Учебное пособие Пермь ипц «Прокростъ» 2017 удк


 Дифференциальные принципы теоретической



Download 1,62 Mb.
Pdf ko'rish
bet66/96
Sana24.02.2022
Hajmi1,62 Mb.
#216197
TuriУчебное пособие
1   ...   62   63   64   65   66   67   68   69   ...   96
Bog'liq
Аюпов В.В. Математическое моделирование технических систем

7. Дифференциальные принципы теоретической
механики 
7.1. Примеры несвободных систем 
Рассмотрим пояснение общих определений, данных ра-
нее, на примерах. 
Пример 1. Математический маятник – это материальная 
точка массы m, колеблющаяся по дуге окружности в одно-
родном поле тяжести в вертикальной плоскости . Реализуется 
маятник в виде груза, подвешенного на капроновой нити. 
Положение маятника можно задавать декартовыми коорди-
натами x, yгруза. Эти координаты связаны соотношением 
2
2
2
(7.1) 
где l – длина маятника.
При заданной длине l в качестве координаты, определя-
ющей положение маятника, проще пользованиям углом 
от-
клонение нити от вертикали, отсчитывая этот угол против ча-
совой стрелки. Преимущества использования угла 
:
1) число координат меньше (одна вместо двух);
2) 
– независимая координата, x, y связаны уравнением 
(7.1). 
Уравнение (7.1) представляет собой ограничение, за-
данное заранее, независимое от динамических уравнений 
движения. Подобные ограничения называются связями. 
Связь (7.1) голономная, стационарная, удерживающая. Голо-
номная связь содержит только координаты; стационарная 
связь не содержит явно времени t, удерживающая связь пред-
ставлена уравнением, а не неравенством. 
Кроме силы тяжести на груз действует сила упругости 
нити – реакция связи. Сила тяжести задана заранее, она явля-
ется активной. Реакция связи (пассивная сила) заранее не за-


150 
дана, она подлежит определению из уравнений механики; ее 
значение от величины активной силы. 
Рассмотрим виртуальное (возможное) перемещение ма-
ятника. Пусть в фиксированный момент времени t координа-
ты груза равны x, y. Разность координат
и 
в тот же момент t двух бесконечных близких 
положений, совместимых со связями, определяют виртуаль-
ное, или возможное, перемещение маятника. Поскольку оба 
положения 
согласуются со связями, то 
наряду с (7.1) имеет место еще и равенство 
2
2
2
(7.2) 
Вычитая из (7.2) равенство (7.1), получим 
2
2
(7.3) 
Виртуальное перемещение определяется вариациями 
координат 
, которые должны быть согласованы с 
уравнениями связей по определению с точностью до главной 
линейной части приращения включительно. Это означает, 
что мы получим уравнение для вариаций координат, если со-
храним в (7.1) только линейные члены. Следовательно, для 
любого фиксированного момента t вариации координат удо-
влетворяют равенству 
Связь (7.1) является идеальной. Это означает: работа ре-
акции 
⃗⃗⃗ нити на любом виртуальномперемещении равна ну-
лю. Действительно,
⃗⃗⃗ ⋅ ⃗

⋅ ⃗

Равенство нулю работы можно заключить также из того, 
что вектор реакции 
⃗⃗⃗ перпендикулярен ⃗
Пример 2. Математический маятник, подвешенный к 


151 
бруску, который может скользить без трения по горизонталь-
ной плоскости. Система состоит из двух материальных точек 
массой 
1
1
1
2
2
2
. Четыре координаты этих точек 
удовлетворяют двум уравнениям связей: 
1
(7.4) 
2
1
2
2
1
2
2
(7.5) 
Варьируя эти уравнения, находим ограничения на вари-
ации координат 
1
2
1
2
1
2
1
2
1
(7.6) 
Здесь две независимые вариации координат: 4-2=2. Из 
трех вариаций 
1
2

две можно выбрать произвольно; 
тогда две другие определятся из уравнений (7.6). В итоге 
можно получить бесчисленное множество виртуальных пе-
ремещений системы. Связи голономные, стационарные, 
удерживающие, идеальные.
 
Пример 3. Спортсмен на лыжах скользит по трамплину, 
отрывается от него и летит в воздухе, а затем снова призем-
ляется. Трамплин – связь: голономная, стационарная, не-
удерживающая. Условием отрыва от связи является обраще-
ние в нуль реакции связи. 
Пример 4. Математический маятник находится на плат-
форме, которая движется с заданной постоянной скоростью v
В отличие от маятника в примере 2, рассматриваемый 
здесь маятник имеет не две, а одну степень свободы. Урав-
нения связей имеют вид 
1
,
1

2
1
2
2
1
2
2
Варьируя эти уравнения, т.е. дифференцируя при фик-
сированном t находим 
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1


152 
Из уравнения 
1
следует, что виртуальное переме-
щение осуществляется при неподвижном бруске. Связи голо-
номные, нестационарные, удерживающие. 
В заключение остановимся на некоторых общих поло-
жениях. 
1. 
Действительные перемещения точек системы про-
исходят во времени под действием заданных сил при нало-
женных связях; эти перемещения согласуются как с действу-
ющими силами, так и со связями. Возможные перемещения 
согласуются только с «замороженными» связями, силы игно-
рируются. 
В случае стационарных связей действительное беско-
нечно малое перемещение системы геометрически совпадает 
с одним из возможных перемещений. 
Возможное перемещение определяется разностями ра-
диус-векторов (или координат) точек системы в положении 
для момента t и бесконечно близкого положения, которое со-
гласуется со связями в момент t. Эти разности радиус-
векторов обозначаются 

1

2

N
, а их проекции на де-
картовы оси 
1
1
1
N
N
N
. Такие величины 
называются изохронными вариациями радиус-векторов, или 
координат.
Найдем в общем виде уравнения, связывающие вариа-
ции координат. Для краткости условимся функцию 
1
1
1
N
N
N
записывать в виде 
; здесь 
под 
понимаются координаты всех точек системы в мо-
мент t. Пусть они удовлетворяют уравнениям голономных 
связей число связей равно l: 
Рассмотрим бесконечно близкое положение системы, 
согласованное со связями в момент t, и пусть 


153 
соответствующие координаты точек. Так как эти 
координаты удовлетворяют уравнениям связей в тот же мо-
мент t, то 

Вычитая из последнего уравнения предыдущие и сохра-
няя, как того требует определение понятия виртуальных пе-
ремещений, главную линейную часть разности, получим 

k
k
k

Здесь множители 
k,
k
k – некото-
рые постоянные, так как уравнения относятся к определенно-
му моменту t и соответствующему положению системы. Си-
стема l однородных линейных уравнений представляет собой 
систему ограничений на изохронные вариации координат. 
2. 

Download 1,62 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   ...   62   63   64   65   66   67   68   69   ...   96




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish