Узбекистон республикаси олий ва урта махсус таълим вазирлиги т. Исокова, X. Хужак улов

8.2. Ахрлини прогнозлаш усуллари. Математик моделлар
За м он а ви й статист и када ахрлини п р о г н о з л а ш н и н г кдгор 
усуллари яратилиб, улар \ а р хил моделларга асосланган, х,ар 
хил ан и к д и к к а эга.
А хрлининг келажакдаги со н и н и ан и кд аш д аги э н г оддий 
моделлар у н и н г умумий сони узгари ш и н и тавси ф лай ди. Бу 
моделларни п рогнозлаш математик ф у н к ц п я л а р н и ку л л аш - 
га а с о с л а н и л га н . Ахрли сон и у зг ар и ш и г р а ф и к тузувчи уси- 
ш и га эга б улгани учуй улар баъзи м а т е м а т и к к.ийшик, чи- 
з и к д а р н и эслатади. Ш у н и н г учун ах1о л и н и н г ам алда ги ди
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

н а м и к а с и н и м а т е м а т и к к и й ш и к ч и з и к д а р ёрд ам и д а си л - 
л и к -iaui м а сал ас и ку р и л ад и . У лар о р а с и д а э н г куп т а р к а л - 
гани курсатувчи п а р а б о л а ва м а н т и л и й ф у н к ц и я х;исобла- 
нади. К,андайдир а в в ал ги д ав р учун а \ о л и с о н и н и силлик,- 
л а г а н д а ^и со б д аги ва ам ал д а г и м а ъ л у м о т л а р н и н г м ос ке- 
л и ш и б у н д ан к е й и н \ а м мос к е л и ш и н и ёхуд кабул к и л и н -
ган ф у н к п и я л а р н и п р о г н о з л а ш м а к с а д л а р и д а к,уллаш мум- 
к и н л и г и н и ан гл атад и .
1891 й и л д а а м е р и к а л и к а с т р о н о м Г .П р и т ч е т т и АК,Ш 
а \ о л и с и с о н и н и аввалдан а н и к л а ш м а кса д и д а уч и н ч и тар- 
ти б л и п араб ол ад ан ф о й д а л а н и ш н и т а к л и ф этди. Ш у к,ий- 
ш и к, чизик, а с о с и д а 1790-1880 й и л л а р д а г и ах;оли с о н и н и
с и л л и к д а ш н а т и ж а л а р и ам ал даги маълумотлар б и л ан мос 
келган. Учинчи тартибли парабола асосидаги 1880 йил прогно- 
зи м аъл ум отл ари ам ал д а ги с и б и л ан э н г куп (55 м и н г) ф а р к
Кил гам. АКД1 а \ о л и с и шу н и с ба тда ортиб боради деб, П р и т - 
четти а \ о л и с о н и н и 1000 й ил аввал \ и с о б - к и т о б к и л ган . 
А м м о вакт утган сари ам алдаги сон б и лан п рогн озд аги с о н - 
лар ф а р к и орти б б орди . М аълум б у л и ш и ч а, авв ал л ар и а \ о л и
у с и ш и н и та с в и р л а ш учун я р о к д и булган п араб ол а п р о г н о з ­
л а ш учун я р о к с и з экан .
А \о л и н и н г аввалги ва келажакдаги уси ш и н и тав си ф лаш
учун курсатувчи ёки э к сп о тен ц и а л к и й ш и к ч и з и к куллани- 
л иб, унда п рогноз д аври билан бирга а \ о л и н и н г таб и и й усиш 
к о э ф ф и ц и е н т и \ а м \и с о б г а ол инган. Агар таб и и й усиш к о ­
э ф ф и ц и е н т и К маълум вакт орали™ учун узгармас деб \и с о б - 
л ан са, э к с п о те н ц и а л конунга асосан, а \ о л и с о н и н и н г у с и ­
ш и н и \ и с о б л а ш мумкин:
S , = S 0 . e b .
Агар ка н д ай д и р м ом ентга (S0) а \ о л и сон и ва т аб и и й усиш 
к о э ф ф и ц и е н т и маълум булса, к е лти р и л ган ф о р м у л а асоси да 
t й илдан сунгги а \ о л и с о н и н и \ и с о б л а ш м ум кин . А м м о бу 
модель асоси да а \ о л и н и н г ёш т а р к и б и , туги ли ш ва улиш
д ар аж аси \а к и д а г и м аъл ум отл арн и о л и ш ва бу курс атки ч - 
л ар орас и д аги п р о п о р ц и я л а р н и урган и ш \ а м м у м к и н эмас.
Л ек и н ай ти ш м ум к ин ки , К>0 булса, а \о л и сони усади, 
агар К<0 булса, камаяди, К = 0 булса, узгармай колади.
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

