ҶУМҲурии ӯзбекистон вазорати маорифи ол. Ва давлатии махсус

Саҳифаи 26

26 бошад
Ҳалли. Чунин қиматҳои p 1 ва p 2 бо истифода аз усули тирандозӣ
бо сарҳаде дода мешавад, ки ҳалли ҳалли зерини Коши дода шудааст
Бигзор масъала ҳал шавад:
) 21
36
26 (
2 бошад
12'4 '' '|
2 бошад
3
IV
2 бошад






х
х
xe
ӯ
ux
xu
ӯ
х
,
1
) 0 ( саҳ.)
ӯ
,
2 бошад
) 0 (' р.)
ӯ
, 4) 0 (''

ӯ
, 6) 0 ('' '

ӯ
.
Баъд аз дарёфти арзишҳои саҳ 1 ва саҳ 2 хост , ки функсионалии
Қимат бо роҳи ҳалли масъалаи зерин Коши ҳисоб карда мешавад:
) 21
36
26 (
2 бошад
12'4 '' '|
2 бошад
3
IV
2 бошад






х
х
xe
ӯ
ux
xu
ӯ
х
, x ∈ [0; 1],
''.
'
2 бошад
xuuxu




,
1
) 0 ( саҳ.)
ӯ
,
2 бошад
) 0 (' р.)
ӯ
, 4) 0 (''

ӯ
, 6) 0 ('' '

ӯ
, 0) 0 (


.
Ҳақиқатан,
) 1 (


Ман
.
7. Баъзе намунаҳои усули тирпарронӣ (тирпаронӣ)
ва онҳоро бо ёрии бастаи mathcad Mathcad ҳал кунед
1-масалан. Ин
х
йй

′′= Аст
муодила
й (0) 1
= ; й (1) 2.
=
аз бастаи математикии Mathcad бо усули тир дар шароити марзӣ
ҳал истифодаи.
Ҳалли. Роҳи дақиқи ҳалли ин масъалаҳои сарҳадӣ чунин аст;




т
1
1
гуноҳ (т)
1
yt (т):
д
кос (т)
2 бошад
д
cos (1)
2 бошад
гуноҳ (1)
2 бошад


⌈
⌉
∙


∙∙

│
│
⌊
⌋
Мо шароити сарҳадро тафтиш мекунем:
yt (0) 1
; yt (1) 2
.
Аммо қайд кунед, ки ин муодила аст
yt (0) 1
= ; йт
1
2 бошад
ҳ
⎞⎞
│││
⎠⎠
=
ҳеҷ гуна ҳал дар шароити сарҳадӣ надорад.
Алгоритми ҳалли ин муодила бо усули тирандозӣ Mathcad мебошад
бо истифода аз бастаи математика:
Дода мешавад:
х
f (x): д


N: 2 МАРДУМ

j: 0 ... Н

а: 0

б: 1

ба
ч:
Н


h 0,5

Биёед ба тағирёбандагони дискретӣ гузарем: j
x: jh
∙
0
x: a

Н
х: б


Саҳифаи 27

27
Шарти чап: агар 0 бошад
й0: 1
, пас дар сарҳади рост
0
й1: 0

Дар ин ҷо ва минбаъд нишонаҳои зерин дохил карда мешаванд: 0 j
й
-
дискретсияи ҳалли махсуси муодилаи дифференсиалии якхела нест
арзиши; 1 j
й
- дискретсияи ҳалли умумии муодилаи дифференсиалии якхела
арзиши.
Мо ихтиёран арзишҳои зеринро медиҳем:
1
м: 0.5
МАРДУМ
50 бошад


∙
1
0
х
y0: y0
м


1
y1: h

1
й1: 0
≠
Ин арзишҳо ҳама j боқимонда мебошанд
й0
j
y1 j 2, Н.

