Ushbu tenglamaning qavslarini ochib, o‘xshash hadlarini ixchamlasak

Ushbu mavzuda uchinchi va to‘rtinchi darajali tenglamalarni yechish usullarini keltiramiz. Dastlab, uchunchi darajali tenglamani qaraymiz. Ma’lumki, uchinchi darajali tenglamalarning umumiy ko‘rinishi quyidagicha bo‘ladi:

Bu tenglamaning koeffitsiyentlari kompleks sonlardan iborat bo‘lib, tenglamani ham kompleks yechimlarini topish masalasini qaraymiz. Umumiylikka ziyon yetkazmagan holda, deb olish mumkin. kabi almashtirish bajarib, teglamani quyidagi ko‘rinishga keltirib olamiz:

Ushbu tenglamaning qavslarini ochib, o‘xshash hadlarini ixchamlasak:

Endi , belgilashlarni kiritsak, berilgan tenglama quyidagi ko‘rinishga keladi:

Demak, 3-darajali tenglamani yechish masalasi yuqoridagi tenglamani yechishga keltirildi. Ushbu tenglamada deb olsak,

yoki,

Ma’lumki, agar va bo‘lsa, u holda soni

tenglamaning yechimi bo‘ladi. Shunday qilib, biz quyidagi sistemani hosil qildik:

Ushbu sistemani yechish uchun ikkinchi tenglikni kubga ko‘tarsak, Bundan esa, va sonlarini quyidagi kvadrat tenglamaning yechimlari sifatida qarash mumkinligi kelib chiqadi:

bu yerdan

,

va

,
tengliklarga ega bo‘lamiz. Demak, uchun quyidagi ifoda hosil bo‘ladi:

Ushbu ifodaga Kardano formulasi deyiladi.

Har bir sonning uchta kubik kompleks ildizi mavjudligini hisobga

olsak, ikkala ildiz uchun jami to‘qqizta kombinatsiya kelib chiqadi,

ya’ni y ning qiymati to‘qqiz hil aniqlanadi. Lekin, ulardan faqatgina

shatrni qanoatlantiruvchilarigina tenglamaning yechimi bo‘ladi.

Aytaylik, va – izlanayotgan juftliklardan biri bo‘lsin. Qolgan ga mos qiymatlar va bo‘lib, n ga mos qiymatlar esa va

bo‘ladi. Bu yerda , ya’ni 1 ning boshlang‘ich kub ildizlari.

Demak, Kardano formulasi orqali tenglamaning barcha

,

,

yechimlarini aniqlash mimkin.

Misol 20.1. tenglamani yeching.

Kardano formulasiga ko‘ra

=

Kub ildizlarni chiqarganda ularning ko‘paytmasi ga ya’ni ga teng bo‘lishini hisobga olish lozim. Shuning uchun birinchi ildiz uchun qiymatni olganda ikkinchisi uchun qiymat olinadi. Demak, berilgan tenglamaning ildizlari:

Endi kubik tenglamaning p va q koeffitsiyentlari haqiqiy sonlar bo‘lganda Kardano formulasini qo‘llash qanday natija berishini tahlil qilamiz.

Kardano formulasidan ko‘rinadiki, ifodaning ishorasi tenglamaning yechimlari xarakteriga sezilarli ta’sir qiladi. Uchta holatni alohida ko‘rib chiqadiz.

1-hol. Aytaylik bo‘lsin. Bu holda va sonlarning ikkalasi ham haqiqiy va turli hil bo‘lib, birinchi kub ildizning qiymati haqiqiy qiymat olinganida ning ham haqiqiy qiymati olinadi. Shunday qilib, bu holatda yechimlar quyidagicha bo‘ladi:

Demak, bo‘lganda berilgan kubik tenglama bitta haqiqiy ildizga va ikkita o‘zaro qo‘shma kompleks ildizlarga ega bo‘ladi.