Urganch davlat universiteti fizika matematika fakulteti

4-misol. Byuffon masalasi. Tekislikda bir-biridan masofada turuvchi parallel to`g`ri chiziqlar o`tkazilgan. Tekislikka uzunligi bo`lgan igna tavakkaliga tashlangan. Ignaning birorta to`g`ri chiziqni kesish ehtimolini toping.
Yechish. orqali ignaning o`rtasidan unga yaqinroq bo`lgan parallel to`g`ri chiziqgacha bo`lgan masofani va orqali igna bilan bu parallel to`g`ri chiziq orasidagi burchakni belgilaymiz (*).
va kattaliklar ignaning holatini to`la aniqlaydi. Ignaning barcha holatlari tomonlari va bo`lgan to`g`ri to`rtburchak nuqtalari bilan aniqlanadi. Ignaning parallel to`g`ri chiziq bilan kesishishi uchun tengsizlikning bajarilishi zarur va yetarlidir (**). Qilingan farazlarga ko`ra izlanayotgan ehtimol shtrixlangan yuzning to`g`ri to`rtburchak yuziga nisbatiga teng bo`ladi:
.

(*) (**)
Byuffon maslasi otishlar nazariyasiga oid ko`pgina masalalarni hal etishda muhimdir. Bundan tashqari, Byuffon masalasidan sonining qiymatini tajriba yo`li bilan hisoblashda foydalanish mumkin. Haqiqatan ham, yechilgan masaladan formula hosil bo`ladi. Tajribalar soni yetarlicha katta bo`lganda

formula o`rinli bo`lib, bunda -tajribalar soni, esa ignaning parallel chiziqlardan birini kesib tushgan hollari soni.
Ignani tashlash yordamida ni aniqlash uchun juda ko`p tajribalar o`tkazilgan. Ulardan ba`zi birlarining natijalarini keltiramiz.

Tajriba o`tkazgan kishi	Yili	Igna tashlashlar soni	ning eksperimental qiymati
Volf	1850	5000	3,1596
Foks	1894	1120	3,1419
Lassarini	1901	3408	3.1415929

Shartlar kompleksi o`zgarmas bo`lganda biror hodisaning ro`y berishi yoki ro`y bermasligi ustida uzoq kuzatishlar o`tkazilganda, uning ro`y berishi yoki ro`y bermasligi ma`lum turg`unlik (barqarorlik) xarakteriga ega bo`ladi.
hodisaning n ta tajribada ro`y berishlar sonini deb olsak, u holda juda ko`p sondagi kuzatishlar seriyasi uchun - nisbat deyarli o`zgarmas miqdor bo`lib qolaveradi.
- nisbat hodisaning ro`y berish chastotasi deyiladi. Chastotaning turg`unlik xususiyati birinchi bor, demografik xarakterdagi hodisalarda ochilgan. Bizning eramizdan 2238 yil burun qadimiy Xitoyda o`gil bola tugilishlar sonining jami tugilgan bolalar soniga nisbati deyarli ga teng deb hisoblangan.
Laplas Londonda, Peterburgda va butun Fransiyada yig`ilgan juda ko`p statistik materiallarga tayanib, tug`ilgan o`g`il bolalar sonining jami tug`ilgan bolalar soniga nisbati taxminan ga tengligini ko`rsatdi. Bu sonning bir necha o`n yillar mobaynida o`zgarmay qolishini statistik ma`lumotlar tasdiqladi.
Tajribalar soni oshirib borilsa, ma`lum bir qonuniyatni payqash mumkin.
Tangani n marta tashladik deb faraz qilaylik va „gerb" tushishlar sonini deb belgilaylik. Agar absissa o`qida o`tkazilgan tajribalar sonini, ordinata o`qida esa nisbatni belgilab borsak. n ning ortib borishi bilan (n, ) nuqtalarni tutashtiruvchi siniq chiziq chiziqqa yaqinlashadi.

