|
1.8. Этапы построения и применения математиче-
ских моделей
Построение математической модели – это центральный
этап исследования или проектирования технической систе-
мы. От качества разработанной модели зависит весь после-
дующий анализ объекта. Построение математической моде-
ли – это процедура не формальная. Она существенно зависит
от исследователя, его опыта и вкуса, и всегда опирается на
определенный эмпирический материал.
55
В общем случае процесс разработки математических
моделей состоит из следующих этапов:
1) Обследование объекта моделирования и формулиров-
ка технического задания на разработку модели (содержа-
тельная постановка задачи)
Этап обследования включает следующие работы:
- выявление основных факторов, механизмов, влияю-
щих на поведение объекта моделирования, определение па-
раметров, подлежащих отражению в модели;
- сбор и проверка имеющихся экспериментальных дан-
ных об объектах-аналогах, проведение при необходимости
дополнительных экспериментов;
- обзор литературных источников, анализ и сравнение
между собой построенных ранее моделей данного объекта
(или подобных рассматриваемому объекту);
- анализ и обобщение всего накопленного материала,
разработка общего плана создания математической модели.
Содержательная постановка задачи моделирования мо-
жет уточняться и конкретизироваться в процессе дальнейшей
разработки модели. Если объектом моделирования является
технологический процесс, машина, конструкция или деталь,
то содержательную постановку задачи моделирования назы-
вают технической постановкой задачи. Вместе с дополни-
тельными требованиями к реализации модели и представле-
нию результатов содержательная постановка задачи модели-
рования оформляется в виде технического задания на проек-
тирование и разработку модели.
2) Концептуальная и математическая постановка
задачи
На данном этапе формулируется совокупность гипотез о
поведении объекта, его взаимодействии с окружающей сре-
56
дой, изменении внутренних параметров. Для обоснования
принятых гипотез, как правило, используются некоторые
теоретические положения и/или экспериментальные данные
об объекте. Законченная концептуальная постановка позво-
ляет сформулировать расчетную схему технического объек-
та и ее математическое описание.
Совокупность математических соотношений определяет
вид оператора модели. Наиболее простые операторы модели
получают, используя различные методы аппроксимации экс-
периментальных данных (интерполяция, метод наименьших
квадратов и др.). Более сложные теоретические модели полу-
чают на основе каких-либо законов, справедливых для объек-
тов исследования в рассматриваемой области знаний, напри-
мер, на основе уравнений законов сохранения. В ряде случаев
математические соотношения, описывающие поведения объ-
екта, приходится устанавливать самому исследователю.
3) Качественный анализ и проверка корректности
модели
В большинстве случаев оператор модели включает в се-
бя систему обыкновенных дифференциальных уравнений
(ОДУ), дифференциальных уравнений в частных производ-
ных (ДУЧП) и/или интегро-дифференциальных уравнений
(ИДУ). Для обеспечения корректности постановки задачи к
системе ОДУ или ДУЧП добавляются начальные или гра-
ничные условия, которые, в свою очередь, могут быть алгеб-
раическими или дифференциальными соотношениями раз-
личного порядка. Можно выделить несколько наиболее рас-
пространенных типов задач для систем ОДУ или ДУЧП:
- задача Коши, или задача с начальными условиями, в
которой по заданным в начальный момент времени перемен-
ным (начальным условиям) определяются значения этих ис-
комых переменных для любого момента времени;
57
- начально-граничная, или краевая, задача, когда усло-
вия на искомую функцию выходного параметра задаются в
начальный момент времени для всей пространственной обла-
сти и на границе последней в каждый момент времени (на ис-
следуемом интервале);
- задачи на собственные значения, в формулировку ко-
торых входят параметры, определяемые из условия каче-
ственного изменения поведения системы (например, потеря
устойчивости состояния равновесия или стационарного дви-
жения, появление периодического режима, резонанс).
Для контроля правильности полученной системы мате-
матических соотношений проводят ряд проверок, в частно-
сти:
- контроль размерностей величин при использовании
принятой системы единиц для значений всех параметров;
- контроль порядков, состоящий из грубой оценки срав-
нительных порядков складываемых величин и исключения
малозначимых параметров (например, если при сложении
трех величин одна из них много меньше других, то такой ве-
личиной можно пренебречь);
- контроль характера зависимостей, который заключает-
ся в проверке того, что значения выходных параметров моде-
ли соответствуют, например, физическому или иному смыслу
изучаемой модели;
- контроль экстремальных ситуаций – проверка того, ка-
кой вид принимают математические соотношения, а также
результаты моделирования, если параметры модели или их
комбинации приближаются к своим предельно допустимым
значениям;
- контроль граничных условий, включающий проверку
того, что граничные условия действительно наложены, что
58
они использованы в процессе построения искомого решения
и что значения выходных параметров модели на самом деле
удовлетворяют данным условиям;
- контроль математической замкнутости, состоящий в
проверке того, что выписанная система математических со-
отношений дает возможность получить однозначное решение
задачи.
Математическая задача является корректно поставлен-
Do'stlaringiz bilan baham: |
