Учебное пособие для студентов

Наработка Т1, ч	37	53	86	65	2	15	18	69	77	5	6	25	21	3
119
Номер отказа	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
Наработка Т1, ч	107	98	56	35	28	20	13	9	3	7	8	9	8	17	16

Таблица Статистические характеристики надёжности устройств в условиях эксплуатации .12 - Вариационный ряд по данным о наработке

Номер отказа	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
Наработка Т1, ч	2	3	3	5	6	7	8	8	9	9	13	15	16	17	18
Номер отказа	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
Наработка Т1, ч	20	21	25	28	35	37	53	56	65	69	77	86	98	107	119

При большем числе наблюдений весь диапазон значений отказов делится на интервалы времени Δt_i и подсчитывается количество отказов n_i, приходящихся на каждый i-й интервал. Далее строится таблица (таблица 7.3), называемая статистическим рядом, в которой приводятся интервалы в порядке их расположения вдоль оси абсцисс (число отказов в интервале Δt_i) и оценки рассчитываемых показателей надёжности для каждого интервала Δt_i. По данным этого ряда строятся гистограммы для оценивае­мых показателей надёжности: интенсивности отказов λ(t) и вероятности безотказной работы Р(t) (рисунок 7.1).
Р
асчётные формулы для оценочных значений интенсивности отказов λ_{i стат}(t), для вероятности безотказной работы Р_стат(t) и для вероятностей отказа F_стат(t) и F(t) даны в таблице 7.3.
Таблица Статистические характеристики надёжности устройств в условиях эксплуатации .13 - Статистический ряд по данным о наработке

Δti , ч	0 - 20	20 - 40	40 - 60	60 - 80	80 - 100	100 - 120
ni	16	5	2	3	2	2
λi стат(t) 1/ч	0,0363	0,0218	0,0125	0,027	0,033	λi стат(t) = ni / {Δti  [n - n(t)]}
Pстат(t) = 1 - n(t) / N	0,46	0,3	0,23	0,13	0,070	t = ti нач. интервала + Δti / 2
Fстат(t) = 1 - Pстат(t)	0,54	0,7	0,77	0,87	0,930	l λср =∑ λi стат(t) / l = 0,026 i = 1
F(t) = 1 - ехр(-λсрt)	0,33	0,54	0,73	0,82	0,900

Интервал Δt_i принят равным 20 ч. В дальнейшем построенные гистограммы аппроксимируются кривой, по виду которой можно ориентировочно установить закон распределения отказов путем сравнения с соответствующими теоретическими кривыми.
Ширина интервала должна быть не менее чем в два раза больше погрешности измерения параметра. Группировка данных в общем случае приводит к потере информации, но установлено, что для каждого закона распределения существует оптимальное число интер­валов гистограммы, при котором вид гистограммы оказывается наибо­лее близким к действительному виду кривой плотности распределе­ния. На практике можно пользоваться для выбора количества интервалов l таблицей 7.4 или таблицей 7.5, рекомендованных стандартами. Количество интервалов при построении эмпирической кривой распределения может немного меняться для устранения зигзагообразности, провалов и т.п. [10].
Таблица Статистические характеристики надёжности устройств в условиях эксплуатации .14 - Рекомендованные пределы для выбора количества интервалов [10]

n	25 .. 40	40 .. 60	60 .. 100	100	100 .. 160	100 .. 250	250 .. 400	400 .. 630	630 .. 1000
l	6	7	8	10	11	12	13	14	15

Таблица Статистические характеристики надёжности устройств в условиях эксплуатации .15 - Рекомендованные стандартами пределы для выбора количества интервалов

n	50 .. 100	200	400	1000
l	10 .. 20	18 .. 20	25 .. 30	35 .. 40

Для случая, когда ширина всех интервалов статистического ряда Δt_i одинакова (Δt_i = Δt), её можно вычислить через размах варьирования R = t_MAX – t_MIN параметра t по формуле
Δt = R / l = (t_MAX – t_MIN) / l. (7.1)
Любое значение показателя надёжности, вычисленное на основе ограниченного числа опытов, всегда будет содержать элемент случайности. Приближенное, случайное значение показателя называет оценкой показателя.
К оценке х_стат параметра х предъявляется ряд требований.
Оценка х_стат при увеличении числа опытов n должна приближаться к параметру х. Оценка, обладающая таким свойством, называется состоятельной.
С заданной точностью оценка х_стат не должна обладать систематичес­кой ошибкой, т.е. необходимо, чтобы выполнялось условие равенства М(х_стат) значению случайной величины х:
М(х_стат) = х. (7.2)
Оценка, удовлетворяющая условию (7.2), при котором её матема­тическое ожидание равно оцениваемому параметру х, называется не­смещенной. При равноточных измерениях оценка х_стат может быть вычислена как среднее арифметическое значение величин х₁, х₂, …, х_N.
(7.3)
В частности, статистическую оценку средней наработки до отказа Т_1стат вычисляют по формуле
(3.22)
Выбранная несмещенная оценка должна обладать по сравнению с другими наименьшей дисперсией, т.е.
D[х_стат] = min. (7.4)
Оценка, обладающая таким свойством, называется эффективной [4]. Статистическая оценка среднеквадратичного отклонения σ_стат от среднего арифметического значения связана с дисперсией D[х_стат] соотношением
(7.5)
Если среди результатов независимых измерений n_i раз встречаются равные по величине значения х_i, то n_i называют частотой х_i. В этом случае можно сократить объём вычислений х_стат и ], используя формулы:
(7.6)
(7.7)
где К - число групп (интервалов) с одинаковыми значениями х_i. Эти же формулы используют и в случае статистического интервального ряда, но тогда под х_i понимают среднее арифметическое значение х_{i стат} параметра х в i-ом интервале, а под n_i - количество измеренных значений, которые по величине попадают в указанный интервал.