Bu holni tekshirish maqsadida Byuffon tangani 4040 marta tashladi, shulardan 2048 marta gerb tushdi, gerb tushishi chastotasi . Pirson tangani oldin 12000 marta tashlagan, 6019 marta gerb tushdanda, gerb tushishlar ehtimoli , so`ngra 24000 marta tashlaganda, shulardan 12012 tasida gerb tushdi, .
Bu hol umumiy xarakterga ega: bir xil sharoitda o`tkazilgan tajribalar ketma-ketligida u yoki bu hodisani ro`y berishi chastotasi biror soniga „yaqinlashib” boradi.
Agar, tajribalar soni yetarlicha ko`p bo`lsa, u holda shu tajribalarda qaralayotgan hodisaning ro`y berish chastotasi biror o`zgarmas son atrofida turg`un ravishda tebransa, shu p sonni hodisaning ro`y berish ehtimoli deb qabul qilamiz. Bunday usulda aniqlangan ehtimol hodisaning statistik ehtimoli deyiladi.
Mizes hodisaning ehtimolini ushbu munosabat yordamida kiritgan:
5-misol.Sotsiologik so'rov. Chap qo'llar, o'ng qo'llar va ikkala qo'li bir xil rivojlangan odamlar sonini aniqlash uchun eksperimental tadqiqot o'tkazildi.Natijalar grafikda ko'rsatilgan.
a) Shaxsning o'ng qo'li bo'lish ehtimolini aniqlang.

b) Shaxsning chap qo'l bo'lish ehtimolini aniqlang.



c) Shaxsning ikkala qo'lda bir xil darajada ravon bo'lish ehtimolini aniqlang.

4. 
   Ko'pgina PBA turnirlarida 120 nafar o'yinchi bor. Ushbu tajribaga asoslanib, nechta o'yinchi chap qo'l bo'lishi mumkin?
   
5. 
   Qaror
   

a) O'ng qo'llilar soni 82 ta, chap qo'llilar soni 17 ta, ikkala qo'lda ham birdek ravon bo'lganlar soni 1 ta. Kuzatishlarning umumiy soni 100 ta. Shunday qilib, ehtimollik odamning o'ng qo'li ekanligi P
P = 82/100 yoki 0,82 yoki 82%.

b) Odamning chap qo'l bo'lish ehtimoli P, bu erda
P = 17/100 yoki 0,17 yoki 17%.

c) Odamning ikkala qo'li bilan teng ravon bo'lish ehtimoli P, bu erda
P = 1/100 yoki 0,01 yoki 1%.

d) 120 boulers va (b) dan biz 17% chap qo'l bo'lishini kutishimiz mumkin. Bu yerdan
120 dan 17% = 0,17,120 = 20,4,
ya'ni 20 ga yaqin futbolchi chap qo'l bo'lishini kutishimiz mumkin.

6-misol Sifat nazorati . Ishlab chiqaruvchi uchun mahsulot sifatini yuqori darajada ushlab turish juda muhimdir. Aslida, kompaniyalar ushbu jarayonni ta'minlash uchun sifat nazorati inspektorlarini yollashadi. Maqsad - nuqsonli mahsulotlarning mumkin bo'lgan minimal sonini chiqarish. Ammo kompaniya har kuni minglab mahsulot ishlab chiqarganligi sababli, uning nuqsonli yoki yo'qligini aniqlash uchun har bir buyumni tekshirishga qurbi yetmaydi. Mahsulotlarning necha foizi nuqsonli ekanligini aniqlash uchun kompaniya ancha kam mahsulotlarni sinovdan o'tkazadi.
USDA paxtakorlar sotadigan urug'larning 80% unib chiqishini talab qiladi. Qishloq xo‘jaligi korxonasi tomonidan yetishtirilayotgan urug‘larning sifatini aniqlash uchun yetishtirilgan urug‘lardan 500 ta urug‘ ekiladi. Shundan so‘ng 417 ta urug‘ unib chiqqani hisoblangan.
a) Urug'ning unib chiqish ehtimoli qanday?
b) Urug'lar davlat standartlariga javob beradimi?
Qaror a) Bizga ma'lumki, ekilgan 500 ta urug'dan 417 tasi unib chiqqan. Urug'larning unib chiqishi ehtimoli P, va
P = 417/500 = 0,834 yoki 83,4%.