пайдо кардани арзишҳо
кофӣ барои.
Алгоритм : j: 1 ... N 1


1
й0
2 бошад
.
Мувофиқати муодилаҳои дифференсиалии якхела ва ғайримуҳим
формулаҳои даврӣ барои ҳисобҳои ҳалли махсус ва умумӣ
Мо дар шакли гуногун менависем:
j
х
j 1
j
j 1
j
2 бошад
й0
2 y0 y0
й0 е
х



∙


=
j 1
j
j 1
j
2 бошад
й1
2 y1 y1
й1 0
х


∙


=
Мо ин муодилаҳоро бо тартиби зайл менависем:


j
х
2 бошад
j 1
j
j 1
j
й0: вай
й0
й0
2 y0




∙


∙
2 бошад
j 1
j
j 1
j
y1: h y1 y1
2 y1


∙

∙
Дар охири ҳисобҳо мо меёбем:
Н
Н
2 y0
$ B):
й1


Акнун мо арзишҳои ҳамаи ҷузъҳои y векториро менависем:
j: 0 ... Н

j
j
j
y: y0 B y1

∙
Н
й
2 бошад

Мо муқоисаи натиҷаҳои ба даст омада график тартиб медиҳем (Расми 4).
0
0,5
1
1
1.5
2 бошад
й
yt t ()
xt 
Тасвири 4.

Саҳифаи 28

28
Мисоли 2 Ин
х
йй

′′= Аст
муодила
(0) 1,

й
(4) 2

й
аз бастаи математикии Mathcad бо усули тир дар шароити марзӣ
ҳал истифодаи.
Ҳалли. Мо ба қиматҳои ибтидоии мувофиқ ислоҳ медарорем:
,
≤≤
axb bunda а: 0

б: 4

. Миқдори нуқтаҳои оғоз: N: 40

; х
дар:
ба
ч:
Н


, дар он ҷо h 0.1

.
Опсияи аниматсияро интихоб кунед:
1
м: 0,2
МАРДУМ
20


∙
, аломатҳои (+, -
): с0: 1
, s1: 1
.
Муодилаҳои дифференсиалии ибтидоӣ дар якхела ва ё яксон нестанд
Мо арзиши дискретии аввалияи ҳалли махсусро медиҳем: 0
й0: 1
, 0 бошад
й1: 0
.
Мо арзишҳои зеринро ихтиёрӣ медиҳем: 1
0
х
y0: y0 s0
м

∙
1
y1: s1 h
∙
1
й1 0
≠
Дар ҳолати аниматсия, мо ин тасдиқро таҳлил мекунем. Тағйирёбандаи ройгон
қиматҳои дискретии: j: 1 ... N 1


j
x: jh
∙
0
x: a

Н
х: б

Аввалин муодилаи дифференсиалии якхела ва ғайримуқаррарӣ
мо дар шакли дифференсиалӣ менависем ва ҳалли тақрибии онҳоро ҷудо мекунем
мо дар нуқтаҳои нависем:


j
х
2 бошад
j 1
j
j 1
j
й0
вай
й0
й0
2 y0



∙


∙
2 бошад
j 1
j
j 1
j
й1
h y1 y1
2 y1


∙

∙
Н
Н
2 y0
$ B):
й1


j: 0 ... Н

j
j
j
y: y0 B y1

∙
Дар натиҷа, мо ба даст меорем:




т
4 бошад
Н
1
гуноҳ (т)
1
й
2 саҳ (т):
д
кос (т)
2 бошад
д
Cos (4)
2 бошад
гуноҳ (4)
2 бошад


⌈
⌉

∙


∙∙

│
│
⌊
⌋
Мо ҳолати сарҳадро тафтиш мекунем: yt (0) 1

yt (4) 2

Графикаи аниматсионии натиҷаҳо дар Суратҳои 5 ва 6 нишон дода шудааст:
Ин (0) 1,

йт
1
2 бошад
ҳ
⎞⎞


││
⎠⎠
йт
муодилаи дар шароити ҳудуд додашуда
ҳалли худро надорад. Дар ин маврид:
y ( x )


