143
6.3. Общие теоремы динамики системы
Число общих теорем в
случае системы равно четырем,
тогда как в случае точки их три. Четвертая теорема – о дви-
жении центра масс – только по форме отличается от теоремы
об изменении количества движения. Две другие теоремы те
же, что и в случае точки: об изменении кинетической энергии
и об изменении момента количества движения.
Пусть несвободная (со связями) механическая система
состоит из
N материальных точек, массы которых
m
1
,
m
2
,…,m
N
. Пользуясь аксиомой о связях, освободим систему от
наложенных связей и приложим к ее точкам силы, равные ре-
акциям связей. После этой операции разделим все силы, дей-
ствующие на точки системы, на два класса: внешние внут-
ренние. Последние, как и силы взаимодействия между точка-
ми системы, должны удовлетворять принципу «действия и
противодействия» согласно третьему закону Ньютона. Диф-
ференциальные уравнения движения материальных точек си-
стемы теперь такие:
k
⃗
k
⃗
e
k
⃗
i
k
,(k=1,2,…,N),
где
⃗
e
k
– главный вектор (геометрическая сумма) всех внеш-
них сил, действующих на точку
m
k
;
⃗
i
k
– главный вектор всех
внутренних сил, действующих
на ту же точку m
k
.
Ввиду того, что вывод общих теорем динамики системы
аналогичен выводу таких же теорем в динамике точки, рас-
смотрим следующую схему. Представим уравнения движе-
ния точек
m
k
системы согласно второму закону Ньютона. Си-
стема, хотя и состоит из отдельных точек, представляет со-
бой единое целое. Просуммируем уравнения движения точек
по всем точкам системы. В результате приходим к трем тео-
ремам.
144
Введем обозначения:
⃗⃗ ∑
k
⃗
k
–
количество движения системы – гео-
метрическая сумма количеств движения всех материальных
точек системы;
∑
k
2
k
– кинетическая энергия системы –
сумма кинетических энергий всех точек системы;
⃗⃗⃗
o
∑
⃗
k
k
⃗
k
) –
кинетический момент системы
относительно центра О.
⃗
e
∑
⃗
e
k
– так называемый
главный вектор внешних
сил системы (геометрическая сумма всех внешних сил си-
стемы);
⃗⃗⃗
e
o
∑
⃗
k
⃗
e
k
–
главный момент внешних сил си-
стемы относительно центра О (геометрическая сумма мо-
ментов всех внешних сил системы относительно центра –
начала координат О);
e
∑
⃗
e
k
⋅ ⃗
k
– элементарная работа внешних сил
системы на перемещение системы
⃗
1
⃗
2
⃗
N
);
i
∑
⃗
i
k
⋅ ⃗
k
– элементарная
работа внутренних
сил системы.
∑
k
⃗
k
∑
⃗
i
k
∑
⃗
e
k
.
Учитывая, что согласно (39.10) ∑
⃗
i
k
, и пользуясь
обозначениями ∑
k
⃗
k
⃗⃗ и ∑ ⃗
e
k
⃗
e
, приходим к равен-
ству
⃗
e
. Аналогично выводятся и два других равенства.
Сформулируем обще теоремы динамики системы.
В движении механической системы относительно
инерциальной системы отсчета имеют место следующие
равенства:
1.
Теорема об изменении количества движения меха-
нической системы. Производная по времени от количества
145
движения системы равна главному вектору (геометрической
сумме) всех действующих на систему внешних сил:
k
⃗
k
⃗
e
.
2.
Теорема об изменении кинетической энергии меха-
нической системы. Дифференциал кинетической энергии ме-
ханической системы равен элементарной
работе внешних и
внутренних сил, приложенных ко всем точкам системы:
dT =
e
+
i
.
3.
Теорема об изменении кинетического момента си-
стемы. Производная по времени от кинетического момента
системы, взятого относительно неподвижного центра, равна
главному моменту внешних сил системы относительно того
же центра:
⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
e
o
.
Следует иметь в виду, что
количество движения точки
k
⃗
k
–
связанный вектор, он приложен к материальной точке
m
k
, тогда как количество движения системы
⃗⃗ – вектор
сво-
бодный; обычно на рисунках
⃗⃗ прикладывают к началу коор-
динат. Главный вектор внешних сил
⃗
e
– это
свободный век-
тор. Кинетический момент системы
⃗⃗⃗
о
по своему определе-
нию связан с центром
О, относительно которого берутся мо-
менты; то же характерно и для главного момента внешних
сил
⃗⃗⃗⃗
е
о
.
Главный вектор внешних сил системы
⃗
е
, поскольку это
свободный вектор, можно найти так. От какой-нибудь точки
пространства, например, от
начала координат, откладываем
векторы, равные внешним силам системы
⃗
е
k
. Затем геомет-
рически откладываем их по правилу параллелограмма или,
146
лучше, по правилу многоугольника. Вектор
⃗⃗⃗⃗
е
получим, если
в центре (т.е. в точке
О, относительно которой берутся мо-
менты) сложим геометрически моменты всех внешних сил по
правилу многоугольника.
Do'stlaringiz bilan baham: 
