ҶУМҲурии ӯзбекистон вазорати маорифи ол. Ва давлатии махсус

Саҳифаи 33

33 бошад
Тасвири 9.
8. Маҷмӯаи математикаи Maple аз якчанд мушкилоти амалии ҷолиб
ҳалли ададӣ бо истифода аз
1-масалан. Масъалаи марзии зеринро ҳал кунед ва онро таҳлилӣ ҳал кунед
муқоиса кунед, натиҷаҳоро кашед:
3
6
3 '')
4 (
) 1 ( IV.)






х
ӯ
ux
ӯ
х
, x ∈ [0; 1],
2) 0 ('

ӯ
, 0) 0 ('' '

ӯ
,
1сос
3) 1 ( 

ӯ
,
1сос
) 1 ('' 

ӯ
.
Solution: ҳалли таҳлилии масъалаи :. ) 1 () (
2 бошад
х
д
х
xu


Барномаи мушкилот дар бастаи математика Maple ва шумораи он
Ҳалли он чунин аст (расми 10):

Саҳифаи 34

34
Мисоли 2 Ҳаҷми ҳаракат дар атрофи нуқтаи критикии ҷараёни ламинарӣ
инъикоскунандаро ба муодилаи махсуси ҳосилавии монанд, ки бақияро ифода мекунад
тавассути ин
01 '' ''.
''.
2 бошад



∙

ййй
, 1) 5 (', 0) 0 (', 0) 0 (



й
й
й
ба масъалаи нимҷазира оварда расонид [8]. Дар аввал ин маҳдудият аст
бедарак ) 0 (''
й
ҳолати аввалияро ёбед. Ва баъдан
Масъалаи пурраи арзиши сарҳадиро ба таври рақамӣ ҳал кунед.
Ҳалли. Ин як ҳолати ибтидоии гумшуда аст
мо метавонем ҳар ду арзишро интихоб кунем, масалан, 1) 0 (''
1

й
ва 2) 0 (''
2 бошад

й
.
Бо истифода аз схемаи ҳамгироӣ) 5 ('
1
й
ва ) 5 ('
2 бошад
й
аз 1 аз
мо метавонем арзишҳои гуногун пайдо. Анди ) 0 (''
1
й
, ) 0 (''
2 бошад
й
, ) 5 ('
1
й
ва
) 5 ('
2 бошад
й
ин арзишҳо
) (
) (
] 1) ([] 1) ([
2 бошад
1
2 бошад
1
1
2 бошад
кг
кг
кГк
кГк
k imp





гузоштани формула
) 0 (''
imp
й
Арзишро дар инҷо пайдо кардан мумкин аст 1
к ва 2
к -
ду шартҳои ибтидоии худсарона интихобшуда, ки мавҷуд нестанд; ) ( 1 )
кГ ,
) ( 21 )
кг
- бо назардошти шартҳои ибтидоӣ ва
2 бошад
1
кк
≠
кай
) ( 1 )
kG ≠ ) ( 2
kG мувофиқ . Раванди такрорӣ
23259 нест
, 1) 0 (''

й
медиҳад, ки.
Ҳоло ин бо истифода аз бастаи math Maple
01 '' ''.
''.
2 бошад



∙

ййй
, 1) 5 (', 0) 0 (', 0) 0 (



й
й
й
,
23259 нест
, 1) 0 (''

й
Мо як рақами пурраи сарҳадиро ҳал мекунем:
Дар усулҳои паҳн кардани сатрҳои Рунҷ-Кутта ва сатҳҳои сатҳӣ
Фикрҳои ҳалли ба даст омада комилан якхела мебошанд (Расми 11):

Саҳифаи 35

35 бошад
Тасвири 10. Ҳудуди дар мисоли 1
ҳалли графикӣ.
Тасвири 11. Сарҳад дар мисоли 2
ҳалли графикӣ.
Мисоли 3 Ин
y '' = e x + sin y , y (0) = y 0 = 1, y (1) = y 1 = 2, x ∈ [0,1] = [ a , b ]
мушкилоти сарҳадии аввалро тавассути тир ҳал кунед.
Ҳалли. Ин фармони дуввуми ивазкунандаи z = y 'мебошад
муодилаи дифференсиалӣ ду муодили дифференсиалии аввал мебошад
система:
.син
,
й
эззй x
′
′
Ин барои сарҳади чапи зер барои масъалаи сарҳад навишта шудааст
Масъалаи Коши бо усули Рунге-Кутта бо дурустии навбати чорум ҳал карда мешавад
Ин дар марзи рост дар қадамҳои h = 0.1 ҷойгир аст




