Учебное пособие Пермь ипц «Прокростъ» 2017 удк

Часть первых и вторых интегралов уравнения движения 
обязана своим существованием свойствам пространства и 
времени. Они имеют место для любой замкнутой системы 
материальных точек (замкнутой механической системы), и в 
этом смысле являются универсальными.
В отличие от задачи интегрирования уравнений движе-
ния, определение универсальных интегралов движения осо-
бых трудностей не составляет, так как эти интегралы имеют 
простой физический смысл законов сохранения энергии, ко-
личества движения, момента количества движения, скорости 
центра масс. Получение информации о движении механиче-
ских систем значительно облегчается, если начинать иссле-
дование именно с нахождения первых и вторых интегралов 
движения. 
 
5.4. Дифференциальные уравнения движения
материальной точки 
Уравнения движения материальной точки массы m от-
носительно инерциальной системы отсчета по второму зако-
ну Ньютона имеет вид 
⃗⃗⃗ ⃗ или
⃗⃗
⃗, (5.9) 
где 
⃗– геометрическая сумма действующих на точку сил. 
Если сила 
⃗ задана, интегрирование этих дифференци-
альных уравнений позволяет определить уравнение (закон) 
движения точки. Само интегрирование бывает удобно прово-

---

135 
дить в определенных координатах: декартовых, полярных, 
цилиндрических, в натуральной форме и других. Чтобы пе-
рейти от векторной формы уравнений (5.9) к координатной 
форме, необходимо спроектировать (5.9) на координатные 
оси.
Уравнения движения точки в декартовых координатах.
Проектируя (15.1) на декартовые оси, получим 
2
2
x
, 
2
2
y
, 
2
2
z
, (5.10) 
или 
x
, 
y
, 
z
, (5.11) 
Если движение плоское (точка движется в плоскости 
Oxy), используются только первые два уравнения; если точка 
движется по прямой (ось Ox) – только одно уравнение 
2
2
x
. 
Это уравнение бывает удобно представить иначе: 
x
, или 
x
x
x
(поскольку 
x
d/dx). 
Аналогично поступают и при использовании других ко-
ординат.

---

136