e -1, lim (1 + ax) 1 = e a va x. k. x→o bx b 43. Ajoyib nuqtalar. Xar – qanday uchburchak quydagi to’rtta A n мвнсуд. Uchburchakning tomonlari o’rtasidan bu tomonlarga o’tkazilgan uchta perpendikuliyar bin nuqtada kesishadi. Бу A. ню tashqi chizilgan goiraning markazidir. Uchburchakning uchta medegansi bir nuqtada kesishadi. Bu A н (ikkio’lchovli, exlit) uchburchakning og’irlik markazida.(қ Терсугаеник) medialarning kesilgan nuqtasi va bissiektrissalapning kesishgan nuqtasi hamma vaqa uchburchakning kesishgan nuqtasi va bissiektrissalapning kesishgan vaqt hamma vaqt uchburchakning o’ziga kelgan ikki A н esa uchburchakning o’ziga ham, undan tashqarida ham, uchburchak tomonlari ustida ham yotishi mumkin. Uchburchak lidinalanishning kesishgan nuqtasi (butunlik markazi) lan – bir lidamani (midiana kesmalarini uchburchak uchidan mediana asosigacha xisoblanadi) 2;1 nisbatda bo’ladi. Yuqorida ko’rsatib o’tilgan to’rtta A н odatda bu nuqtalarni birinchi bo’lib Tobgan matimatiklarninig tomlari bilan ataladi torchilik nuqtasi (k) Nigel quqshasi (q) jergan nuqtasi (q) leuman nuqtasi (q) -1 jergan nuqtasi (q) leuman nuqtasi (q) va x.k. 44. Yopiq Sfera – barcha chegara nuqtalarni o’ziga qo’shib olingan ochiq sfera (q открытая сфера, графическая сфера, графические точки) E. e. p. o’lchovli metrik fazoni P (Mo – M ) ≤ 8 Mo – toishli nuqta, P (Mo, M) – ketishli fazodagi M va Mo nuqtalar orasidagi masofa ( q.ростаяния ) 45. Yopiq to’plash -o’zining barcha limit vaqtlarini (q придление точка ) O’zining barcha limet vaqitlarini (q Придление точка ) o’z ichiga olingan to’plami. E’. t. misollari : 1 [a, b ] kesma: 2 sonlar yoki n o’lchovli metrik fazodagi sanoqli nuqtalardan iborat to’plam : 3 tekisli yoki fazodagi to’g’ri chiziq yoki kesma nuqtalarning to’plami : 4 y= sin 1.x (0 < x ≤ 1 ) egri chiziq Nuqtalardan va oy o’qiga yotgan – 1 ≤ y ≤ 1, x = 0 kesma nuqtalardan iborat bo’lgan tekislikdagi to’plam (88 rasim ) lardan iborat 46. Ko’zguvli akslanish. Tekisligidagi to’g;ri chiziqqa ( fazodagi tekislikka ) nisbatan ko’zguvli akslanish – tekislikdagi o’sha to’g’ri chiziqqa ( yoki fazodagi tekiskikka ) nisbatan simmetriyaning ( q ) huddi o’zi. 47. Matimatik shoirlar – matimatik tushunganlar jumla hisobotlarni yozishi uchun ishlatiladigan shartli belgilar ( simvillar ), jumladan oilani uzunligining diometriaga nisbatan p simvol bilan yoziladi. Xatlari soni chekli yoki cheksiz qo’shiluvchilar yig’indisi k ∑ ∑a n yoki n=1 an shakilda belgilanadi. M. u xaqida ulug’ rus matimatigi N. N Lobachevski bunday deb yozgan edi. : < 1) Matimatik abektlarning ishoralari , 2) amallarni ishoralari 3) munosabatlarning ishoralari Missolar : 1) odamda nuqta to’g’ri chiziq, tekisliklar mos ravishda A,B,C…a,b,c…i,b,y… xariflari bilan belgilanadi 2) Amallarni M.u: +va – ishorasini (qo’shish va ayirish ) XV asr ohirida nemis matimatik joriy qildi ; ko’paytirish va bo’lish amalini ifodalovchi va ishoralrini Г .