7.2.Доверительные ве­роятности, доверительные интервалы и методы исключения грубых ошибок измерения при определении статистических характеристик надёжности

7.2.1 Общие сведения о доверительной ве­роятности, доверительных интервалах и методах исключения грубых ошибок измерения

Оценки, полученные по формулам (7.3), (7.5), (7.6) и (7.7), называются точеч­ными. Для характеристики точности и надёжности оценки х_стат пользуются доверительными интервалами и доверительными ве­роятностями.
Пусть для параметра х получена из n опытов несмещенная оценка х_стат. Оценим вероятность, при которой допущенная при этом ошибка не превзойдет некоторой величины ε. Обозначим эту вероятность, называемую доверительной вероятностью, Ρ(ε):
Ρ(ε) = Ρ(|х_стат - х | < ε). (7.8)
Доверительная вероятность - это есть вероятность того, что истинное значение х будет заклю­чаться в пределах от х_стат – ε до х_стат +ε. Границы х_стат – и х_стат + ε называют доверительными границами, а интервал I_ε = х_стат ± ε - доверительным интервалом. Доверительный интервал характеризует точность полученного результата, а доверительная вероятность - его надёжность [4]. Если при испытаниях m значений измеряемой случайной величины х попадут в интервал (х₁, х₂), то при большом числе опытов отношение m к общему числу опытов N, называемое частостью, будет стремиться к постоянному числу. Для различных интервалов эти числа, есте­ственно, будут различны. Рассматривая случайные ошибки как случайные величины, можно утверждать, что вероятность P[х  (х₁, х₂)] попада­ния случайной величины х в интервал (х₁, х₂), равна
P[х  (х₁, х₂)] ≈ m / N. (7.9)
Правило, позволяющее находить P[х  (х₁, х₂)] для любых интер­валов (х₁, х₂), и есть закон распределения вероятностей случайной величины х. Если закон распределения является нормальным, то вероятность попадания случайной ошибки х в симметричный ин­тервал (- х₁, х₂) при (х₁ > 0) оценивают выражением [1]

P[х  (-х₁, х₂)] = P[|х| < х₁] = 2Ф(х / σ) = 2Φ(t) = Р_Д(t), (7.10)
где Ф(t) интеграл вероятности:
и Ф(-t) = - Ф(t); (7.11)
2Ф(х / σ) = 2Φ(t) = Р_Д(t) (при t = х / σ) - интегральная функция Лапласа. Её значения для различных t протабулированы и при­ведены в таблице 7.6;
Ф(х / σ) = Φ(t) - интеграл вероятностей или функция Лапласа;
σ - среднеквадратическая ошибка.
Вероятность того, что случайная ошибка х не выйдет за границы ± t_σ, (t > 0), равна
Ρ[|х| > t_σ] = 1 - 2Φ(t). (7.12)
При х  3σ (т.е. при t  3) вероятность Ρ[|х| > t_σ] становится настолько ма­лой (Ρ[|х| > 3σ] =1 - 2Ф(3) = 0,0027), что выход случайной ошиб­ки за трехсигмовый интервал считают практически невозможным. Это правило получило название правила трёх сигм. Оно находит широ­кое практическое применение для исключения грубых ошибок измерения (промахов), для которых |х| > 3σ, из статистического ряда. Если среднеквадратическая ошибка σ заранее неизвестна, то с помощью формулы (7.5) вычисляют статистическую оценку среднеквадратичного отклонения σ_стат, а затем исключают грубые ошибки измерения для которых
|х| > 3 σ_стат. (7.13)
Таблица Статистические характеристики надёжности устройств в условиях эксплуатации .16 - Интегральная функция Лапласа Р_Д(t) = 2Φ(t) [1, 4, 30] и Ф(-t) = - Ф(t)