V. Канонические уравнения

12416Equation Chapter 16 Section 24V. Канонические уравнения
65а. Дифференциальное уравнение Гамильтона-Якоби для оп­ределения действия S получается заменой в функции Гамиль­тона ( ) импульсов производными и приравни­ванием полученного выражения производной по времени с от­рицательным . Производные от решения этого уравнения по координатам дают импульсы а по времени — энергию с обратным знаком ( ). Приравнивание производных по входящим при решении уравнения параметрам (в числе, равном числу степеней свободы) новым постоянным дает урав­нения траектории.
Для свободной точки :

и уравнение Гамильтона-Якоби принимает вид:

Если не содержит явно времени, т. е. энергия сохраняется, то из следует, что t входит в в виде .
Аналогично из следует, что циклические координаты входят в в виде .

В нашем случае а — циклические координаты.

Поэтому

Подстановка этого выражения в уравнение Гамильтона дает:

Продифференцировав по постоянным и приравняв новым постоянным получаем:

, ,
65б. Функция Гамильтона:
;

уравнение Гамильтона - Якоби:

Полагая получаем:

откуда

Подставив в получаем:

Продифференцировав по постоянной и приравняв по­лучаем:

или:

65в. Функция Гамильтона:

(ось по направлению поля). Координаты и циклические; поэтому

Для определения подставляем в уравнение Гамиль­тона - Якоби:

и получаем:

Отсюда:

Продифференцировав по и приравняв постоянной по­лучаем:


есть начальная координата . Продифференцировав по получаем

и аналогично для .
65г. Функция Гамильтона:

уравнение Гамильтона-Якоби:

— циклическая координата и потому мы .ищем в виде:

Подставляя в уравнение, получаем в виде:

Проинтегрировав, получаем:

Продифференцировав по и по и приравняв постоянным, получим уравнения траектории в том виде, как они были получены в задаче 22а.
65д. Функция Гамильтона в цилиндрических координатах:

Отсюда

и циклические координаты. Поэтому полагаем

определяется подстановкой выражения для в уравнение, откуда получается:

т. е.

Дифференцирование по и даст опять те же уравнения для и , что и в задаче 65г, а дифферен-цирование по даст:

65е. В сферических координатах:

откуда

Ищем в виде :

Подставив это в уравнение, получаем:

Правая часть зависит только от , а левая – от Поэтому каждая из них должна быть равна одной и той же постоянной . Это дает:


Проинтегрировав, получаем:

Дифференцируя по , , и приравнивая постоянным, можно получить уравнения траектории.