|
6.2. Действительные и возможные перемещения,
число степеней свободы, идеальные связи
Действительным перемещением системы называется
бесконечно малое ее перемещение, совершающееся в процес-
се движения под действием как заданных сил, так и реакций
связей. Оно происходит за время dt в соответствии с динами-
ческими уравнениями движения и уравнениями связей и ха-
рактеризуется изменением координат
⃗
1,
⃗
2
,…,
⃗
N
, где
⃗
i
(
i
,
i
,
i
).
Вариацией или возможным (виртуальным) перемещени-
ем точки в случае голономных связей называется любое до-
пускаемое наложенными связями элементарное перемещение
материальной точки из положения, занимаемого ею в данный
138
фиксированный момент времени, в бесконечно близкое по-
ложение, которое она может занимать в тот же момент
времени.
Возможные (виртуальные) перемещения точек системы
выражаются малыми изменениями радиус-векторов ее точек,
которые будем обозначать через
⃗
1
,
⃗
2
,…,
⃗
N
, где
⃗
I
(
i
,
i
,
i
). Векторы
⃗
i
и их проекции
i
,
i
,
i
называются
простыми или изохронными вариациями радиус-векторов и
координат.
Вариации координат можно задать аналитически,
например, так. Пусть координатах
i
изменяется со временем
по некоторому закону х
i
(t). Изменим вид самой функции,
положив
̃
i
i
i
i
где
i
– произвольный достаточно малый по модулю параметр
(число), а
i
– произвольная дифференцируемая функция,
ограниченная во времени для всех t. Величины
i
i
назы-
ваются изохронными вариациями функций
i
обозначают-
ся через
i
. Следовательно, по определению
i
i
i
.
Введем понятие изохронной вариации функции, завися-
щей от координат, которые сами могут являться функциями
времени, т.е. для функций
.
Главная линейная часть приращения функции при фик-
сированном t называется изохронной вариацией функции и
обозначается
.
Пусть, например, на точку наложена нестационарная
голономная связь
(6.2)
139
В фиксированный момент t сообщаем точке виртуаль-
ное перемещение
⃗ в новом положении
Приращение функции равно нулю; ее изохронная вари-
ация:
(6.3)
(t фиксировано,
Наложенная связь ограничивает вариации координат
этим соотношением в каждый момент времени.
Если связь неголономная вида
̇ ̇ ̇
(6.4)
где x, y, z – координаты точки;
̇ ̇ ̇ их производные по
времени;
функции то проекции воз-
можного перемещения точки на координатные оси, т.е. вари-
ации
координат точки, должны удовлетворять ра-
венствам
(6.5)
(последнее слагаемое
отбрасывается, так как момент t
фиксируется,
Возможное перемещение системы – это любая сово-
купность возможных перемещений точек заданной механи-
ческой системы, допускаемая всеми наложенными на нее
связями.
При удерживающих связях для любого возможного пе-
ремещения точки механической системы противоположное
ему перемещение также является возможным; тогда как при
неудерживающих связях имеются возможные перемещения,
противоположные которым не являются возможными.
Число независимых возможных перемещений механи-
ческой системы называется числом ее степеней свободы.
140
Число степеней свободы системы совпадает с числом незави-
симых вариаций координат.
Если система голономная (связи голономны), ее число
степеней свободы совпадает с числом независимых коорди-
нат, однозначно определяющих положение системы, или с
числом свойственных системе независимых перемещений.
Важным является понятие идеальных связей – связей,
для которых сумма работ их реакций равна нулю на любом
возможном перемещении механической системы (при удер-
живающих связях). При неудерживающих связях идеальные
связи – такие связи, сумма работ реакций которых равна ну-
лю на всех тех возможных перемещениях, противоположные
которым тоже являются возможными.
Пример. Массивное колечко перемещается по стержню,
который равномерно вращается в горизонтальной плоскости.
Виртуальное перемещение колечка в момент t – это беско-
нечно малое его перемещение
⃗, которое совершается на
самом деле на вращающемся стержне и обусловлено дей-
ствующими силами.
Пример. Массивное кольцо скользит вниз по неподвиж-
ной натянутой проволоке, связь реализована проволокой. Ко-
ординаты кольца
связаны уравнением
(6.6)
Связь голономная, стационарная, удерживающая. Одна
степень свободы. Если трение между кольцом и проволокой
отсутствует, то связь идеальна.
Пример. При тех же условиях проволока натянута на
клине, который может перемещаться по горизонтальной
плоскости.
Координаты кольца
1
,
1
и координаты точки клина
2
,
2
связаны уравнениями
141
; y
2
= 0
(6.7)
Связь голономная, стационарная, удерживающая. Две
степени свободы (четыре вариации координат
1
1
2
,
2
) связаны двумя зависимостями, которые легко найти ва-
рьированием уравнения (6.7), если отсутствует третье между
кольцом и проволокой и также между клином горизонталь-
ной плоскостью, то эти связи идеальные.
Пример. При тех же условиях, что и в предыдущем
примере, движение клина задано заранее: клин перемещают
равномерно в направлении оси х со скоростью v. Координаты
кольца связаны уравнением
(6.8)
Связь голономная, нестационарная, удерживающая. Од-
на степень свободы. Фиксируя t и варьируя (6.8), находим
т.е. две вариации связаны одним уравнением. Если трения
между кольцом и проволокой нет, эта связь идеальная.
Пример. Колесико планиметра (прибора для измерения
площадей по картам и планам) катится без скольжения по го-
ризонтальной плоскости карты. Положение колесика опреде-
ляется координатами
c
c
его центра
c
радиус ко-
лесика), углом
между плоскостью колесика и осью и уг-
лом поворота
колесика вокруг своей оси, так как скольже-
ние колесика исключено, то
c
̇. Острый обод колесика
исключает перемещение в направлении, перпендикулярном
его плоскости.
Следовательно, вектор
⃗
c
лежит в плоскости колесика, и
поэтому
̇
c
̇ ̇
c
̇
или
c
c
.
142
Динамика несвободных систем сводится к динамике
свободных систем на основе аксиомы о связях: не изменяя
движение системы, связь можно отбросить, заменив ее дей-
ствие соответствующей силой – реакцией связи; после заме-
ны система рассматривается уже как свободная.
Силы, действующие на материальные точки системы,
Do'stlaringiz bilan baham: |
