Universiteti fizika-matematika fakulteti

O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O‘RTA MAXSUS
TA’LIM VAZIRLIGI
NIZOMIY NOMIDAGI TOSHKENT DAVLAT PEDAGOGIKA
UNIVERSITETI
FIZIKA-MATEMATIKA FAKULTETI





MUSTAQIL ISH


Ta’lim yo’nalishi: Matematika va informatika
Guruh_MI/S103
Talabaning F.I.Sh_Zamanova Naxriniso
Tekshirdi : U.T.Rajabov
Fan nomi : matematik analiz

Mavzu: Haqiqiy sonni moduli va xossalari


Haqiqiy sonning moduli va uning asosiy xossalari.


Reja:

1.Haqiqiy sonning moduli.

2.Haqiqiy son modulining asosiy xossalari

Ta’rif: Haqiqiy son a ning absolut qiymati yoki moduli deb :

|a|= a, agar a≥0

-a, agar a<0 bo’lsa ko’rinishiga aytiladi.

|a| ning asosiy xossalari :

1) a £ |a| ;
2) |ab| =| a |×| b| ;
3) ; |a + b| £| a|+| b|
4) |1/a|=1/|a|
5)|a - b| ³ |a| -| b|
;

Misol: 
|5|=5, |0|=0, |-1|=1.
Ta’rifdan har qanday haqiqiy  a son uchun a≤|a| munosabat kelib chiqadi.
Absolut qiymatning ba’zi xossalarini ko‘rib chiqamiz:
1. |a+b|≤|a|+|b|, ya’ni ikkita haqiqiy son algebraik yig‘indisining moduli shu sonlar modullarining yig‘indisidan katta emas.


Isbot:
Agar a+b≥0 bo‘lsa, |a+b|=a+b≤|a|+|b| chunki a≤|a| va b≤|b|.
Agar a+b<0 bo‘lsa, |a+b|=-(a+b)=(-a)+(-b)≤|a|+|b| bo’ladi

Misol: 1) |-3+5|<|-3|+|5|=3+5=8 yoki 2<8;
2) |-2-4|=|-2|+|-4|=2+4=6 yoki 6=6.
Isbot qilish mumkinki, |a+b+…..+c|≤|a|+|b|+…+|c|;
2. |a-b|≥|a|-|b|, ya’ni ayirmaning absolut qiymati kamayuvchi va ayriluvchi absolut qiymatlarining ayirmasidan kichik emas.
Isbot uchun a-b=c deb, a=b+c ni topamiz.

|a|=|b+c|≤|b|+|c|=|b|+|a-b|, bundan
|a|-|b|≤|a-b| kelib chiqadi.

Misol:  1. |(-7)-4|>|-7|-|-4|=|7-4|=3, 11>3
2. |5-2|=|5|-|2|=5-2=3 yoki 3=3
3. |a∙b|=|a|∙|b| Ko‘paytmaning moduli ko‘payuvchilar modullarining ko‘paytmasiga teng.
Misol: |8∙7|=|8|∙|7| 40=40

4. |1: b|=1: |b| Bo‘linmaning moduli bo‘linuvchi bilan bo‘luvchi modullarining nisbatiga teng.

Misol: 1: |5|=|1:5| 0,2=0,2
|10: (-2)|=|10 | : |(-2)| 5=5
Oxirgi ikkita xossaning isboti modulning ta’rifidan kelib chiqadi.


Misollar.
1. Modulning quyidagi xossalarini isbotlang:
1) a ≥ |-a|; 2) |a∙b|≤|a| ∙ |b|

2. Tenglikni isbotlang:

1) |a| = a⁴ 2) |a+b|= |a|+|b|


3.Taqqoslang:
a) |8.7| va 8; f) -|- 3 ,2|; va _3,2
b) |0| va 0; g) |a |va 0;
d) |-15 ,2| va 15,2 ; h) -5 a va 0;
e)|-6,75| va -6,75 ; i) |a| va a


4 Modulning quyidagi xossalarini isbotlang:
a) a £ |a|; f) |a + b| £ |a|+| b | ;
b) - a £ |a|; g)| a - b | £|a| +| b | ;
d) |- a |=|a| ; h)| a+ b| ³|a| -| b | ;
e)| - a |£ a £| a | ; i) |a - b| ³ ||a|-| b|| ;


5. a, b, c, d haqiqiy sonlar bir vaqtda nolga teng emasligini
modul belgisidan foydalanib qanday yozish mumkin?

6. a, b, c lar o‘zaro teng ekanini modul qatnashgan tengsizlik

bilan ifodalang

7.Ifodani modul belgisisiz yozing:

a) |x - 2| ; f) |3 x +7| ; j) a +|a |;
b) |x + 2| ; g)| -3 x +7| k) 2 x+|a-1|
d) |- x + 3| ; h) -3 x -9| l) 3| xy| +a ;
e)| - x - 4 |; i) |4x| ; m) 2| x- y| +y ; .