Л kritgan (1698) darajani ifodalovchi a2 a3 …M.i larni Dekard (1637) ; √ 3√ … ildizlarni X 1 Rudolf ( 1525 ) va A. Jirar (1629) : ЛОГ логарифни И Каплер (1624) log ni B Kovaleri ( 1632) : trigonametrik funksiyalarning Sin Cos , Tg, dan iborat . M.i ni Eyler (1753) Faktoriyalni bildiruvchi : belgini X1 Kromp (1808) dx, ddx … √ ydx ( дефференилал va integrallar ) berilgani Г . Лейбниц ( 1675) matbuotda (1684) modulni bildiruvchi | X | belgini K. Veryershtrass (1841) joriy qilgan va X.K. 3) Munosabatlarni M.i : =(tenglik ) –F Rekord (1557) >< ( kotta va kichik ) – T Tariot (1631). ( Parollellik ) – Y . Отрият (1677) : 1 ( Perpendikuliyar ) – П Эриган tomonidan joriy etilgan. 48.Ishorasi o’zgarib: qator xadlarni ishorasi xam musbat xam manfiy bo’lgan qator .U. y . k Isholalari bir xil bo’lgan qatorga yaniy barcha xadlarni ishorasi bir xil bo’lgan qatorga qarama –qarshi qo’yiladi U.y.q. ning xususiy xomiy ishorasi almashinuvchi qatordir ( Q ). 49. Ishorasi almashinuvchi qator – hadlari galma – galdan ( navbat bilan )musbat va manfiy bo’ladigan ishora o’zgaruvchi qator ( Q Знакоперененный ряд ) ya’ni: U1 – U2 + U3 -…+(-1 ) n-1 Un +… Ko’rinishidagi qator, bunda ui lar musbat sonlar. Agar ui →0 va hadlarining absalut qiymati monoton kamayuvchi bo’lsa, ya’ni | un + 1 | < | un | bo’lsa, I.o.q yaqinlashuvchi qatordir. (лейбнеш alomati). Masalan: 1 – 1 + 1 – 1 + … U.o.q 1n 2 ga yaqinlashadi; 1- 1 + 1 - 1 2 3 4 3 5 7 + … U.o.q П ga yaqonlashadi. 4 Yaqinlashuvchi U.o.q ning rn = (- 1) n un + 1 +… qoldig’i o’zining birinchi Un +1 hadidan (tashlab yuborilgan hadlarning birinchisidan) kichik va ishorasi shu hadning ishorasi bilan bir xil bo’ladi. U.o.q yig’indisini taqribiy hisoblashda bu hossadan foydalaniladi. Masalan, birinchi misolda dastlabki uchta had yig’indisi (S3 = 1 – 1 + 1 = 5) bu qator yig’indisidan (S = 1n 2) 2 3 6 tashlab yuborilgan hadlarning birinchisidan ya’ni 1 dan kichik miqdorga farq qiladi. Demak 5 – bu qatorning 4 6 Ortig’i bilan olingan taqribiy qiymati (rn < 0). Maxraji – birning qancha teng qismga bo’linganini ko’rsatuvchi a son (q. Дробь). Algrebaik P kasrning maxraji Q dir, bunda P va Q algebraik ifodalar (q. алгебречиское Q Вырожения). 50. Qiymatli raqamlar. O’nli kasr ko’rinishida yozilgan taqriybiy sonning Q.R chap tomonida no’ldan farqli birinchi raqamdan keyingi nollardan tashqari barcha to’g’ri raqamlari. Masalan, o’lchash yoki hisoblash natijasida biz 0,001 gacha aniqlik bilan 3,240, 0,0372 taqribiy sonlarni hosil qilgan bo’lsak, u holda birinchi sonning Q.R 3.2.4 va 0 bo’lib, ikkinchi sonning Q.R esa 3 va 7 bo’ladi. Yoki boshqa misol; 137, 13, 7; 1,37; 0,137; 0,0137 sonlarning Q R bir xil 1,3 va 7. Taqribiy sonlarning Q .R soni bu sonning qiymarliligi deb ataladi. Q .R tushunchasi logarifmik chizg’ich bilan hisoblashda va electron – hisob mashinalaridagi hisoblashda (suruluvchi vergulli sonlar ustida bajariladigan amallarda) qo’llaniladi. 