≤



) (
), 0.1,0.1 (
),,
0
к
к
к
й
йй
мо то он даме, ки вазъ ҳал мешавад, ҳал мекунем, дар ин ҷо  = 0.0001; ), 0.1,0.1 ( к.)
й

-
Масъалаи Коши дар сарҳади рост барои b = 1.0 ва y (0) = y 0 = 1.0 мебошад
ҳалли; к
маҳсулоти аввали ҳалли дар қисми чапи қисм буда
k - аҳамияти итератсия ё кӯшиши ҳалшуда дар нуқтаи x = a
арзиши тангенси кунҷи майл.
Ду  аввали параметри  чунинанд
дохил мешавем: 0 = 1.0, 1 = 0.8. Ин ду параметрҳои масъалаи Коши 
бо усули Runge-Kutta барои қиммати h = 0.1 ду маротиба дар қадам
мо ду натиҷаи зеринро ба даст меорем:
;
168894836
.3), 0.1,0.1 (
0 

й
.
97483325 нест
.2), 0.1,0.1 (
1 

й
Акнун ин барои ёфтани тахминҳои нави параметр ӯ

Саҳифаи 36

36
0
),,
) (
1
0




й
yby 

мо муодилаи ғайрихаттиро бо усули буриш ҳал мекунем (дар ин ҷо)
) (


азбаски маҳсулоти функсия ҳисоб карда намешавад, маҳсулоти он мувофиқ аст
бо аналогияи дифференсиалӣ иваз карда мешавад, аз ин рӯ усули Нютон
қобили дастгирӣ нест). Ин аналогҳои дифференсиалӣ ду тақриба мебошанд, масалан, 1 ва
2
дар s осон аст. Навбати навбатӣ дар ҷустуҷӯи реша
Арзиши тахминҳо аз робитаи зерин пайдо мешавад:
) (
) (
) (
1
1
1
1
2 бошад












j
j
j
j
j
j
j







Итератсияҳои ин формула то ба охир расидани дақиқии додашуда мебошанд
идома дода мешавад. Акнун биёед ҷойгузинҳоро иҷро кунем:
204663797
.0
) 0,2
97483325 нест
.2 (
168894836
.3
97483325 нест
.2
0.18.0
8.0
2 бошад








.
Мушкилоти навбатии Коши ин 2 аст
Мо бо параметр ҳал мекунем:
.
953759449
.1), 0.1,0.1 (
2 

й
Мо ин равандро идома медиҳем:
;
159166393
.0) 0.2
953759449
.1 (
97483325 нест
.2
953759449
.1
8.0
204663797
.0
204663797
.0
3










;
001790565
.0) (;
001790565
.2), 0.1,0.1 (
3
3



≥



й
;
160862503
.0
) 0,2
001790565
.2 (
953759449
.1
001790565
.2
)
204663797
.0 (
159166393
.0
159166393
.0
4 бошад











.
000003115
.0) (;
000003115
.2), 0.1,0.1 (
4 бошад
4 бошад



≤



й
Биёед ин ҳисобкуниҳоро дар ҷадвал нишон диҳем:
j
j
), 0.1,0.1 ( ҷ.)
й

) (


0 +1.000000000
3.168894836
1.168894836
1 +0.800000000
2.974483325 нест
0.974483325 нест
2 -0.204663797
1.953759449 нест
0.046240551
3 -0.159166393 нест
2.001790565
0.001790565
4 -0.160862503 нест
2.000003115
0.000003115
Тавре ки  ҳалли масъалаи сарҳад тақрибан 4 параметрҳо
Натиҷаи ҳалли масъалаи Коши дар шакли ҷадвали вазифаҳои зерин оварда шудааст
аҳамиятро ба даст оваред:

Саҳифаи 37

37
х
к
0,0
0.1
0,2
0.3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1.0
й
к
1.0
0.99328
1.00601
1.03942 нест
1.09497 нест
1.17434 нест
1.27944 нест
1.41236 нест
1.57528
1.77045 нест
2,000
Мисоли 4 Он аз як қубури даврашакл дарозии L ва радиуси R тағйир намеёбад
муодилаи ҳаракати моеъи босуръат равоншаванда, ҷараёни он
ҳарорат дар сатҳи бебаҳо хеле паст аст
тағирот ва мубодилаи гармии конвективӣ бо девор мушоҳида карда мешаванд,
Андозагирии зайл чунин аст: [16]:
y '' + y '–2 y = 0.
Ҳароратҳои доимӣ дар ҳудуди даромад ва баромадани қубур
дода шудааст, яъне шартҳои сарҳадӣ чунинанд:
y (0) = 0, y (4) = 1 аст.
Ин мушкилоти сарҳадиро тавассути тир ҳал кунед.
Ҳалли. Ҳалли таҳлилии ин мушкилоти сарҳадӣ чунин аст:
8 бошад
4 бошад
2 бошад
) (





ее
ее
xy
х
х
.
Ин масъалаи сарҳадӣ бо баъзе усулҳои таҳлилӣ ба даст оварда шудааст
Роҳҳои ҳалли зерин чунинанд: [16]:
,
4 бошад
1
4 бошад
4 бошад
1
4 бошад
4 бошад
) (
2 бошад
2 бошад
1
│
│
⎠
⎞
│
│
⎝
⎛
│
⎠
⎞
│
⎝
⎛


│
⎠
⎞
│
⎝
⎛



х
х
д
х
х
д
х
xy
Ин ҷо:
- усули ҳадди аққал квадратҳо: e 1 = 0.1941; e 2 = –1,204;
- Усули Гялёркин: e 1 = 1,2994; e 2 = –1,8783;
- усули ҷойгиркунӣ: e 1 = 2/3; e 2 = –4/3;
Ҳоло мо ин мушкилии сарҳадиро бо усули тир ҳал хоҳем кард.
Аввалин муодилаи дифференсиалии хаттии навъи дуввум z = y '
бо назардошти ивазкунӣ, ду муодилаи дифференсиалии оддии аввалдараҷа
система:
.
2 бошад
,
зй
zzy

′
′
Ин аст мисоли 3-и дар боло омада, ба масъалаи Коши
мо алгоритм ва дар ҷадвали поён ва расми 12 истифода мебарем
мо ба натичахо меоем.
х
ва анал
й экк
я гал
я кол
y хоб
0
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

Саҳифаи 38

38 бошад
0.2 0.0101 -0.0008 0.0180 0.0152 0.0151
0.4 0.0191 -0.0017 0.0310 0.0280 0.0281 нест
0.6 0.0279 -0.0018 0.0403 0.0395 0.0396 нест
0.8 0.0371 -0.0001 0.0473 0.0507 0.0508 нест
1.0 0.0473 0.0042 0.0534 0.0625 0.0626
1.2 0.0591 0.0121 0.0601 0.0760 0.0761 нест
1.4 0.0732 0.0244 0.0687 0.0922 0.0923 нест
1.6 0.0900 0.0420 0.0807 0.1120 0.1121
1.8 0.1103 0.0660 0.0975 0.1365 0.1366
2.0 0.1350 0.0970 0.1205 0.1667 0.1668
2.2 0.1651 0.1362 0.1510 0.2035 0.2036
2.4 02017 0.1842 0.1906 0.2480 0.2481
2.6 0.2465 0.2422 0.2405 0.3012 0.3013
2.8 0.3011 0.3109 0.3023 0.3640 0.3641
3.0 0.3678 0.3913 0.3773 0.4375 0.4376
3.2 0.4493 0.4843 0.4670 0.5227 0.5228
3.4 0.5488 0.5908 0.5726 0.6205 0.6206
3.6 0.6703 0.7116 0.6958 0.7320 0.7321
3.8 0.8187 0.8477 0.8377 0.8582 0.8583
4.0 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
Тасвири 12.