1
cos ()
гуноҳ (),
2 бошад
х
д
х
$ B)
х



∙


1
()
гуноҳ ()
cos ()
2 бошад
х
yx
д
х
$ B)
х





∙
,
(0) 1

й
,
2 бошад
1
1 0 бошад.
2 бошад
2 бошад
ҳ

⎛
⎞
ҳ

⎞⎞



│
│
││
│
│
⎠⎠
⎝
⎠
й
д

Саҳифаи 29

29 бошад
0
1
2 бошад
3
4 бошад
4 бошад
2 бошад
0
2 бошад
й
yt t ()
xt 
Тасвири 5.
0
2.5
5 бошад
7.5
10
5 бошад
2.5
0
2.5
5 бошад
5 бошад
0
5 бошад
yt t ()
й
тх 
Тасвири 6.
3-масалан. Ин
х
й "шумо

=
муодилаи дифференсиалӣ
й (0) 1
; й (4) 2

ҳалли ниҳоӣ бо усули тир дар шароити сарҳадӣ. Сарҳади
шартҳоро бо дигаре иваз кунед ва ҳалли мувофиқро пайдо кунед. Гирифтанд
ҳалли тақрибан бо ҳалли дақиқ муқоиса карда, графикҳо кашед,
намоиш аниматсияҳо.
Ҳалли. Ҳалли дақиқи як муодилаи дифференсиалии додашуда
таври зерин:
т
4 бошад
1
гуноҳ (т)
1
yt (т):
(е)
кос (т))
2 бошад
(е)
кос (4))
2 бошад
гуноҳ (4)
2 бошад


⌈
⌉
∙


∙∙

│
│
⌊
⌋
Ин ҳалли yt (0) 1 аст

yt (4) 2
шароити сарҳадӣ
қонеъ мекунад.
Алгоритми ҳалли ин муодила бо усули тирандозӣ
Инҳоянд чанде аз онҳо:
Дода мешавад:
х
f (x): д


N: 40 МАРДУМ


j: 0..N

Биёед ба тағирёбандагони дискретӣ гузарем: j
x: jh
∙
0
x: a

Н
х: б

Шартҳои сарҳад: 0
й0: 1

0
й1: 0

Дар ин ҷо ва минбаъд нишонаҳои зерин дохил карда мешаванд: 0 j
й
-
дискретсияи ҳалли махсуси муодилаи дифференсиалии якхела нест
арзиши; 1 j
й
- дискретсияи ҳалли умумии муодилаи дифференсиалии якхела
арзиши.
Мо ихтиёран арзишҳои зеринро медиҳем:
1
м: 0.1
МАРДУМ
20


∙
1
0
х
y0: y0
м


1
1
y1: h, y1 0

≠
Алгоритм: j: 1..N 1



Саҳифаи 30

30
Мувофиқати муодилаҳои дифференсиалии якхела ва ғайримуҳим
формулаҳои даврӣ барои ҳисобҳои ҳалли махсус ва умумӣ
Мо дар шакли гуногун менависем:
j
Х
j 1
j
j 1
j
2 бошад
й0
2 y0 y0
й0 е
х



∙


=
j 1
j
j 1
j
2 бошад
й1
2 y1 y1
й1 0
х


∙


=
Бо истифодаи ин муодилаҳо менависем:
j
х
2 бошад
j 1
j
j 1
j
й0: з (е)
й0) й0
2 y0




∙


∙
2 бошад
j 1
j
j 1
j
y1: h y1 y1
2 y1


∙

∙
Н
Н
2 y0
$ B):
й1


$ B)
6,446 нест

j: 0..N

j
j
j
y: y0 B y1

∙
Н
й
2 бошад

Графикаи ҳалли муодилаи дифференсиалӣ дар расми 7 нишон дода шудааст
Мо ба таври ройгон инҳоро медиҳем:
1
м: 0.5
МАРДУМ
50 бошад