51. Sonning qiymatliligi – biror sonning qiymatli raqamlari (Q.Значащий цыфры) soni. 52. Oltin bo’lish – kesmani shunday ikki qismga bo’lishiki, ulardan kattasi kichik qismi bilan butun kesma orasida o’rta propotsional kesma bo’ladi, ya’ni O.b da a : x = x : (a- x) munosabat o’rinli bo’ladi, bunda a – butun kesma, x – ikki qismdan kattasi. X2 + ax – a2 = 0 (1) tenglamani yechib, x = a (√5-1) ≈ 0,62 a ni (0,01 gacha aniqlikda) hosil qilamiz. Uzunligi (1) 2 tenglamani qanoatlantiruvchi x kesma bunday yasaladi; AB = a kesmaning B uchidan BC = a perpedikular 2 chiqariladi. Bundan keyin AC kesma yasalib unda CD = CB = a kesma olinadi. Bu holda AE = AD kesma 2 izlanayotgan x kesma bo’ladi, ya’ni (*) tenglama qanoatlantiriladi. O.b qadim zaonda ham ma’lum edi: Evklidi “Asoslari” ning II – kitobida (*) tenglama yechimiga teng kuchli bo’lgan yechim bor. “Asoslar”ning IV va XIV kitoblarida Evklid O. b ni tatbiq qiladi. Stereometriyada Evklid O.b ni muntazam o’n ikkiyoq va yigirmayoq yasash uchun tadbiq etadi. O. b boshqa proporsiyalar bilan birga arxetektura va sa’natda ko’p qo’llaniladi. Ba’zi avtorlar bu proporsiyani “iloxi” proporsiya deb ataganlar. O. b ba’zan oltin kesim, garmonik bo’lishi, chetki va o’rta nisbatda bo’lishi deb ham ataladi. 53. Iratsional ifoda – radikal (ildiz) dan tashkil topgan algebraik ifoda, masalan, a + √a + 2b, a√2, 3√ a + √ a – b2, √ a2 va bo’shqalar. Shuni ta’kidlash lozimki, U. u irosional son bo’lmasligi ham mumkin. Masalan; √a U.u a = 4 da ratsional son 54. Iratsionallik – ratsional sonlar maydonida keltirilmaydigan butun koeffisentli n – darajali ko’phadning ildizi n = 2 bo’lganda biz kvadratik irotsionallik tushunchasiga kelamiz. n – darajali U tushunchasi “n – darajali algebraic son “ tushunchasi bilan bir xil. n- darajali U. ni o’rganishida Ukrain matematigi G.F. Voronoy va Peterburg sonlar nazariyasi maktabi olimlari katta xissa qo’shdilar. Bu haqda to’laroq ma’lumot olish uchun B.N Deloning, “Петербургская школа теории чисел” nomli kitobiga qarang. 55.Iratsional tenglamalar – nomalumlar radikal shiorasi ostida bo’lgan tenglamalar. M – n, √x – 2 = 5, √x – 2 + x = √x2 – 4 tenglamalar U.m dir. U.m. dir. U .m darajsi tushunchasi kiritilmaydi. U.m ~ ni yechish metodlariga quyidagilar kiradi: 1) Yordamchi nomalum kiritish metodi, uni kiritish natijasida U.m ni yechish masalasi ratsional tenglamalar sistemasini yechishga keltiriladi., Masalan yuqorida berilgan ikkinchi tenglamani yechishida o’zgaruvchilar Y + X = S, √ X – 2 = Y, √ X2 – 4 = S Bilan belgilansa bu ish X – 2 = Y2; Y + X = S, X2 – 4 = S2 sistemani yechishga keltiriladi; 2)Radikalni yakkalash va tenglamaning xar 2 tomonini kvadratga ko’tarish buning natijasida radikallar oz bo’lgan (yoki radikallar bo’lmaydigan) tenglamaga kelinadi.3) Tenglamaning ikkala tomonini uning 1 tomoniga turgan ifodaga qo’shma