a
i
)
альтернатив
a
i
,
i
= 1, …,
n
,
j =
1, …,
m
,
описываются
нечеткими
числами
в
соответствии
с
моделью
(7).
В
качестве
функции
V
j
(
x
)
используется
обычная
/
четкая
функция
ценности
V
j
(
⋅
),
заданная
на
множестве
изменения
критерия
C
j
(
для
всего
множества
рассматриваемых
альтернатив
)
в
соответ
-
ствии
с
принципом
расширения
[20].
Предлагаемый
метод
FMAA
(
точнее
,
FMAA-V
,
учитывая
ис
-
пользование
аддитивной
функции
ценности
вида
(7),
расширен
-
ной
до
функции
от
нечетких
аргументов
)
является
адаптацией
анализа
приемлемости
(1)–(4)
по
отношению
к
множеству
ценностей
{
V
(
a
i
),
i
= 1, …,
n
},
выражаемых
нечеткими
числами
.
Как
и
в
разделе
2.1,
будем
использовать
обозначение
η
i
для
нечеткого
числа
V
(
a
i
),
положим
также
η
ij
=
η
i
–
η
j
,
i =
1, …,
n
,
j =
1, …,
m
.
Функция
принадлежности
нечеткого
числа
η
ij
опре
-
деляется
формулой
(12)
, :
( )
(
( )
( ))
ij
i
j
x y
z x y
z
x
y
η
η
η
µ
µ
µ
= −
=
∧
∨
,
где
x
∧
y
= min(
x
,
y
),
x
∨
y
= max(
x
,
y
).
В
настоящее
время
существует
несколько
десятков
подхо
-
дов
к
сравнению
нечетких
чисел
,
основанных
как
на
методах
дефаззификации
,
так
и
на
реализации
более
сложных
процедур
сравнения
[15, 32].
Для
описания
степени
различия
значений
Системный
анализ
15
ценностей
η
i
и
η
j
,
альтернатив
a
i
и
a
j
,
представленных
нечеткими
числами
,
реализован
следующий
интегральный
метод
сравне
-
ния
.
Степень
/
меру
принадлежности
нечеткого
числа
z
(11)
мно
-
жеству
неотрицательных
(
нечетких
)
чисел
0
≥
R
F
можно
опреде
-
лить
следующим
образом
,
используя
функцию
принадлежности
µ
z
(
x
):
(13)
2
0
1
0
( )
( )
/
( )
c
z
z
x
c
z
x dx
x dx
µ
µ
µ
≥
≥
=
∫
∫
R
F
(
в
(13)
предполагается
,
как
и
указано
в
(11),
с
1
<
с
2
;
для
синглто
-
на
z
мера
принадлежности
к
0
≥
R
F
равна
1
для
z
≥
0
и
0
для
z
< 0).
Определим
меру
того
,
что
значение
ценности
η
i
альтерна
-
тивы
a
i
превосходит
ценность
η
j
альтернативы
a
j
(
j
≠
i
)
форму
-
лой
(14)
0
(
) (
(
0))
i
j
ij
ij
ij
η η
µ
µ
η
µ
µ η
≥
≥
=
=
=
≥
R
F
.
Из
(13),
(14)
следует
,
что
µ
ij
+
µ
ji
= 1
и
µ
(
η
ij
< 0) = 1 –
µ
(
η
ij
≥
0) (
в
данной
работе
не
обсуждаются
во
-
просы
транзитивности
сравнения
альтернатив
по
предпочтению
на
основе
введенной
меры
i
j
η η
µ
≥
).
В
рамках
FMAA
мера
событий
S
ik
,
см
. (1)–(4),
определяет
так
называемый
индекс
приемлемости
ранга
µ
(
i
,
k
)
или
степень
уверенности
в
том
,
что
альтернатива
i
имеет
ранг
k
.
