Учебное пособие "Методика преподавания математики"

6. Методика изучения отрицательных чисел
Первая методическая задача, возникающая при введении отрицательных чисел, состоит в том, чтобы убедить учащихся в необходимости введения новых чисел. Достигается это с помощью целесообразно подобранных задач. Приведем примеры таких задач: Белка вылезла из дупла и бегает по стволу дерева вверх и вниз. Покажите на рисунке:
1) где будет находиться белка, если она удалена от дупла на 3 м (Можно ли указать местоположение белки единственным образом?);
2) где окажется белка, если она будет: а) выше дупла на 2 м; б) ниже дупла на 3 м; в) ниже дупла на 1,5 м; г) выше дупла на 2,5 м.
При решении этих задач устанавливается, что для того, чтобы определить местоположение белки на дереве, необходимо знать: расстояние, на которое она удалена от дупла, и направление, в котором она переместилась (выше дупла, ниже дупла). Выясняется, что известных чисел недостаточно для того, чтобы охарактеризовать ими и расстояние, и направление. Необходимы новые числа.
Рассмотренные выше задачи полезно представить в более математизированной форме. Для этого достаточно вместо дерева взять прямую, вместо дупла - некоторую фиксированную точку этой прямой, вместо белки - произвольную точку прямой. Созданию наглядно-геометрической основы для введения новых чисел служит такая задача.
Проведите прямую слева направо и отметьте на ней точку О. Изобразите на этой прямой точки А, В, С и К, если известно, что точка А расположена правее О на 6 клеток, точка В - правее О на 5,5 клетки, точка С - левее О на 2 клетки и точка К ~ левее О на 7,5 клетки.
В результате учащиеся будут подготовлены к восприятию понятия "координатная прямая". Учителю останется лишь ввести термины: "начало отсчета", "положительное направление прямой", "отрицательное направление прямой". Если положительное направление обозначать знаком " + ", а отрицательное - знаком "-", то ясно, что положение точки А в предыдущей задаче определяется числом +6, положение точки В - числом +5,5, положение точки С - числом -2, положение точки К - числом -7,5, положение самой точки О - числом 0. Числа +6, +5,5, 0 были известны ранее, числа -2, -7,5 - новые. Числа +6, +5,5, ... называются положительными (их можно записывать и без знака "+"), числа -2, - 7,5 ...- отрицательными. С помощью положительных, отрицательных чисел и числа 0 можно полностью охарактеризовать положение точки на прямой.
Важно, чтобы учащиеся осознали не только необходимость введения новых чисел, но и правильно понимали их смысл. В этих целях полезны упражнения на чтение и запись положительных и отрицательных чисел, на изображение их точками на координатной прямой.
Полезны задания и на обратный перевод (с математического языка на естественный):
Посмотрим, как вводятся действия над положительными и отрицательными числами. Правила выполнения действий над положительными и отрицательными числами устанавливаются на основании решения содержательных задач (например, задач на определение температуры). Математические формулировки этих правил опираются на понятие модуля числа.