bo’lgan ifodaga ko’paytirish U.m cheksiz ko’p yechimga xam ega bo’lishi mumkin: Masalan √X + 8 – 6√X – 1 + √X + 3 – 4 √X – 1 = 1 tenglama 5≤ X ≤ 10 dan iborat cheksiz ko’p ildizlarga ega. U.m ning yechimlari odamga xaqiqiy sonlar soxasida qaraladi, tenglamalarga kirgan ildizlar esa faqat arifmetik ildiz deb qaraladi. U.m ni yechimga tenglamani to’g’ri almashtirishga, tenglamalar ming qo’shimchasining buzilishi mumkunligiga, yangi ildizlar paydo bo’lishi va tenglama ildizlarining yo’qolishiga diqqat qilib turish kerak. 56. Irrasional sonlar davri bo’lmagan cheksiz unli kasr ko’rinishiga yoziladigan sonlar, Masalan ┼ 0 1010010001…; ┼√2; ┼lg 5; ┼ sin 310; ┼ (√3 - √2) va boshqalar U.C P ko’rinishida tasvirlanishi mumkin emas, A Bunga p va q o’zaro tub sonlar (q╪0), U.C ning izchil nazariyasi XIX asrning II – yarmida nemis matematigi Dedekind tomonidan ishlab chqiarigan. Xar qanday U.C ni ixtuyoriy darajadagi aniqlikda ratsional son bilan taqribiy ravishda ifodalash mumkin. U.C algebra (Қ) va transuindent (Қ) bo’lishi mumkin. U.C ustida amal bajarishda odamga ular taqribiy ratsional qo’shimchalari bilan almashtiriladi. U.C avvalo algebra ildizchqarishda va geometriyada kasmalarini o’lchashga chiqadi. Dedikindova sechenie chislo Irrotsionalnost p – stepeni, Galua teoriya terminlariga qarang. 57. Nomalumlarni yo’qotish – bir necha nomalumni o’z ichiga olgan tenglamalar sistemasidan nomalumlar soni o’z bo’lgan tenglamalar sistemasi (yoki bitta tenglamaga) o’tish. 58. Katet – to’gri burchakli uchburchakni (tekis yoki sopernik) to’g’ri burchagiga yopishgan ikki tomonidan xar biri. Bunga tog’ri burchakli sferik uchburchak deb faqat bitta to’g’ri burchakka ega bo’lgan uchburchakka aytiladi. 59. Kvadrat – ikki qo’shni tomoni ming bo’lgan (bundan barcha talonlarining tengligi kelib chiqadi) to’g’ri to’rtburchak bo’lgan (bundan barcha burchaklarning to’g’ri burchakligi kelib chiqadi) rambdir deb tariflash xam mumkin, kvadratga bunday tariff berish xam mumkin: K – barcha tomonlari va barcha burchaklai ming bo’lgan parralelogramdir. K ning to’rtta simmeriya o’qi bor. Ikki dioganal va ikki o’rta chiziq (qarama – qarshi tomonlarini tutashtiruvchi kesma). K da tashqi chizilgan va ichki chizilgan aylana yasash mumkin. K muntazam ko’pburchakdan biridir. K ning dioganali o’z tomoni o’lchovdan emas. 60. Kvadrat tenglama : ax2 + bx + c = 0 ko’rinishdagi tenglama, bunga a╪0, a,b,c koefisentlar xaqiqiy yoki kompleks sonlar bo’lishi mumkin. Odamda xaqiqiy kofisentlar K.t qaralashdi. Kompleks sonlar maydoniga K.t xar doim ikkita yechimga ega bo’ladi. Agar a=1 bo’lsa, K.t keltirilsa K.t deyiladi, y odamga x2 + px + q = 0 ko’rinishda yoziladi. Agar b = 0, yoki c = 0 yoki b = c = o bo’lsa, K.t chala K.t deyiladi. Agar butun kofisenti K.t bitta irrasional x2 = Ch1 – a ildizga xam ega bo’ladi, bunga Ch1 ratsional) son a – irrosional son. Agar a,b,c lar xaqiqiy sonlar va u+vi (v╪0) – K.m ning ildizi bo’lsa, unga qo’shimcha bo’lgan u – vi soni xam K.t ning ildizi bo’ladi Butun (Yoki ratsional) kofisentli K.t ning irrotsional ildizlari kvadratik – irratsionallik deyiladi. K.t ildizlarining yig’indisi – b ga ming,. a Yangi x1 + x2 = - b, ildizlarning ko’paytmasi esa c ga teng, yani x1 x2 = c ∙ ( A a a K.t ikkinchi darajali bir nomalumli tenglama deb xam ataladi. 