Учебное пособие для студентов

3.2.2 Вероятность безотказной работы, вероятность отказа и частота отказов

Вероятность безотказной работы - это вероятность того, что в пределах заданной на­работки отказ объекта не возникнет. Вероятность безотказной работы определяется в предположении, что в на­чальный момент времени (момент начала исчисления наработки) объект нахо­дился в работоспособном состоянии.
Обозначим через t время или суммарную наработку объекта (в дальнейшем для краткости называем t просто наработ­кой). Возникновение первого отказа - случайное событие, а наработка τ от начального момента до возникновения этого события - случайная величина. Вероятность безотказной работы P(t) объекта в интервале наработки от 0 до t включительно определяют как
(3.1)
Здесь Ρ{τ > t} - вероятность события, заключенного в скобках. Вероятность без­отказной работы Ρ(t) является функцией наработки t . Обычно эту функцию предполагают непрерывной и дифференцируемой.
Если способность объекта выполнять заданные функции характеризуется одним параметром х, то вместо (3.1) имеем формулу
P(t) = Ρ{х_ниж(t₁) < х(t₁) < х_верх(t₁)}; 0 < t₁  t , (3.2)
где х_ниж(t₁) и х_верх(t₁) - предельные по условиям работоспособности значения парамет­ров (эти значения, вообще, могут изменяться во времени). Аналогично вводят вероятность безотказной работы в более общем случае, когда состояние объекта характеризуется набором параметров с допустимой по условиям работоспособности областью значений этих параметров [14].
Вероятность безотказной работы P(t) связана с функцией распределения F(t) и плотностью распределения f(t) наработки до отказа:
F(t) = 1 - P(t); f(t) = dF(t) / dt = - dP(t) / dt . (3.3)
Наряду с понятием «вероятность безотказной работы» часто используют понятие «вероятность отказа» Q(t), то есть вероятность того, что объект откажет хотя бы один раз в течение заданной наработки, будучи работоспособным в начальный момент времени:
Q(t) = 1 - P(t) = F(t) . (3.4)
Из (3.3) с учётом (3.4) получим:
(3.5)
. (3.6)
П лотность распределения f(t) наработки до отказа в литературе по надёжности называют частотой отказов, хотя в стандарте этот термин отсутствует. Типичная зависимость частоты отказов f от времени (от наработки) t изображена на рисунке 3.1.
Из неё видно, что всё время рабо­ты изделий можно разделить на три участка, соответ­ствующие трём независимым группам отказов. Временной промежуток от 0 до t₁ называется участком приработки. На нем происходят отказы, в основном, из-за дефектов производства. На самом протяжённом основном временном промежутке от t₁ до t₂ выход изделий из строя обусловлен, в основном, внезапными от­казами. Временной промежуток от t₂ до t₃ характеризуется возрастанием частоты отказов из-за деградационных процессов, ухудшающих состояние с точки зрения безотказности (старение и износ изделий). На участке после времени t₃ час­тота отказов уменьшается из-за уменьшения количества исправных изделий. В сложной системе на стадии эксплуатации наряду с деградационными процессами действуют и стабилизирующие про­цессы, обеспечивающие сопротивление развитию деградации, под­держивающие работоспособность устройства или системы в за­данных пределах или восстанавливающие, парирующие ухудше­ние состояния. К стабилизирующим про­цессам относятся та­кие, как автоматическая подстройка и регулировка состояния РЭС при функциональном использовании (автоматическая регули­ровка усиления - АРУ, автоподстройка частоты - АПЧ и др.), а для восстанавливаемых изделий также подстройки, регулировки, замены на этапах технического обслуживания и ремонта (если отказ всё-таки произошел) [3].
Точечные статистические оценки для вероятности безотказной работы P_стат(t), вероятности отказа Q_стат(t) и час­тоты отказов f_стат(t) для наработки от 0 до t даются формулами:
P_стат(t) = 1 - n(t) / N, (3.7)
Q_стат(t) = n(t) / N, (3.8)
f_стат(t) = n(∆t) / (N∆t), где (3.9)
N – число объектов, работоспособных в начальный момент времени (наработки); ∆t - промежуток времени (наработки); n(∆t) - число объектов, отказавших в интервале времени (наработки) от t - ∆t / 2 до t + ∆t / 2; n(t) - число объектов, отказавших на отрезке от 0 до t.
Для получения достоверных оценок объем выборки N должен быть достаточно велик [10, 14].