Учебное пособие для студентов

5.3.3 Расчёт общего резервирования с дробной кратностью и с постоянно включенным резервом при отсутствии последействия

Вероятность безотказной работы системы общего резервирования с дробной кратностью m и равнонадёжных элементах с по­стоянно включенным резервом при отсутствии последействия равна [8]
(5.18)
где: Р(t) - вероятность безотказной работы основного или любого резервного элемента надёжности; l - общее число основных и резервных элементов надёжности; h - число элементов надёжности, необходимых для нормальной работы резервированной системы; m - кратность резервирования, которая определяется формулой:
m = (l - h) / h, (5.19)
Средняя наработка до отказа такой системы общего резервирования с дробной кратностью равна
(5.20)
Недостаток постоянного резервирования состоит в значительном увеличении объема аппаратуры, а также в том, что с появлением отказов в резерве изменяются параметры объекта, что может привести к изменению режимов работы.

5.3.4 Расчёт резервирования замещением для случаев облегченного резерва, ненагруженного резерва и общего нагруженного резервирования с последействием

С
хемы резервирования замещением приведены на рисунке 5.7.
Рас­чётные соотношения для общего резервирования замещением с целой крат­ностью для устройств любой кратности ре­зервирования позволяет получить рекуррентная формула [8]
(5.21)
где Р_m+1(t), Р_m(t) - вероятности безотказной работы резервированной системы кратности m + 1 и m соответ­ственно; P(t - τ) - вероятность безотказной работы ос­новной системы в течение времени (t - τ); a_m(τ) - час­тота отказов резервированной системы кратности m в момент времени τ.
Для получения рабочих формул необходимо выполнить интегрирование в правой части, подставив вместо P(t - τ) и a_m(τ) их значения в соответствии с выбранным законом распределения и состоянием ре­зерва.
Для случая общего резервирования с замещением вероятность безотказной работы и средняя наработка до отказа при экспонен­циальном законе надёжности и нагруженном состоянии резерва опре­деляются формулами (5.7) и (5.9). Для облегченного резерва с замещением вероятность безотказной работы и средняя наработка до отказа при экспонен­циальном законе надёжности и при идеальных (безотказных) переключателях равны [4, 8]:
(5.21 а)
(5.22)
где λ_Н - интенсивность отказов резервного устройства до замещения.
При ненагруженном состоянии резерва с замещением вероятность безотказной работы и средняя наработка до отказа при экспонен­циальном законе надёжности равны [4, 8]:
(5.23)
(5.24)
где λ₀ и Т_{1 0} - интенсивность отказов и средняя наработка до отказа основного (нерезервированного) устройства.
Для случая раздельного резервирования замещением при нагруженном состоянии резерва вероятность безотказной работы P_НЗ(t) и средняя наработка до отказа Т_НЗ при экспонен­циальном законе надёжности рассчитываются по формулам (5.15) - (5.17).
Принципиально возможно определить надёжность системы при резервировании замещением без использования рекуррентной формулы методами теории массового обслуживания (ТМО). Однако, в ряде случаев, полученные в результате этого расчётные формулы могут быть неточными и не пригодными для практических расчётов из-за принятых в этой теории допущений.
Покажем это для случая расчёта надёжности при резервировании замещением, когда интенсивности отказов основного и резервного элементов не равны по величине. Для этого случая мы решим лишь задачу резервирования замещением с кратностью резерви­рования резерва один к одному, то есть задачу с дублированием.
Пусть имеется система из одного рабочего и одного резервного невос­станавливаемых элементов. Резервирование ненагруженное замещением. Полагаем, что переключатели абсолютно надежны (Рп » 1). Требуется опре­делить надёжность системы методами теории массового обслуживания (ТМО). Интенсивность отказа основного элемента λ₁, а резервного λ₂.
Решение этой задачи будем проводить в следующем порядке:
а ) изобразим граф всевозможных состояний системы (рисунок 5.8). На этом рисунке S₀ – состояние, когда работает основной элемент, S₁ - работает резервный элемент, так как основной отказал, S₂ - система не работает, так как отказали оба элемента. Поскольку элементы не восстанавливаемые - стрелки на графе направлены только в одну сторону;
б) составим систему дифференциальных уравнений для состояний S₀, S₁, S₂ по инженерному правилу А. Н. Колмогорова:
dP₀(t) / dt = - λ₁ · P₀(t), (5.25)
dP₁(t) / dt = λ₁·P₀(t) - λ₂·P₁(t), (5.26)
dP₂(t) / dt = λ₂·P₁(t). (5.27)
Так как резерв ненагруженный, то можно считать, что резервный элемент свой резерв не расходует, пока работает основной элемент. В момент отказа нельзя считать dP_k / dt = 0 и переходить к системе алгебраических уравнений. Нужно решать дифференциальные уравнения известными в математике мето­дами. Подставив в первое и второе уравнения P₀(t) = exp(- λ₁· t), получим:
dP₀(t) / dt = - λ₁ · exp(- λ₁ · t); (5.28)
dP₁(t) / dt = λ₁ · exp(- λ₁· t) – λ₂ · P₁(t). (5.29)
Последнее дифференциальное уравнение для Р₁(t) является линейным и методика решения его известна. Вначале запишем однородное уравнение
dP₁(t) / dt + λ₂ · P₁(t) = 0. (5.30)