Индексы
приемлемости
ранга
µ
(
i
,
k
)
могут
быть
определены
с
использо
-
ванием
методов
нечеткой
логики
(
например
,
с
использованием
одного
из
наиболее
часто
используемых
вариантов
Лукашевича
)
[20]:
(15)
1
( ,1)
(
)
(
(
0))
min{ (
0)}
min{
},
n
i
ij
ij
ij
j i
j i
j i
i
S
µ
µ
µ
η
µ η
µ
≠
≠
≠
=
=
≥
=
≥
=
∧
(16)
2
,
,
( , 2)
(
)
( ((
0)
(
0))) max{ min {
,
}}
n
n
i
il
ij
li
ij
l i
j i j l
j i j l
l i
i
S
µ
µ
µ
η
η
µ µ
≠
≠ ≠
≠ ≠
≠
=
= ∨
<
∧
≥
=
,
Управление
большими
системами
.
Выпуск
32
16
(17)
1
1
2
1
1
2
1
(
...
)
1
,
,
,
1,..,
1
1,..,
1
1,..,
1
,
,
(
...
)
1,..,
1
,
1,..,
1
( , )
(
)
(
(( (
0))
(
0)))
max {min{ min
, min
}}
k
s
k
s
s
s
s
k
s
n
ik
il
ij
l
l
l
s
j i j l
l
i s
k
s
k
l i
ij
s
k
j i j l
l
l
l
s
k
l
i s
k
i k
S
µ
µ
µ
η
η
µ
µ
−
−
−
< < <
=
≠ ≠
≠ =
−
=
−
=
−
≠ ≠
< < <
=
−
≠ =
−
=
=
∨
∧
<
∧
≥
=
=
(18)
( , )
(
)
min{(1
)}
min{
}
in
ij
ji
j i
j i
i n
S
µ
µ
µ
µ
≠
≠
=
=
−
=
.
Располагая
данными
о
мерах
(
матрице
)
µ
(
i
,
k
) =
µ
(
S
ik
)
собы
-
тий
S
ik
,
эксперты
/
ЛПР
могут
выбирать
наиболее
приемлемую
альтернативу
.
Для
интеграции
имеющихся
показателей
прием
-
лемости
альтернативы
,
если
эксперты
видят
в
этом
необходи
-
мость
,
может
быть
также
использован
метод
взвешенного
сум
-
мирования
(19)
для
определения
индекса
R
i
интегральной
приемлемости
альтернативы
a
i
(
предложенного
для
стохастиче
-
ского
метода
SMAA
[17]):
(19)
1
( , )
n
ac
i
k
k
R
w
i k
µ
=
=
∑
,
где
ac
k
w
–
веса
относительной
важности
рангов
,
задаваемые
экспертами
/
ЛПР
.
В
то
же
время
,
рекомендации
по
использова
-
нию
индекса
R
i
приемлемости
альтернативы
являются
доста
-
точно
ограниченными
.
Возможны
также
и
другие
(
комплекс
-
ные
)
подходы
по
интеграции
индексов
приемлемости
ранга
{
µ
(
i
,
k
)}
и
степени
предпочтения
альтернатив
{
µ
ij
}.
Метод
задания
весовых
коэффициентов
w
i
для
моделей
FMAA
вида
(7)
обсуждается
в
разделе
2.5.
2.4.
ВЕРОЯТНОСТНЫЙ
ПОДХОД
К
МНОГОКРИ
-
ТЕРИАЛЬНОМУ
АНАЛИЗУ
ПРИЕМЛЕМОСТИ
: PROMAA
Вероятностный
подход
к
анализу
неопределенностей
в
рам
-
ках
МКАР
основан
на
трактовке
используемых
в
(5), (7)
вели
-
чин
X
j
= C
j
(
a
) (
значения
критериев
),
а
также
,
для
некоторых
методов
,
w
j
(
значения
весовых
коэффициентов
)
как
случайных
с
известными
/
заданными
законами
распределения
.
Дальнейшие
процедуры
состоят
в
определении
законов
распределения
инте
-
гральных
величин
η
i
=
η
(
a
i
),
i =
1, …,
n
(
для
модели
(7),
напри
-
мер
,
в
предположении
независимости
используемых
случайных
Системный
анализ
17
величин
,
это
эффективно
достигается
с
использованием
числен
-
ных
методов
).
