Учебное пособие Пермь ипц «Прокростъ» 2017 удк

 
8.3. О формуле размерности 
Зависимость единицы измерения производной величины 
от единиц измерения основных величин может быть пред-
ставлена в виде формулы. Эта формула называется формулой 
размерности, и ее можно рассматривать как сжатое опреде-
ление и характеристику физической величины. 
О размерности можно говорить только применительно к 
определенной системе единиц измерения. В разных системах 
единиц измерения формула размерности для одной и той же 
величины может содержать различное число аргументов и 
может иметь различный вид. В системе единиц измерения 
GGS формулы размерности всех физических величин имеют 
вид степенного одночлена 
M
μ 
L
λ 
T
τ
. 
Покажем, что такой вид формулы размерности опреде-
ляется следующим физическим условием: отношение двух 
численных значений какой-нибудь производной величины не 
должно зависеть от выбора масштабов для основных единиц 
измерения. Например, будем ли измерять площадь в квадрат-
ных метрах или квадратных сантиметрах, отношение двух 
площадей, измеренных, в квадратных метрах, будет таким 
же, как и отношение этих же площадей, измеренных в квад-
ратных сантиметрах. Для основных величин это условие яв-

---

179 
ляется составной частью определения единицы измерения и 
удовлетворяется само собой. 
Пусть мы имеем какую-нибудь размерную производную 
величину у; для простоты примем сначала, что величина у 
является геометрической и поэтому зависит только от длин, 
следовательно,
, 
где 
суть некоторые расстояния. Обозначим 
через 
то значение величины у, которое соответствует зна-
чениям аргументов 
. Численное значение у, а 
также 
, зависит от единицы измерения для расстояний 
. Уменьшим эту единицу или масштаб расстояний 
в α раз. Тогда согласно сформулированному выше условию 
мы должны иметь 
(8.1) 
т.е. отношение 
должно быть одинаковым при любом 
значении масштаба длин α. Из равенства (8.1) получаем 
или 
.
(8.2) 
Следовательно, отношение численных значений произ-
водной геометрической величины, измеренной в разных 
масштабах длины, зависит только от отношения масштабов 
длин. 
Из соотношения (8.2) легко найти вид функции 
: 
, 
. 
Отсюда получаем 

---

180 
,
(8.3) 
так как при 
имеем 
= 
= 
. 
Дифференцируя уравнение (8.3) по 
и полагая 
получаем 
= 
. 
Интегрируя, найдем 
. 
Так как 
, то ; следовательно, 
.
(8.4) 
Этот вывод справедлив для любой размерной величины, 
зависящей от нескольких основных величин, если мы будем 
менять только один масштаб. Нетрудно видеть, что если из-
меняются масштабы 
, β, γ трех основных величин, то функ-
ция 
будет иметь вид 
.
(8.5) 
Этим доказывается, что формулы размерности физиче-
ских величин должны иметь вид степенных одночленов.