61. Kompleks – kombinatorik topologiyaning asosiy tushunchalaridan biri. Topologik fazolar keng sinifini o’rganishi K. tip topologik xossalarini o’rganishiga keltiriladi. K. to’g’ri joylashtirilgan xar hil o’lchamli simplekslar to’plamidir, yani K. ga tegishli bo’lgan xar qanday ikki simpleks yoki kesilmaydi, yoki umumiy ega bo’yicha kesishadi K. ga simpleksning barcha yoqlari xam tegishli bo’ladi. K.ga kiruvchi simpleksning eng katta o’lchami K ning o’lchami deyiladi. m-n, shtrixlangan ikki uchburchakdan va AB, BC. Va ED kesmalaridan tuzilgan K. ning o’lchami 2 ga teng. 62. Qo’shma kompleks funksiyalar – xaqiqiy qisimlari teng, mavqum qisimlarining ishoralari qarama-qarshi bo’lgan kompleks so’zgaruvchili ikki funksiya. 63. Qo’shma kompleks sonlar – z = a + bi ba z = a – bi ko’rinishdagi kompleks sonlar. Bunday ikki son = o’zaro qo’shma sonlar deyiladi yoki, bari bir, z va z sonlaridan xar biri boshqasiga qo’shma deyiladi; bu ta’rif qo’shma sonlar umumiy terminiga ancha mos keladi. Agar z kompleks sondan unga qo’shma bo’lgan z songa utishini z (ustida chiziqchasi bo’lgan z soni) bilan belgilansa , qo’ydagi tengliklar o’rinli bo’ladi: Z1 + Z2 = Z1 = Z2, Z1 + Z2 = Z1 + Z2 = Z=Z bularni bunday o’qish mumkin: kompleks sonlar yig’indisiga (ko’paytmasiga) qo’shma bo’lgan so qo’shiluv- chilarga (ko’paytuvchilarga) qo’shma bo’lgan sonlar yig’indisiga (ko’paytmasiga) teng va z ga qo’shma kom- pleks bo’lgan songa qo’shma bo’lgan kompleks son avvalgi kompleks songa teng bo’ladi. Q.k.s. yig’indisi ularning xaqiqiy qisimlarining ikkilanganiga teng bo’lgan xaqiqiy sondir, ya’ni z +z = (a + bi)+ +(a-bi) a=a2+ b2 = r2. Son haqiqiy bo’lgan holda va faqat shu holda o’ziga qo’shma bo’lgan son bilan bir xil bo’ladi barcha kompleks sonlar to’p lashini ular bilan qo’shma bo’lgan kompleks sonlar akslantirish kompleks sonlar maydonida aftomafizim bo’ladi. Kompleks sonlarni geometrik taqdim etiladi bunday aksiantirish haqiqy o’qqa nisbatan simmetriyani bildiradi. 64. Tenglamaning ildizi – ao xn + a1 xn-1 +… + an = o Ko’rinishidagi algebraic tenglamaning ildizi x arifmentining bu tenglamani ayniyatiga aylantiruvchi son qiymatidir. N – darajasi har qanday algebraik tenglama ko’pleks sonlar maydonida rosa n ta ildizga ega bo’ladi [ bu fakt algebraning asosiy teoremasidan va bezu teoremasidan kelib chiqadi.] Agar bunda n ta ildiz orasida n ta si o’zaro teng bo’lsa (1≤m≤n) , y holda m ma teng ildiznini har biri m karrali ildiz deyiladi. F (x) = 0.m.u uning yechimi ham deyiladi. F(x) 