В вычислительной математике существенную роль играет интерполяция функций, т е

L_n и P_n H_n ¹ : L_n ≠ P_n.
L_n(x_i) - P_n(x_i) 0 и L_n(x_i)  P_n(x_i) ( ).
так, выходит противоречие. Единственность установлена. А так как полином единственный, то у соответствующей системы линейных алгебраических уравнений есть только одно решение.

1.4 Интерполяционный полином Лагранжа

Сейчас перед нами задача, которая состоит из нахождения такого многочлена, степени n, который совпадает с заданной f(x) в точках x₁, x₂, …, x_n  [a,b], т.е. чтобы выполнялось равенство

f(x_j)=L_n(x_j) ( ).
Чтобы решить эту задачу, введем многочлены степени n, которые в точках при i≠j равны нулю, а в точке при i=j равны единице. Очевидно, что:
_jH_n, _j(x)=A_j(x-x₀)(x-x₁)…(x-x_j-1)(x-x_j+1)…(x-x_n)= ,
где постоянная А находится из условия _j(x_j)=1, тогда



Таким образом, получаем, что
_j(x)
Получаем, что поставленную задачу решает многочлен

Многочлен называется интерполяционным многочленом Лагранжа.

Задача 1.

i	0	1	2	3
	0	2	3	5
	1	3	2	5

Пусть задана интерполяционная таблица:

Построить интерполяционный полином Лагранжа.

Решение.


2. Один вид обобщенной интерполяции
2.1 Обобщенная интерполяция

Рассмотрим пример интерполяции для элементов множества . Для простоты и краткости возьмем [a,b]=[-1;1], .

Пусть точки и будут разными между собой. Поставим такую задачу:

построить многочлен , удовлетворяющий данным условиям. Здесь «собственный» оператор класса :



Теорема .
Если взять в произвольной форме fC{m;0}, удовлетворяющее условию (12), то существует «обобщенный» интерполяционный полином и он единственен.
Доказательство:
Найдем интерполяционный полином в стандартном виде:

Затем, учитывая (13) для того, чтобы найти коэффициенты ( ), приходим к следующей алгебраической системе:

Эту систему упорядочим в матрицу S, являющуюся прямой суммой двух квадратных матриц размерностью m и n+1.

Здесь

Значит, основываясь на фактах линейной алгебры, определяем

Что и требовалось доказать.
Сейчас поставим перед собой цель записать многочлен G(x) в явном виде. Будет полезно рассмотреть стандартный вид многочлена Лагранжа. Из (13) видно, что

Поэтому имеет место следующее:

Возьмем параметры:
Таким образом

Замечание :
Если m=0, C{0;0} C[-1;1], ( ). Значит, рассмотрев функцию в задаче (11) приводится к обычной интерполяционной задаче, а многочлен Лагранжа (16) превращается в обычный интерполяционный многочлен. Таким образом, задача (11), действительно, в значении одного определения становится обобщенной задачей интерполирования.
Сейчас поговорим о погрешности обобщенной интерполяции.
В этом случае нужно дать оценку побольше. Выше приведены размышления и следствия, полученные в целях определения одной системы функций.
.


Теорема .
Если :
Здесь
Доказательство:
Приняв во внимание (16) получаем

Следующие приведения к формуле теоремы легко доказываются и теоремы
Следствие .
Пусть
В это время:

Значит .

Заключение
Мы убедились, что в вычислительной математике существенную роль играет интерполяция функций, значения которой совпадают со значениями заданной функции в некотором числе точек.
В данной курсовой работе рассматривается интерполирование функции полиномами, непосредственно непрерывных функций на отрезке и в точке, определили понятие погрешности интерполяции.
У нас возникла задача о восстановлении непрерывной функции по ее табличным значениям, поэтому в данной работе были приведены конкретные примеры по построению интерполяционного полинома Лагранжа.

Список использованной литературы

1. 
   Н.С.Габбасов. Некоторые применения производной. Наб.Челны, 1998г.
   
2. 
   С.М.Никольский. Курс математического анализа. М.: «Наука», 1990г.
   
3. 
   Из интернета :
   

Wikipedia.org
www.machinelearning.ru

1^ Здесь H_n – это множество всех алгебраических многочленов степени n.