Ushbu kitobni ehtimolliklar nazariyasi imlmidan saboq bergan ustozlarimning yorqin xotirasiga bag‘ishlayman. Muallif kirish

(G, G); (G, R); (R, G); (R, R);

Elementar hodisalar fazosi esa

Ω={ (G, G); (G, R); (R, G); (R, R);}.

Aytaylik, A Ω bo‘lsin. Shuningdek A = yoki A = Ω bo‘lishi ham mumkin.

Ehtimolliklar nazariyasida Ω ning qism to‘plamiga hodisa deyiladi. Biz bundan keyin to‘plamni hodisa deb tushunamiz.

Ayrim tushunchalarni to‘plamlar nazariyasida va ehtimolliklar nazariyasida qanday ifodalanishini ko‘rsatuvchi quyidagi atamalar(terminologiya)ni keltiramiz:

ATAMALAR (TERMINOLOGIYA)

№	To‘plamlar nazariyasida	Tasodifiy hodisalar uchun
1.	Element nuqta, atom	Element hodisa, natija
2.	A to‘plam	A hodisa
3.	A B = A va B to‘plamlar kesishmaydi	A va B hodisalar birgalikda emas
4.	Ai to`plamlar kesishmaydi	A1, A2, … , An hodisalar birgalikda emas
5.	Ai to`plamlar kesishmasi.	X- hodisa bir vaqtda A1, A2, … , An hodisalarni ro`y berishidan iborat
6.	Ai to`plamlarning birlashmasi.	Y- hodisa bir vaqtda A1, A2, … , An hodisalarni hech bo`lmaganda birini ro`y berishidan iborat
7.	To`ldiruvchi to`plam	hodisa A hodisaga teskari (qarama-qarshi) hodisa bo`lib, A hodisani ro`y bermasligidan iborat
8.		A ro`y berishi mumkin bo`lmagan hodisa
9.		A muqarrar hodisa
10.	A1, A2, … , An to`plamlarni S sistemasi yoyilma tashkil qiladi	S tajribada A1, A2, … , An hodisalarni ro`y berishidan iborat yig`indi: muqarrar hodisa
11.	B top`lam A to`plamning qismi	B hodisa ro`y berishligidan A hodisaning ro`y berishligi kelib chiqadi.
12.	A va B top`lamlar ayirmasi A\B	B hodisa ro`y bermasligidan A hodisaning ro`y berishidan iborat hodisa.
13.		A yoki B ro`y berib , lekin ro`y bermaganda ro`y beruvchi hodisa

Hodisalar ustida amallar

1.Agar A hodisa ro`y berganda albatta B hodisa ham ro`y bersa, u holda A hodisa B hodisani ergashtiradi deymiz va kabi belgilanadi.

2.Agar va bo`lsa, u holda bu hodisalar teng deyiladi va A=B kabi belgilanadi.

3. Agar bo`lsa, ham A, ham B hodisalar ro`y berishidan iborat hodisaga A va B hodisalarni ko`paytmasi deb aytiladi hamda kabi belgilashadi. Agar bo`lsa, u holda hamda munosabatlarning rostligi (to`g`riligi) hodisalar yig`indisa va ko`paytmasi ta’rifidaan kelib chiqadi.

4. Agar bo`lsa, hech bo`lmaganda A yoki B hodisalarning birini ro`y berishidan iborat hodisaga A va B hodisalarni yig`indisi deb aytiladi va yoki Sup(A,B) kabi belgilanadi. Mobodo ya’ni hodisalar birgalikda bo`lmasa, u holda deb belgilanadi.

5. Agar bo`lib, A hodisa ro`y berganda, B ro`y bermaydigan hodisaga qarama-qarshi (to`ldiruvchi) hodisa deyiladi va kabi belgilanadi.

6. Agar bo`lsa, A hodisa ro`y berganda, B hodisa ro`y bermaydigan hodisaga A hodisadan B hodisani ayirmasi deb aytiladi, hamda kabi belgilanadi.

7. Agar bo`lsa, va hodisalar yig`indisiga A va B hodisalarni simmetrik ayirmasi deb aytiladi va yoki kabi belgilanadi:

Keltirilgan ta’riflarni ixtiyoriy sondagi hodisalr uchun umumlashtirish mumkin.

Agar bo`lsa, ya’ni ulardan birini ro`y berishi ikkinchisini ro`y berishini yo`qqa chiqarsa u holda A va B hodisalar birgalikda emas deyiladi.Elementar hodisalar fazosida hodisalar uchun kiritilgan amallar Venn diagrammasida yaqqol tasvirlangan ; kata kvadrat yuzasidagi nuqtalar to`plami – elementar hodisalar fazosi, kichik kvadrat yuzasidagi nuqtalar – B hodisa, doirani esa A hodisa deb belgilaymiz.










A

A

A





B

B

B













A

A

A





B

B

B






2-rasm. Hodisalar algebrasiga doir diagramma

Eyler – Venn diagrammasidan foydalanib hodisalar ustida bajariladigan amallar quyidagi xossalarni qanoatlantiradi.