Пусть
интегральная
оценка
альтернативы
η
i
=
η
(
a
i
),
полу
-
ченная
на
основе
(5)/(7),
характеризуется
соответствующей
плотностью
распределения
вероятностей
ϕ
i
(
x
) (
функцией
рас
-
пределения
F
i
(
x
))
.
В
предположении
независимости
(
в
рамках
модели
сравнения
интегральных
полезностей
альтернатив
)
рассматриваемых
случайных
величин
η
i
,
i =
1, …,
n
,
вероятно
-
сти
событий
ранга
S
ik
(1)–(4)
могут
быть
оценены
следующим
образом
.
Нетрудно
показать
,
что
(20)
(
)
( )
( )
( )
( )
,
ij
i
j
j
i
j
i
j
i
p
P
F x
x dx
F x dF x
F dF
η η
ϕ
=
≥
=
=
=
∫
∫
∫
а
также
(21)
1
2
1
3
3
2
1
((
)
(
))
P
F F dF
η η
η η
≥
∧
≥
=
∫
;
подчеркнем
при
этом
,
что
события
(
η
1
≥
η
2
)
и
(
η
1
≥
η
3
)
в
общем
случае
являются
зависимыми
,
при
этом
(21)
является
коррект
-
ной
формулой
в
случае
независимых
η
i
.
Исходя
из
выражений
(20), (21),
для
вероятностей
событий
рангов
P
ik
=
P
(
S
ik
),
i
,
k =
1, …,
n
,
называемых
индексами
прием
-
лемости
рангов
,
имеем
следующие
оценки
:
(22)
1
1
=P{
}=
( )
( )
n
n
i
i
j
i
j
i
j i
j i
P
S
F x dF x
F dF
≠
≠
=
∏
∏
∫
∫
,
(23)
2
2
,
= P {
} =
(1
)
n
n
i
i
l
j
i
l i
j i j l
P
S
F
F d F
≠
≠
≠
−
∑
∏
∫
,
(24)
1
2
1
1
(
...
)
1
,
,
1,..,
1
1,..,
1
=P {
}=
(
(1
)
,
s
k
s
s
k
n
ik
ik
l
j
i
l
l
l
s
j i j l
l
i s
k
s
k
P
S
F
F dF
−
−
< < <
=
≠
≠
≠
=
−
=
−
−
∑
∏
∏
∫
(25)
=P{
}=
(1
)
n
in
in
j
i
j i
P
S
F dF
≠
−
∏
∫
.
Можно
доказать
также
,
что
для
матрицы
{
P
ik
}
i
,
k =
1, …,
n
,
выполняются
условия
(26)
1
1
1
n
n
ik
ik
k
i
P
P
=
=
=
=
∑
∑
.
Управление
большими
системами
.
Выпуск
32
18
В
ряде
случаев
,
если
эксперты
находят
это
возможным
(
обоснованным
или
согласованным
),
может
также
использо
-
ваться
интегральный
индекс
R
i
приемлемости
альтернативы
[17]:
(27)
1
n
ac
i
k
ik
k
R
w P
=
=
∑
,
где
ac
k
w
–
задаваемые
экспертами
/
ЛПР
веса
относительной
важности
рангов
.
Таким
образом
,
выбор
лучшей
альтернативы
,
ранжирова
-
ние
или
скрининг
альтернатив
в
рамках
ProMAA
(
аналогично
FMAA
)
базируется
на
комплексном
анализе
матрицы
{
P
ik
}
и
/
или
оценке
интегральных
показателей
приемлемости
R
i
(27).
При
этом
,
например
,
в
рамках
ProMAA-U
/
V
(
метода
ProMAA
,
осно
-
ванного
на
использовании
интегральной
функции
полезно
-
сти
/
ценности
(7)),
эксперты
могут
также
учитывать
значения
ожидаемых
полезностей
(9).
Метод
задания
весовых
коэффициентов
w
i
для
ProMAA-V
,
обсуждается
в
Do'stlaringiz bilan baham: |