Э к с п о т е н ц и а л к,он ун д ан ф о й д а л а н и б , м а ъ л у м д а в р
утган д ан сунг а \ о л и маълум с о н г а т е н г б у л и ш и учун к^анча 
вак,т к е р а к л и г и н и \ а м а й ти ш м ум к и н . Б у н и н г учун э к с п о ­
т е н ц и а л к,онун д и с п е р с и я с и д а н t н и н г к а т т а л и ги н и аник,- 
л а й м и з , ав в ал д ан т е н г л а м а н и н г \ а м чап, х;ам ун г к^исмини 
л о г а р и ф м л а б олам и з:
lg S , = l g S n + к • t I g e ;
f
_ [g s , - i g s
I g e • к
lge=0,4343 булгани учун, касрн ин г махражи 0,4343ни т а ш ­
кил этади. S, урнига ах1о л и н и н г ик^тисодий с о н и н и куйиш, 
сунгра t даврпи ан и клаш мумкин. Бу давр а \ о л и н и н г базавий 
сони S(l К узгармаган \ол да S, катталикка эга булади.
А \ о л и н и н г таб и и й усиш к о э ф ф и ц и е н т и куйидаги ф о р ­
мула буйича аникданади:
к
2(S, - S 0) _ 
u s , + S0)
Унда куйидагига эга буламиз:
t 
2 ( S , - S „ )
K ( S , + S 0) '
Э к с п о т е н ц и а л к,онун а \ о л и с о н и н и н г и к к и м а р т а
к у п а й и ш д а в р и н и х,ам а н и к д а ш и м к о н и н и берад и , у \ о л д а
ек1=2. Чап в а у н г к,исмини л о га р и ф м л а б , t klge=lg2HM оламиз. 
К = 10% булганда t=lg 2 :K lg e = 0 .3010:0.4343=0.6 9 3 /К ... Бунда 
а \ о л и сон и и к к и марта к у п а й и ш и д а в р и д а т а б и и й уси ш к о ­
э ф ф и ц и е н т и К = 9 % булганда, 0,693:0,01=69,3 йил ёк и 0,009 
и к к и марта орти ш д ав ри т е н г булади 0,693:0,009=77 йил. 
Бунда К = 8 % ёки 0,008 булса, и к к и марта о р ти ш д ав ри 86,6 
йилгача ортади.
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