0.m.u. f (x) ko’pxadni ildizi yoki o ham deyiladi. F (x) = a0 xn + a1 xn-1 +… + an 65. Integral – matematik analizni muxim tushunchasi f (x) funksiyalarini aniqlash integrali (f (f (x) a x bilan belgilanadi. Shunday f (x) funksiyalar to’plamidirki ularni har biri nuqtadagi hossalari f (x) ga teng. Bu funksiyalar f (x) uchun boshlanuvchi yoki funksiyalar bir biridan o’zgarmas miqtor qadar farq qiladi. Uni quydagicha yozish mumkin: ζ f (x) dx = F (x) + C. P (x) funksiyalarining a dan b ga aniq integralini (ζ f (x) dx o – n belgilanadi) deb F (b) – F (a) ayirmalariga aytiladi, bunda F (x) – boshlang’ich funksiyalaridan istalgan bittasi. Agar f (x) funksiya uzluksiz bo’lsa y holda ζ f (x) dx integral y = f (x) egri chiziq absisalari yoki va x = a, x = b to’g’ri chiziqlar bilan chegaralangan figurani yuziga teng bo’ladi. aniq uning bu tarifi quydagilarga quvvatlantiriladi: [ a, b] kesmani [xi , xi + 1] kesmalarga bo’lamiz, bunda I =1, 2, …, n – 1 xn b, x0 = a. Xar bir kesmalarda ihtiyoriy t nuqta olib qo’yiladi. Yig’indini tuzamiz S = F (t1) (x1 – x0) + f (t2) (x2 – x1) + … + f (tn) (xn – xn -1) Bu yig;indining m a x (xi – xi – 1) nolga intilganda limiti ζ f (x) dx ga teng. U tushunchasi uzlukli funksiyalariga umumlashtiriladi. Agar (*) da + (ti) o’rniga f (x) ning [ xi, xi11] dagi yuqoridagi chegarasi olinsa Darbunnning yuqori yig’indisi hosil bo’ladi. Agar yuqori yig’indilarning qo’yish chegarasi quyi yig’indilarinin yuqoriga chegarasi bilan bir hil bo’lsa ularni umumiy ζ f (x) dx qiymati bilan integrali deyiladi. 66. Konus sirti – l to’g’ri chiziq hamma vaqt qo’zg’almas n nuqtadan o’tib va qo’zg’almas SDE chiziqni kesib o’tganda k nuqtasi hosil bo’ladi. L to’g’ri chiziq k.s. ning yasovchisi, S – uning uchi SDE chiziq – yo’naltiruvchisi deyiladi. K C ikkita pallaga ega boladi. Ulardan biri SA nur ikkinchisining SB nur chizadi. Agar K .C ning yo’naltiruvchisi aylana bo’lib, S nuqta aylananing O markaziga proeksiyalansa, u xolda K. C aylanish o’qi SO bo’lgan aylanish sirti aylanish K . S tenglamasi to’g’ri burchakli dekart kordinatalari sistamasiga quydagi ko’rinishga ega bo’ladi. X2 + y2 – z2 = 0 A2 c2 Ko’pincha aylanish K.S doiraviy konus sirti yoki soddagina qilib konus deyiladi. 67. Konustansiya o’zgarmas miqdor. Agar X miqdor K bo’lsa, Y simvolik ravishda bunday belgilanadi. X = const. constant doimiy o’zgarmas. 68. Sonning ildizi – A soning N darajali ildizi (√a kabi berilganda) shunday x soni uning n – ga teng kuchli. Ikkinchi darajali ildiz (n=2) kvadrat ildiz deyiladi. Uchinchi darajali ildiz (n=3) kup ildiz deyiladi. Unli logarifmning asosi 10 yozilmagani kabi kvadrat ildizni ko’rsatkichli (n=2) ham yzilmaydi. X sonin topish ilfiz chiqarish deyiladi. Kvadrat va kub ildiz chiqarish uni malum umumiy qoidalar algaritomlar mavjud bunda bu algaritomlar amalda kam qo’llanilsa ham (a+b)2 va (a+b)2 formulalaridan foydalaniladi. Ildiz chiqarish uni (n=2;3) esa hisoblash chizg’ichi jadvallar va tarkibiy formulalaridan foydalaniladi shuningdek ildiz chiqarishni grafik usuli va nomagrammalaridan foydalaniladi. Kompleks sonlar maydonida a soning n – darajali ildizi quydagi formula bilan topiladigan rosa n ta qiymatga ega bo’ladi. n√a = n√ | a | (Cos 4 + 2 II K + I sin u + 2 II k) . n n bunda | a | - a sonining mo’duli φ – uning argumenti k = 0,1,2,…, (n – 1) biror n 1 natural soning n darajasiga teng bo’lmagan eng natural sonning n darajali ildizi shunday a irotsional sonini n√ = a bo’ladi. Bunga n darajali irotsionalilk deyiladi. 69. Kosekansoida – kosekans funksiyani turi. Burchakli dekart kordenatalar sistemasidagi grafigi. 70. Kosenoslar teoremasi – 1 tekislikdagi tregrometyaning kvadrati qolgan ikki tomoni kvadratli yig’indisidan shu tomonlar bilan ular orasidagi burchak kosinosi ikkilangan ko’paytmasi ayrilganda teng S2 = A2 + B2 – 2 AB Cos S, bunda A,B, S – uchburchak tomonlarining uzunliklari S esa A va B tomonlar orasidagi burchak K. M. Ko’pincha elementar geometriya va trigonametriya masalalarini yordamida qo’llaniladi. 2. sferik uchburchak tomonlarini uni K. M sferik uchburchak bir tomoning kosinusi qolgan ikki tomon kosinuslar ko’paytmasiga shu tomonlar sinuslari bilan shu tomonlari bilan shu tomon- lar orasidagi burchak kosinusining ko’paytmasining qo’shilganiga teng cos a = cos b cosC + sin b sin c cos A. 3 . Sferik uchburchak burchaklari uni K ∙ m: sferik uchburchak burchagining teskari ishora bilan olingan ko’paytmasi va Shu burchaklar sinuslari bilan birinchi burchak qarshisidagi tomon kosinusi ko’paytmasi yig’indisiga teng Cos A = -cos B cos C + sin B sin C cos a.
71 .Kosinuslarga to’g’ri burchakli dekart kordinatalari sistemasiga y= Cos X funksiyalarining K. sinuslarining huddi o’zi bilan belgilanadi faqat O X o’q bo’yicha chapga π ga surilganidir chunki 2 Cos χ = sin (χ+ π ) 2 72 .Koiffisent Algebrik ifodadagi κ . – bu ifodadgi ko’paytuvchilaridir. Μ-n 2 yx2 ifodada X2 oldidagi K∙ 2y Ko’paytuvchilarda , C (a + b ) ifodada K. ( a + b ) ko’paytuvchidir ba’zan K tushunchasi maxsus mazmuni har hil formulalardan kopaytuvchi bo’lib xisoblanadi burchak K- tekislikda y = l x +B tog’ri chiziq tenglamasidagi k soni bu tog’ri chiziq bilan obsisalar o’qini musbat ionlarini orasidagi burchakni tangenisini ifoda qiladi gomo- tetiya K. va ishqalanshi K. va boshqalar unday harf bilan bosh’lanuvchi lotincha so’z bilan biror narsani sabab bo’luvchi so’zlardan so’zma – so’z kofitsienti ko’maklashuvchi . 73 . Kub muntazam oltioyoq . K. besh tur muntazam ko’piklardan biri bilan belgilanadi oltita yoki 12 ta qirrasi 8 ta uchi bor. K, yoqlari kvadratlar bilan belgilanadi. K, ning a bolgan K, sirti 6 a2 hajmi esa a3 ga teng. K, ning Simetriya markazi 9 ta simetriya yoki va 9 ta tekisligi bor K, ABCDA’B’C’D’ bilan yoki AC’ bilan belgilanadi K, muntazam oktaedra ozaro munosabatidir markazlari bo’ladi. n ta bir xil sondan iborat toplam n o’lchovi kubining uchlari qiralari o ≤ xi ≤ 1. n o’lchovi kubning uchlari qirralari 2, 3, 4 va hokazo o’lchov yoqlari bo’la-di. Xar bir bunday yoq kichik o’lchov kubidir n o’lchovi K, ning 2n uchi bor. Uchlarning kordinatalari faqat bir va noldan iborat. 