Ва φ векторлар устун координаталари орасидаги боғланиш. Чизиқли алгебралар

Хос векторлар ва хос қийматлар.
Характеристик тенглама (2 соат)

Режа:

1. 
   Хос қийматлар.
   
2. 
   Хос векторлар.
   
3. 
   Характеристик тенглама.
   
4. 
   Характеристик кўпҳад.
   
5. 
   Характеристик кўпҳаднинг ягоналиги.
   

Адабиёт

1. 
   Назаров Р.Н., Тошпўлатов Б.Т., Дўсумбетов А.Д. Алгебра ва сонлар назарияси. I қисм. Т.: Ўқитувчи. 1993 й. (263-266 бетлар).
   
2. 
   Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. М.: Высш. шк. 1979 г. (стр. 307-309).
   

Комплекс сонлар майдони устида қурилган V_n вектор фазо ва φ:V_n V_n чизиқли оператор берилган бўлсин.

Таъриф. Ушбу
(1)
тенгликни қаноатлантирувчи сонга φ чизиқли операторнинг хос қиймати, вектор эса хос қийматга мос келувчи хос вектори дейилади.
Теорема. Комплекс сонлар майдони устида қурилган V_n вектор фазонинг ҳар бир φ чизиқли оператори камида битта хос векторга эга.
Исботи. V_n вектор фазонинг
(2)
базиси берилган бўлиб, векторнинг бу базисдаги координатаси бўлсин, яъни тенглик ўринли бўлсин. векторлар (2) базис орқали чизиқли ифодаланади, яъни
(3)
бўлади.
,
матрица φ чизиқли операторнинг (2) базисдаги матрицаси. Энди φ( ) векторнинг (2) базисдаги координаталарини аниқлаймиз.
(4)

1. 
   ва (4) га асосан
   

,

(5)
келиб чиқади.
(5) система номаълумли бир жинсли чизиқли тенгламалар системаси. Бу система нолмас ечимга эга бўлиши учун система детерминанти нолга тенг бўлиши зарур ва етарли. Шунга кўра



(6)
ҳосил бўлади. (6) га φ чизиқли операторнинг характеристик тенгламаси деб юритилади. (6) нинг чап қисмидаги детерминант га нисбатан n-даражали кўпҳадни билдиради. Бу кўпҳадга φ чизиқли операторнинг характеристик кўпҳади деб юритилади. Бизга маълумки, n-даражали кўпҳад комплекс сонлар майдони устида n та илдизга эга бўлади. Бу илдизлар бўлиб, улар φ чизиқли операторнинг хос қийматлари бўлади. Ҳар бир хос сонларни (5) системага қўйиб, унинг нолмас ечимлари топилади. Бу ечимлардан тузилган векторлар хос сонларга мос хос векторлар бўлади.
Агар матрицанинг ранги бўлса, φ чизиқли операторнинг ҳар бири хос сонга мос келувчи хос векторлар сони (n- ) га тенг бўлади.
Теорема. φ чизиқли операторнинг турли базисларидаги характеристик кўпҳадлари тенг.
Исботи. φ чизиқли операторнинг
, (7)
(8)
базислардаги матрицалари мос равишда А ва В бўлсин. У ҳолда эканлигини кўрсатамиз. Бизга маълумки, В=Т^-1АТ бўлиб, Т матрица (7) базисдан (8) базисга ўтиш матрицаси. У ҳолда
|B-λE|=|T^-1AT-λE|=|T^-1AT-λT^-1T|=|T^-1AT-T^-1λT|=|T^-1||AT-λT|= =|T^-1||A-λE||T|=|A-λE||T^-1||T|=|A-λE||T^-1T|=|A-λE|^.1=|A-λE|,
яъни |B-λE|=|A-λE| бўлади.

Текшириш саволлари

1. 
   Чизиқли операторнинг хос қийматлар деб нимага айтилади?
   
2. 
   Чизиқли операторнинг хос векторлар деб нимага айтилади?
   
3. 
   Чизиқли операторнинг характеристик тенгламани ёзинг.
   
4. 
   Чизиқли операторнинг характеристик кўпҳадни ёзинг.
   
5. 
   Чизиқли операторнинг хос вектори ҳақидаги теоремани баён қилинг.
   

Таянч тушунчалар

1. 
   Майдон.
   
2. 
   Вектор фазо ва унинг базиси
   
3. 
   Чизиқли оператор.
   
4. 
   Чизиқли тенгламалар системаси.
   
5. 
   Детерминант.
   

14, 15 - маърузалар