b) unib chiqqan urug'lar ulushi talab bo'yicha 80% dan oshgani uchun urug'lar davlat standartlariga javob beradi..
7-misol TV reytinglari. Statistik ma'lumotlarga ko'ra, Qo'shma Shtatlarda 105 500 000 televidenie uy xo'jaliklari mavjud. Har hafta dasturlarni ko'rish
haqidagi ma'lumotlar yig'iladi va qayta ishlanadi. Bir hafta ichida 7 815 000 xonadon CBS telekanalining
“Hamma Raymondni sevadi” komediya serialini tomosha qilishdi va 8 302 000 xonadon NBC
telekanalining “Qonun va tartib” serialini tomosha
qilishdi (Manba: Nielsen Media Research). Bitta uyning televizori haftada “Hamma Raymondni sevadi” yoki “Qonun va tartib” ga sozlanishi ehtimoli qanday?
Yechim Bitta xonadondagi televizor “Hamma Raymondni yaxshi ko‘radi” ga o‘rnatilgan bo‘lish ehtimoli P, va
P = 7,815,000/105,500,000 ≈ 0,074 ≈ 7,4%.
Maishiy televizorning "Qonun va tartib" ga o'rnatilganligi ehtimoli P, va
P = 8.302.000/105.500.000 ≈ 0,079 ≈ 7,9%.
Ushbu foizlar reyting deb ataladi.

nazariy ehtimollik

Aytaylik, biz tanga yoki dart tashlash, palubadakarta chizish yoki konveyerda mahsulot sifatini tekshirish kabi tajriba o'tkazyapmiz. Bunday tajribaning har bir mumkin bo'lgan natijasi deyiladi Chiqish . Barcha mumkin bo'lgan natijalar to'plami deyiladi natija maydoni . Tadbir bu natijalar majmui, ya'ni natijalar makonining kichik qismidir.

8-misol Dart otish. Faraz qilaylik, “o‘q otish” tajribasida o‘q nishonga tegadi. Quyidagilardan har birini toping:

b) Natija maydoni
Qaror
a) Natijalar: qoraga (H), qizilga (K) va oqga (B) urish.
b) Natija bo'shlig'i mavjud (qora urish, qizil urish, oq urish), uni oddiygina (B, R, B) sifatida yozish mumkin.
9-misol Qatlamni dumalab 3 ga aylanish ehtimoli qanday?
Qaror O'limda 6 ta teng ehtimolli natijalar mavjud va 3 raqamini tashlashning faqat bitta imkoniyati mavjud. Keyin P ehtimolligi P(3) = 1/6 bo'ladi.
10-misol Juft sonni matritsaga aylantirish ehtimoli qanday?
Qaror Hodisa juft sonni otishdir. Bu 3 xil usulda sodir bo'lishi mumkin (agar siz 2, 4 yoki 6 ni aylantirsangiz). Teng ehtimolli natijalar soni 6 ga teng. Keyin ehtimollik P(juft) = 3/6 yoki 1/2.
Biz standart 52-karta kartasi bilan bog'liq bir qancha misollardan foydalanamiz. Bunday paluba quyidagi rasmda ko'rsatilgan kartalardan iborat.

Ishlash uchun savollar

1-misol Nishonga uchta o'q uziladi: Let - birinchi o'qda urish (o'tkazib yuborish) - ikkinchi o'qda, - uchinchi o'qda. Keyin
2-misol Ikkita zar tashlanadi. Hodisa - tushirilgan ballar yig'indisi ga teng bo'lsin. Topmoq
3-misol Bir urnada 5 ta oq, 4 ta qora va 3 ta koʻk shar mavjud. Har bir sinov bitta to'pning urnadan tasodifiy ravishda olinishidan iborat. Birinchi sinovda oq to'p, ikkinchisida qora va uchinchisida ko'k to'p paydo bo'lish ehtimoli qanday?
4-misol Bitta nishonga uchta o'q uziladi. Birinchi o'q bilan urish ehtimoli, ikkinchisi bilan -, uchinchisi bilan -. Kamida bitta urish ehtimolini toping.