Учебное пособие Пермь ипц «Прокростъ» 2017 удк

 
5.3. Две основные задачи динамики точки 
В соответствии с основным уравнением динамики точки
2
⃗
2
⃗
(5.5) 
рассматривают две задачи: 
- Первая задача: 
по заданному уравнению движения определяют дей-
ствующую на точку силу (обратная задача). 
- Вторая задача:
по заданной силе находят уравнения движения (прямая 
задача). 
Решение обратной задачи требует выполнение диффе-
ренцирования, тогда как решение – интегрирования. Теория 
дифференциальных уравнений гарантирует лишь существо-
вание и единственность (при заданных начальных условиях) 
решений при весьма широких предположениях об аналитиче-
ских свойствах правых частей дифференциальных уравне-
ний, т.е. о свойствах силы как функции своих параметров. 
Нахождение общего решения системы дифференциальных 

---

133 
уравнений в замкнутой форме с использованием введенных в 
обиход в математике функций не всегда возможно. Причина: 
класс функций, определенных дифференциальными уравне-
ниями, шире, чем класс конечных комбинаций используемых 
в математике функций. 
В связи с математическими трудностями интегрирова-
ния уравнений движения особое значение приобретает 
нахождение первых интегралов упомянутых уравнений. Пер-
вые интегралы содержат ту или иную определенную инфор-
мацию о движении. 
Первым интегралом дифференциальных уравнений 
движения называется равенство 
̇ ̇ ̇
(5.6) 
где с – произвольная постоянная, связывающая функци-
онально координаты движущейся точки, их произвольные по 
времени (проекции скорости) и, возможно, время. Например, 
уравнению колебаний груза на пружине 
̈+k x=0 соответ-
ствует первый интеграл в виде 
̇
2
2
Шесть независимых первых интегралов движения дают 
полную информацию о движении точки в пространстве. Дей-
ствительно, решая шесть уравнений 
̇ ̇ ̇
i
, i=1,2,3,4,5,6.
(5.7) 
Получим шесть функций 
, ̇ ̇ ̇, зависящих от 
времени и шесть постоянных интегрирования с
1, 
с
2
, с
3
, с
4
, с
5
, 
с
6
. Тем самым полностью определяются кинематические 
уравнения движения точки в проекции ее скорости. Постоян-
ные находятся по заданным начальным условиям движения. 
Вторым интегралом называется равенство
1,
c
2,
c
3,
(5.8) 

---

134 
Достаточно знать три вторых интеграла, чтобы иметь 
полную информацию о движении точки. Ее координаты x, y, 
z определяются как функции времени и шести постоянных 
интегрирования, которые могут быть найдены, как обычно, 
по начальным условиям движения.