Ш уни к,айд цилиш лози м ки , и кки марта ортиш давр бо- 
шидаги а \о л и сон и га эмас, балки табиий купайиш ко э ф ф и - 
циентига боглик, булса \ а м д а к о э ф ф и ц и е н т к,анчалик ки ч ик 
булса, и кки марта ортиш даври ш унчалик катта булади.
К е л т и р и л г а н ф о р м у л а к у р и н и ш и н и б и р о з узгарти ри ш
мумкин:
s , = s „ ■(! + - ) ' .
С
бу ерда, С — К \ и с о б б аза с и н и н г катгалиги (100 ёки 1000).
Бу формула а\ол и сонини \исоблаш учун кулланилади ва 
базис даврга нисбатан бир неча марта ортиши учун неча йил 
керак булишини ёки маълум 
bbkj
утгач, ахрли сонини, уму­
мий сонини \ а м \и собл аш мумкин.
Ш ун и назарда тутиш к е р акк и , а \о л и сони д и н а м и к а с и
модели хрзирда к.абул к^илинган гипотезалар а\оли сони геомет­
рик п роф ессия асосида ортиб бориш ини тан олади ва унда бош 
параметр — табиий усиш коэффициенти \исобланади.
М ан ти ли й ф у н к ц и я шундай усиш ни курсатадики, бошида 
тез суръатларда усади, маълум вактгача шундай давом этади, 
сунгра пасаяди ва охирида нолга тен г булади. Уни куйидаги 
ф ормула бил ан тасдик, этиш мумкин:
бу ерда, S,—t моментдаги а.\оли сони; Sn — t ва^т моментида- 
ги ахрли сони; а 0 , а, — ф у н к ц и я параметри.
М ан ти ли й эгри чизик, асосида а^оли сон и ни прогнозлаш 
\ак,идаги ф и к р н и XIX аср бош ида Р.Ф .Ферхлюстер так ли ф
э т г а н . XX а с р б о ш л а р и д а а м е р и к а л и к о л и м л а р Л .Р и д ва 
Р. П ирль бу ф и кр л ар н и янада ривожлантирганлар. П и рл ь-Р и д
назариясига асосан, мантилий э ф и чизикда ахрли усиш суръ- 
ати билан ун ин г мутлак, сони орасида алок.а урнатилган.
М омент \удуди узгармас булгани учун, бу б огли к^ик а \о л и
усиш суръати билан у н и н г зичлиги орасидаги б оглани ш га 
ай л ан и б к е тган. Б ош и д а ахрли зичлиги тез усади, кейинги 
о р а л и к н и н г у с и б б о р а ё т г а н к а р ш и л и г и н и к у т и б о л и б ,
д аром адлар нолгача камаяди.
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

М а н т и л и й э г р и г а б и о л о г и к а с о с б е р и л и б , б и о л о г
Р .П и р л ь ва м а т е м а т и к Л .Р и д уни а \ о л и с о н и ^а ^ и д а г и э м ­
п и р и к м а ъ л у м о тл ар н и т е н г л а ш т и р и ш д а кул л ай б о ш л а д и - 
лар. AK.LU ва Ш в е ц и я а \ о л и с и учун т у г р и л а ш н а т и ж а с и д а
э м п и р и к ва т у гр и л а н г а н м аъ л у м о тл ар о р а с и д а ар зи м а г а н
т а ф о в у т б о р л и г и а н и ^ л а н а д и , бу э с а , уз н а в б а т и д а ,
п р о г н о з л а ш учун м а н т и л и й э г р и д а н ф о й д а л а н и ш м у м к и н - 
л и г и н и а н и к д а ш и м к о н и н и б еради.
А К Д 1 н и н г 1790-1910 йиллардаги а \ о л и с и хак вд аги э м ­
п и р и к маълумотлар ас оси да Р .П и р л ь ва Л .Р и д л а р м а н г и - 
к,ий эгри усули б уйи ч а а \ о л и со н и у с и ш и н и ва э к с т р о п о л я - 
ция усули б и л ан у н и н г 180 й и л л и к ^ и со б о ти н и цилдилар. 
1920 йил учун э к с т р о п о л я ц и я усули асоси да AKJLU ахрлиси 
107,4 млн. к и ш и н и берди, руйхат н ати ж ас и эса — 105,7млн. 
к и ш и , я ъ н и ф а р ^ и 1,7 млн. к и ш и . Ун йил утгач, 1930 й илла 
ам ал да ги сон П и р л ь - Р и д рак,амларига як,инлаш ди. А м м о 
ундан к е й и н ги ун й и л л и к шуни к у рсатд ик и, м а н т и л и й эгри 
АК Д ] учун жуда ю крри булган. Чунки 1940 йил руйхати ам ал ­
даги ва п р о гн о з к и л и н га н маълумотлар о р ас и д а сезил арли
фарк, б о р л и г и н и курсатди (5 млн. к и ш и ). О л и м л а р амалдаги 
с о н н и 1790-1940 й и л л а р б у й и ч а я н г и т е н г л а ш т и р и ш н и
ам алга о ш и рд ил ар.