74. Kubatura: 10. K. – berilgan jism hajmidagi kub birliklar soni. 20. K – berilgan jismlarga tengdosh bo’lgan kub yasash. 30. K. – jisimining hajimini hisoblash. 75. Kub – tenglama – quydagi ko’rinishdagi tenglama; A0 X3 + A1 + X2 + A2 X + A3 = O. Bunda a0, a1, a2, a3 = ihtiyoriy kopleks sonlar, lekin a0 ╪ o. Umumiy ko’rinishdagi K m. x = y – a1 o’rniga 3a0 qo’yishi bilan y3 + py + q = 0. Ko’rinishiga keltiriladi bunda P = - a12 + a2 , q = 2a13 – a1 a2 + a3 3a02 a0 27a30 3a2o a0 So’ngi tenglama Kardano fo’rmulasi bo’ycha yechiladi. Shunday qilib, pirinsip jihatdan qaraganda oshkor holda ifodalanishi mumkin. Lekin K m ning uchchala ildizi haqiqiy bo’lgan holda kompleks sonlardan kub ildiz chiqarilishi talab qilinadi, buni ja haqiqiy sonlardan kub ildiz chiqarishga keltirilib bo’lmaydi. Amalda kordano formulasi kam qo’llanadi, chunki unda hisoblash juda murakkab. Shuning uchun ko’pincha K. m ni yechishda tarkibiy matodlar qo’llanadi: Shtorim metodi, Niyuton metodi, Lobechevskiy metodi. K,m ba’zan kubik tenglama deb ham ataladi. 76. Chiziqli algebra – algebraning bo’lishi bo’lib, unda chekli o’lchovli chiziqli fazolardagi chiziqli almashtirishlar o’rganiladi. Ch. A chiziqli tenglamalar sistemasini ya’ni o’zgaruvchiga nisbatan birinchi darajali bo’lgan tenglamalarni yechish munosabatibilan paydo bo’lgan. Ch.a ning yahshi rivojlangan bo’limlari matritsalar nazariyasi, formulalar nazariyasi, invarlotlar nazariyasidir. Ch.a ning ba’zi g’oyalari analiz va defferinsial tenglamalarning quydagi asosiy teoremalarni isbotlashga qo’llaniladi: oshkormas funksiyalar haqidagi teorema, dfferentsial tenglamalar avtonoch sistemasi yechimlarining barqarorligi haqidagi teoremalar va boshqalar. Tenglamani lo A lg B ko’rinishiga keltrish; quydagi logarifmik formulalaridan foydalanish: N = (lgb N):(lgb a), lg a N = lgan Nn; Grafik usul va tenglamalarni yechishning va boshqa tarkibiy usullari misollar.1. lg (x – 5) + lgx = lg (1 – x). Bu tenglamalarni yechimi yo’q chunki uni tomoni x < 1 ya’ni chap tomoni x > 5 ya’ni aniqlangan. 2 lg x = 2 bu tenglamada be vosita x = 102 = 100 ekanini topamiz. 3 lg x2 = 2, 2lg | x | = 2, lg |x| = 1. bu tenglamalardan |x| = 10, x = ╪ 10 ekanini topamiz. 4 lg4 x + lgx 4 = 2,5 ( * )formulani birinchisidan foydalanib Lg4 x + 1 = 2,5 Lg 4 x Tenglamani xosil qiladi, yoki lg4 x =y deb olib, y+ 1 =2,5 y tenlamaga kelamiz. Bundan y2 – 2,5 y +1 = 0 yoki y1 = 2 va y2 = 1 yoki lg4 x1 = 2 va lg4 x2 = 1 bundan x1 = 16 2 2 Download 157,66 Kb. Do'stlaringiz bilan baham:
|
Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha
yuklab olish