1.Yig`indi va ko`paytmaga nisbatan kommutativlik xossasi.

2.Yig`indi va ko`paytirish amaliga nisbatan assosiativlik xossasi

3.Qo`shishga nisbatan distributivlik xossasi.

5- .Ehtimollar nazariyasini aksiomatik asosda qurish

Geometriya, nazariy mexanika, abstrak guruh va boshqa nazariyalar aksiomalar asosida qurilgan.

Ehtimollar nazariyasi matematik fan sifatida shakllanishi asrimizni o`ninchi yillariga to`g`ri keladi.

N.S. Bernshteyn 1917-yilda ehtimollar nazariyasini aksiomatik asosda qurishga harakat qildi. Birinchi marta akademik A.N. Kolmogorov “Основание понятия теории вероятностей” kitobida metrrik funksiyalar va to`plamlar nazariyasiga tayanib ehtimollar nazariyasini aksiomalar asosida ko`rib chiqdi.

Faraz qilaylik, elementar hodisalar fazosi ixtiyoriy to`plamdan, esa ni

to`plam ostilari sistemasidan iborat bo`lsin.

1-ta’rif.Agarda:

A1. ,

A2.Agar va hamda ,hamda kelib chiqsa

A3. shartdan kelib chiqsa, u holda ga algebra deyiladi.

A2 shartdagi munosabatlardan birinigina bajarilishi kifoya, chunki ikkinchisi birinchisi va qolgan aksiomalardan kelib chiqadi.

2-ta’rif.Agarda F algebra bo`ls ava bundan tashqari 1-ta’rifdagi A2 shart o`rniga quyidagi shart bajarilsa :

A2. , i=1,2,… dan kelib chiqsa. U holda fazoni qism to`plamlaridan tuzilgan tizim - algebra Bullalgebrasi deyiladi.

Shunday qilib, algebra bu to`plamlarni shunday sinfiki, yig`indi, ko`paytma va to`ldirish amallariga nisbatan yopiqdir bu yerda yopiq degan so`z to`plamning har ikki elementi uchun qo`llanilgan amal natijasida hosil bo`lgan element yana shu to`plamga tegishliligini bildiradi

Agar to`plam va bu to`plam qism to`plamlaridan iborat algebra berilgan

bo`lsa, u holda o`lchovli fazo berilgan deyiladi va kabi belgilashadi.

ga muqarrar hodisa deyiladi.

3-ta’rif.Agarda:

P1.Ixtiyoriy uchun

P2. ;

P3. Agar hodisalar ketma-ketligi shunday bo`lsaki, barcha , uchun bajarilsa, u holda o`lchovli fazoni -sigma algebrasida aniqlangan sonli funksiyaga ehtimollik deyiladi.

P3 aksiomani unga nisbatan ekvivalent bo`lgan chekli additivlik va quyidagi uzluksizlik aksiomasi bilan almashtirish mumkin.

P3’. Faraz qilaylik hodisalar ketma-ketligi va

bo`lsa, u holda da .

P3 va P3’ shartlarni ekvivalentligini isbotlaymiz.

1. 
   P3 shartdan P3’ ni kelib chiqishligini isbotlaymiz .
   

Haqiqatdan ham hodisalar shundayki

va ixtiyoriy uchun

Bu yig`indidagi hodisalar o`zaro bog`liq bo`lmagan hodisalar, sababli P3 shartdan foydalanib,

qatorni yaqinlashishiga amin bo`lamiz. Biroq bo`lgani uchun

yaqinlashuvchi qatorni qoldiq hadi bo`lgani sababli da .

b)aksincha P3’ shartdan P3 shartni kelib chiqishini isbotlaymiz. Faraz qilaylik

A_i (i=1,2,…) hodisalar o`zaro bog`liq bo`lmagan hodisalar hamda

Ravshanki,

Uzluksizlik aksiomasiga ko`ra da chunki

Bundan chekli additivlik xossasiga ko`ra

uchlikka ehtimollar fazosi deyiladi. Shunday qilib, ehtimollar fazosi bu o`lchovli fazoda berilgan musbat, sanoqli additiv o`lchovdan iborat bo`lib, ni

o`lchovi 1 ga teng.

A.N. Kolmogorovning aksiomalar sistemasi zid emas, ya’ni bu aksiomalardan ixtiyoriy biri boshqasini inkor etmaydi.

Agar yagona elementdan iborat bo`lib, F esa va to`plamdan tuzilgan

bo`lsa, bunda

Shuningdek, P1-P3 aksiomalar sistemasi to`liq emas:

to`plamda ehtimollar hatto o`zida turli usullar bilan tanlab olishmumkin. Masalan, ixtiyoriy chekli elementlar to`plamidan iborat bo`lsin:

hamda yig`indisi

bo`lgan musbat sonlarning ixtiyoriy to`plamini olamiz.

algebra sifatida dagi uchun

shartlarni qanoatlantiradigan larning barcha qism

to`plamlari majmuyini qabul qilamiz. Bu holda larga

elementar hodisalarning ehtimollari deb yuritiladi.

Ehtimolning hossalari.

1. 
   bu natija tenglikda kelib chiqadi.
   
