Разделяем в нём переменные
dP1(t) / P1(t) = – λ2dt (5.31)
и при его интегрировании получаем
ln P1(t) = – λ2 t +ln C, (5.32)
где ln C- постоянная интегрирования.
Учитывая свойства логарифма, получаем
P1(t) = С · exp(- λ2 · t). (5.33)
Ищем общее решение уравнения (5.29) в виде
P1(t) = С(t) · exp(- λ2 · t). (5.34)
Дифференцируя, имеем
dP1(t) / dt = (dС(t) / dt) · exp(- λ2 · t) - λ2· С(t) · exp(- λ2 · t). (5.35)
Подставив, выражения для P1(t) и dP1(t) / dt в уравнение (5.29), получим
(dС(t) / dt) · exp(- λ2 · t) - λ2· С(t) · exp(- λ2 · t) + λ2· С(t) · exp(- λ2 · t) =
= λ1· exp(- λ1 · t). (5.36)
(dС(t) / dt) = λ1· exp[(λ2 - λ1) · t]. (5.37)
При интегрировании последнего выражения получаем
(5.38)
где С2- постоянная интегрирования.
Подставив в общее решение уравнения (5.29) найденное значение С(t), получим
(5.39)
Для определения постоянной интегрирования учтём, что при t = 0 Р0(t) = Р0(0) = 1, а значит по условию нормировки вероятности других состояний при t = 0 равны нулю [Р1(0) = Р2(0) = 0]. Тогда последнее выражение примет вид
P1(0) = 0 = [λ1 / (λ2 - λ1)] + С2. (5.40)
Откуда
С2 = λ1 / (λ1 – λ2). (5.41)
И общее решение (5.39) уравнения (5.29) принимает вид
(5.42)
Следует отметить, что формулы (5.41) и (5.42) приближённые, так как при их выводе использовано инженерное правило А. Н. Колмогорова, установленное с использованием приближённого равенства
ехр(- λ · t) ≈ 1 – λ · t, (5.43)
справедливого лишь при значениях λ · t намного меньше единицы. С учётом приближённого равенства (5.43) формула (5.42) примет вид
(5.44)
в) найдя Р1(t), определим вероятность безотказной работы системы Р(t) с учётом приближённого равенства (5.43):
Р(t) = P0(t) + P1(t) = exp(-λ1· t) + λ1· t = 1- λ1· t + λ1· t = 1; (5.45)
г) находим из нормировочного условия вероятность отказа системы:
Р3(t) = 1 – Р(t) = 1 - 1 = 0. (5.46)
В результате видно, что для данной задачи расчёт с использованием системы дифференциальных уравнений для состояний S0, S1, S2, составленных по инженерному правилу А.Н. Колмогорова, даёт слишком грубый результат, не пригодный для использования на практике, так как при выводе правила А.Н. Колмогорова при разложении ехр(- λ · t) в ряд не учтены члены, содержащие (-λ · t)2, (-λ · t)3, (-λ · t)4 и т. д.
Поэтому при решении сложных задач расчёта надёжности для случаев ненагруженного и облегчённого резервирования замещением, а также резервирования замещением с учётом последействия целесообразно использовать рекуррентную формулу (5.21), либо производить вычисления по схеме «гибели» с использованием преобразования Лапласа [8]. Если произвести расчёт не удаётся, то проводят испытания на надёжность на математических моделях, либо обычные испытания изделий на надёжность.
Рассмотрим пример расчёта надёжности для случая резервирования замещением с учётом последействия.
Do'stlaringiz bilan baham: |