Учебное пособие для студентов

Пример 5.1 [8].
Две аккумуляторные батареи работают на одну нагрузку. Интенсивность отказов каждой из них λ = 0,1·10^-4 l/ час. При повреждении (отказе) одной из батарей интенсивность отказов исправной возрастает вследствие более тяжелых условий работы и равна λ₁ = 0,8·10^-4 l/час. Необходимо найти вероятность без­отказной работы системы в течение времени t = 1000 час, а также среднее время безотказной работы.
Решение.
В нашем случае имеет место общее резер­вирование с постоянно включенным резервом. Так как при отказе одной батареи интенсивность отказов другой, исправной, изменяется, то имеет место последействие отказов. Дублированная система исправна в течение времени t при следующих благоприятных ситуациях:
А - ни одна из батарей за время t не отказала;
Б - аккумуляторная батарея 1 отказала, проработав время τ < t, а батарея 2 оставалась исправной в течение времени t;
В - аккумуляторная батарея 2 отказала, проработав время τ < t, а батарея 1 оставалась исправной в течение времени t.
Можно найти вероятность безотказной работы системы Р_С(t) как сумму вероятностей благоприятных гипотез, т.е.
Р_С(t) = Р_А(t) + Р_Б(t) + Р_В(t). (5.47)
Гипотезы Б и В одинаковы, поэтому Р_Б(t) = Р_В(t)и тогда
Р_С(t) = Р_А(t) + 2Р_Б(t). (5.48)
Так как Р_А(t) есть вероятность того, что за время t ни одна из батарей не откажет, то
Р_А(t) = ехр(-2λ · t). (5.49)
Вероятность гипотезы Б можно вычислить, восполь­зовавшись выражением
(5.50)
где a₁(τ) · dτ - вероятность отказа первой батареи в мо­мент τ (вернее, в течение малого промежутка dτ); a₁(τ) = λ · ехр(- λ ·) - частота отказов первой батареи в момент τ; P₂(τ) = ехр(- λ ·) - вероятность безотказной работы аккумулятор­ной батареи 2 в течение времени τ, т.е. до отказа первой батареи; P₂(t - τ) - вероят­ность безотказной работы батареи 2 за промежуток вре­мени от τ до t. Так как в этом промежутке интенсив­ность отказов батареи равна λ₁, то
P₂(t - τ) = ехр[-λ₁(t - τ)]. (5.51)
Подставляя все значения вероятностей в выражение (5.50) для Р_Б(t) и интегрируя, получаем
(5.52)
Тогда вероятность безотказной работы резервирован­ной системы будет
Р_С(t) = Р_А(t) + 2Р_Б(t) =
= ехр(- 2λ · t) + 2 · λ·{ехр[-t(2λ - λ₁)] -1}· [ехр(-λ₁t)] / (λ₁ - 2λ) =
= λ₁· ехр(-2λ · t) / (λ₁ - 2λ) - 2λ · [ехр(-λ₁  t)] / (λ₁ - 2λ). (5.53)
Подставляя в эту формулу значения времени t = 1000 час, а также зна­чения интенсивностей отказов λ = 0,1·10^-4 l/час и λ₁ = 0,8·10^-4 l/час, полу­чаем Р_С(t) ≈ 0,999.
Средняя наработка до отказа Т_1С определяется из соотношения (3.17)
(5.54)
Подставляя значения λ₁ и λ, в эту формулу, имеем Т_1С = 62500 час.
Расчет надёжности резервированных систем иногда полезно выполнять, используя схему «гибели» («чистого размножения») [8]. В соответствии с этой схемой преобра­зование Лапласа вероятности возникновения n отказов вычисляется по формуле
(5.55)
При неравных корнях знаменателя обратное преоб­разование Лапласа Р_n(s) будет
(5.56)
В формулах (5.55) и (5.56) приняты обозначения: λ₀ - интенсивность отказов системы до выхода из строя первого элемента; λ₁ - интенсивность отказов системы в промежутке времени от момента отказа первого эле­мента до второго; λ₂ - интенсивность отказов системы в промежутке времени от момента отказа второго эле­мента до третьего и т.д.; n - число отказавших элемен­тов; s_k = - λ_k - k-й корень знаменателя выражения (5.55); B'(s_k) - производная знаменателя в точке s_k.
При одинаковых опасностях отказов λ_ί, т.е. λ₀ = λ₁ = λ₂ =…= λ_n, расчетные формулы имеют вид
(5.57)
При расчетах надёжности по формулам (5.55) - (5.57) следует помнить, что они не определяют вероят­ности безотказной работы (или вероятности отказа) резервированной системы, а определяют лишь вероят­ность n-го состояния системы, т.е. вероятность того, что в системе откажут n элементов. Для вычисления вероят­ности безотказной работы «необходимо находить вероят­ности 0, 1, . . ., n отказов, когда система еще находится в работоспособном состоянии (исправна), и суммиро­вать полученные вероятности.
Средняя наработка до отказа Т_1С системы при ис­пользовании схемы «гибели» вычисляется то
(5.58)
где λ_ί - интенсивность отказов системы до выхода из строя ί-го элемента.