2. 
   
   
3. 
   Agar bo`lsa, u holda chunki
   
4. 
   . Isboti 3-xossadan va P2 dan kelib chiqadi.
   
5. 
   
   
6. 
   isboti 5-xossadan kelib chiqadi.
   
7. 
   bu yerda
   

va , u holda

Masalalar.

1. 
   Faraz qilaylik bo`lsin to`plamni barcha qism
   

to`plamlaridan iborat algebrani yozib chiqing.

2. 
   Fraz qilaylik xuddi 1-misoldagi kabi aniqlangan va
   

da aniqlangan to`plamlar funksiyasi sanoqli additivligini isbotlang.

3.Induksiya metodidan foydalanib quyidagi Bul formulasi to`g`riligini isbotlang.

4. 
   Agar monoton o`suvchi to`plamlar ketma-ketligi bo`lsa:
   

va u holda munosabat o`rinliligini isbotlang.

6-. -algebra va ehtimolni davom ettirish haqida teorema

Agar kamayadigan to`plamlar ketma-ketligi bo`lsa , va

, u holda deb yozamiz.

Agar o`smaydigan to`plamlar ketma-ketligi bo`lsa , va

, u holda deb yozamiz.

1-ta’rif. Agar shartlardan kelib chiqsa, u holda fazoning M to`plamlar sistemasiga monoton sinf deyiladi.Boshqacha aytganda monoton M sinf amallariga nisbatan yopiqdir.

1-lemma. algebra - algebra bo`lishi uchun uning monoton sinf bo`lishi zarur va yetarli.

Isboti.Agar algebra va shu bilan birga - algebra bo`lsa, u holda monoton sinfligi ravshan.

Agar bo`lsa, barcha I=1,2,… uchun, u holda ko`rsatishimiz kerak. Biroq bo`lishligi ravshan.Monoton sinf ta’rifiga asosan,

algebrani o`z ichiga oluvchi algebraga eng kichik algebra deyiladi hamda kabi belgilanadi. Agar algebra bo`lsa, u holda ni o`z ichiga oluvchi hamda algebra. Masalan, fazoni barcha qism to`plamlari sistemasi -algebrani tashkil qiladi. Endi ni o`z ichiga oluvchi hamma -algebralarning ko`paytmalaridan iborat to`plamlar sistemasi F ni qaraymiz. Boshqacha aytganda, ni o`z ichiga oluvchi F sistema shunday A to`plamlardan iboratki ularning har biri hamma yuqorida aytilgan -algebralarga tegishli bo`ladi.

Bu sistema -algebraligini tekshirish qiyin emas. Bir paytda ikkita holni qaraymiz:

1)F bu -algebra

2)F eng kichik -algebra, ya’ni

Shunday qilib quyidagi lemma o`rinli:

2-lemma. Har bir -algebra uchun o`z ichiga oluvchi eng kichik -algebra mavjud.

Agar -algebra bo`lsa u holda ni o`z ichiga oluvchi eng kichik

Algebraning monoton sinf bilan bog`lashimiz mumkin. Eng kichik monoton sinf mavjudlii, eng kichik -algebrani mavjudligi kabi isbotlanadi.Quyidagi teorema

-algebradan qanday qilib -algebra qurish mumkinligini ko`rsatadi.

Teorema. Faraz qilaylik -algebra, u holda

ya’ni ni o`z ichiga oluvchi eng kichik -algebra bilan ni o`z ichiga oluvchi eng kichik monoton sinf ustma-ust tushadi.

Isboti. 1-lemmadan

(1)

Agar ni -algebraligini ko`rsatsak, u holda

(2)

bunda esa, (1) bilan birgalikda teoremaning isboti kelib chiqadi. Biroq

monoton sinf, u holda 1-lemmaga ko`ra M ni algebraligini ko`rsatish kifoya.

Faraz qilaylik MэA . Biz ko`rsatishimiz kerak. Buning uchun ={

B:B M, } sistemani tashkil etadi.

Ravshanki,

(3)

Sistema monoton sinf bo`ladi. Haqiqatdan ham, agar , n=1,2,…

U holda demak, hamda u holda

M-eng kichik monoton sinf bo`lgani uchun, u holda demak, agar

u holda .

Endi sistema(chekli) ko`paytirish amaliga nisbatan yopiqligini ko`rsatamiz

Har bir AэM uchun

top`lamni aniqlaymiz

ayniyatlardan ni monotonligi kelib chiqadi. Agar va , u holda

(5)

Teng kuchliligini ko`rsatish qiyin emas. So`ngra , agar u holda ixtiyoriy

ucnun , (chunki - algebra) va demak

Biroq M_A monoton sinf (chunki hamda ), M esa eng kichik monoton sinf bo`lgani sababli ixtiyoriy uchun M_A=M.

U holda (5)dan va uchun

ya’ni agar u holda ixtiyoriy uchun ixtiyoriy bo`lgani uchun bundan bundan ixtiyoriy uchun M<sub>A</sub>=M ya’ni agar va C to`plam uchun u holda

Teorema isbot bo`ldi.