V математическая олимпиада «Шелковый путь»

Xalqaro Matematika olimpiadasida qatnashish uchun tanlovning birinchi bosqich topshiriqlari

1-masala. y = 2x² – 1,   z = 2y² – 1,  x = 2z² – 1 bo’lsa, barcha x, y, z sonlarni toping.
2-masala. 20x³ − 14y² = 2014 tenglamani butun sonlarda yeching.
3-masala. Ma’lumki, [0, 1] kesmadagi barcha x lar uchun ax² + bx + c  kvadrat uchhad

|ax² + bx + c|

tengsizlikni qanoatlantiradi. |a| + |b| + |c| ifodaning eng katta qiymatini toping.

4-masala. Barcha musbat x va y sonlar uchun  f funksiya  f() = f(x) + f(y) tenglikni qanoatlantiradi. Agar f() = 1 bolsa,  f(2014) ni toping . 

5-masala. ABCD rombning B uchidan AD tomonga BE perpendikulyar tushirilgan. Agar 2CE = AC bo’lsa, rombning burchaklarini toping.


Izoh. Ajratilgan vaqt: 4,5 soat.. Qoralamani topshirmang. Sizga omad tilaymiz!

Задания первого отборочного этапа для участия на Международной математической олимпиаде

Задача №1. Найти все числа x, y, z, если известно, что y = 2x² – 1,   z = 2y² – 1,  x = 2z² – 1.
Задача №2. Решите уравнение 20x³ − 14y² = 2014 в целых числах.
Задача №3. Известно, что для всех x из отрезка [0, 1] квадратный трёхчлен ax² + bx + c  удовлетворяет неравенству

|ax² + bx + c|.

Найдите наибольшее значение величины  |a| + |b| + |c|.

Задача №4. Функция f  для любых положительных x и y удовлетворяет равенству 

f() = f(x) + f(y) . Найдите f(2014) , если f() = 1 . 

Задача №5. В ромбе ABCD из вершины B на сторону AD опущен перпендикуляр BE. Найдите углы ромба, если 2CE = AC.

.

Примечание. Отведенное время: 4,5 часа. Черновики не сдавать. Желаем успеха!