∙
1
0
х
y0: y0
м


1
1
y1: h y1 0

≠.
Мо параметрҳоро барои сохтани график ворид мекунем (Расми 8):
Н: 0

j: 1..Н 1

а: 0

б: 4

ба
ч:
Н


h 0.1

0
й0: 1

0
й1: 0

j
x: jh
∙
0
x: a

Н
х: б

j
х
2 бошад
j 1
j
j 1
j
й0: з (е)
й0) й0
2 y0




∙


∙
2 бошад
j 1
j
j 1
j
y1: h y1 y1
2 y1


∙

∙
Н
Н
2 y0
$ B):
й1


j: 0..N

j
j
j
y: y0 B y1

∙
Н
й
2 бошад

т
4 бошад
1
гуноҳ (т)
1
yt (т):
(е)
кос (т))
2 бошад
(е)
кос (4))
2 бошад
гуноҳ (4)
2 бошад


⌈
⌉
∙


∙∙

│
│
⌊
⌋
yt (0) 1
yt (4) 2

Аз ин диаграмма дида мешавад, ки ҳалли бадастомада аз ҳалли дақиқ тақрибан фарқ мекунад
намекунад.
Мисоли 4 Муодилаи стационарии қувваи гармӣ ё
Яке аз муодилаҳои статсионарии навъи "реаксия-диффузия" дуи зерин мебошад
ба масъалаи сарҳадӣ оварда расониданд:
u ʹʹ + x 2 y +2 = 0;
y (-1) = 0; y (1) = 0 аст.
Ин мушкилоти сарҳадиро тавассути тир ҳал кунед.

Саҳифаи 31

31
0
1
2 бошад
3
4 бошад
4 бошад
2 бошад
0
2 бошад
й
yt t ()
xt 
Тасвири 7.
Тасвири 8.
Ҳалли. Якум ин зеринии арзиши сарҳадӣ мебошад, ки аввалан дода мешаванд
Мо ду системаи муодилаҳои тартибот дорем:
│
⎩
│
⎨
⎧







.0) 1 (, 0) 1 (
,
2 '
, '
2 бошад
й
й
yx
ф
fy
Акнун мо ин масъаларо ба масъалаи Коши ба миён мегузорем. Барои ин а
параметрро ворид мекунем, то аҳамияташ номаълум f (-1)
аз дарвоза бартарӣ гиред. Маҳз дар ҳамин лаҳза х = 1 шароити сарҳадро қонеъ мекунад
барои ёфтани параметр a a мо ба муодила боз ду муодилаи бештар илова мекунем.
Барои ин, мо системаи ибтидоиро дар параметри a дохил мекунем:


∂
∂

∂
∂

ф
қ
й
саҳ
,
. Натиҷа чунин аст муодилаҳои дифференсиалии оддии зерин
Мо система дорем:
│
│
│
│
⎩
│
│
│
│
⎨
⎧











.0) 1 (, 1) 1 (
,
) 1 (, 0) 1 (
,
'
, '
,
2 '
, '
2 бошад
2 бошад
қ
саҳ
ф
й
саҳ
қ
qp
yx
ф
fy

Ин системаро барои параметри собит ҳал кунед a, аз y (2)
дарёфтем, ки арзиши он одатан аз арзиши воқеӣ фарқ мекунад.
арзиши нав барои ислоҳи арзиши параметр
Мо бо истифодаи формулаи зерин ҳисоб мекунем:
) 1 (
) 1 (
) 1 (
ф
й
Y calc
сола
нав




.
Дар он ҷо y (1) calc арзиши y (1) дар натиҷаи ҳисобкуниҳо мебошад . Анди
ки мо системаи охиринро бори дигар ҳал мекунем ва ғайра.

Саҳифаи 32

32 бошад
Ин раванд ҳисоб аст | як нав пеши - як | <  bajarilgunga
такрор карда мешавад, дар ин ҷо  - дурустии ҳисобкунии пешакӣ.
Ҳангоми ҳалли масъалаи якуми сарҳади додашуда бо усули тирандозӣ
аввал он ба ҳалли масъалаи Коши ва баъдтар дода мешавад
Усули тасвирҳои арзиши ибтидоӣ дар шакли вектори "бедарак"
бо истифодаи муайян карда мешавад Дар Mathcad барои ёфтани ин вектор
ин