|
разделить
на
два
больших
класса
.
В
первый
класс
можно
отнести
задачи
,
в
которых
надо
решить
неравен
-
ство
или
уравнение
при
всех
возможных
значениях
параметров
.
Ко
второму
классу
отнесем
задачи
,
в
которых
надо
найти
не
все
воз
-
можные
решения
,
а
лишь
те
из
них
,
которые
удовлетворяют
некоторым
до
-
полнительным
условиям
.
При
решении
задач
с
параметрами
иногда
удобно
,
а
иногда
просто
необ
-
ходимо
строить
графики
.
Иногда
рассматриваются
графики
в
обычной
плос
-
кости
,
а
иногда
лучше
рассмотреть
графики
в
плоскости
(
х
,
а
),
где
х
–
незави
-
симая
переменная
,
а
а
–
параметр
.
Это
прежде
всего
возможно
в
задачах
,
где
приходится
строить
знакомые
графики
:
прямые
,
параболы
,
окружности
,
ло
-
гарифмические
,
показательные
функции
и
т
.
д
.
Бывает
,
что
задача
решается
без
всяких
графиков
,
но
более
громоздко
.
Кроме
того
,
эскизы
графиков
ино
-
гда
помогают
наглядно
увидеть
и
«
ход
»
решения
.
В
качестве
общей
рекомендации
заметим
,
что
при
решении
,
например
,
рациональных
уравнений
f(x,
а
)
= 0
и
неравенств
f(x,
а
)
> 0
надо
помнить
,
что
для
разных
степеней
многочлена
f(x,
а
)
методы
решений
разные
.
Поэтому
в
первую
очередь
рассматривают
решение
при
тех
значениях
параметра
,
при
которых
обращается
в
ноль
коэффициент
при
старшей
степени
х
многочлена
f(x,
а
)
,
понижая
тем
самым
степень
многочлена
.
Например
,
квадратное
урав
-
18
17
нение
А
(
а
)
х
2
+
В
(
а
)
х
+
С
(
а
)
= 0
при
А
(
а
)
= 0
превращается
в
линейное
,
если
при
этом
В
(
а
)
≠
0,
а
методы
решения
линейных
и
квадратных
уравнений
раз
-
личны
,
и
т
.
д
.
Идея
параметра
просматривается
уже
при
решении
двух
ниже
следую
-
щих
задач
.
Задача__1.1.'>Задача
1.1.
Определите
числа
а
, b
и
с
так
,
чтобы
функция
у
=
ах
2
+
b
х
+
с
имела
таблицу
значений
(
табл
. 1)
Таблица
1
х
0
1
2
у
1
2
2
Решение
Подставляя
последовательно
данные
значения
х
и
у
в
формулу
у
=
ах
2
+
b
х
+
с
,
получаем
систему
+
⋅
+
⋅
=
+
⋅
+
⋅
=
+
⋅
+
⋅
=
.
2
2
2
,
1
1
2
,
0
0
1
2
c
b
a
c
b
a
c
b
a
Решив
эту
систему
уравнений
,
находим
с
= 1,
2
1
−
=
a
,
2
3
=
b
.
Следова
-
тельно
,
функция
имеет
вид
1
2
3
2
1
2
+
+
−
=
x
x
y
.
Задача
1.2.
Определите
числа
а
, b,
с
и
d
так
,
чтобы
равенство
(
x
– l)
2
(
ax + b
) + (
x
2
+
x
– l)(
cx
+
d
) = l
выполнялось
при
всех
значениях
х
.
Решение
Если
равенство
выполняется
при
всех
значениях
х
,
то
оно
выполняется
,
в
частности
,
при
х
= 1,
при
х
= 0,
при
х
= –1
и
при
х
= 2.
Подставляя
их
после
-
довательно
в
это
равенство
получаем
систему
19
§2. Линейные и кваäратные óравнения
и неравенства с ïараìетраìи
18
=
+
+
+
=
−
+
+
−
=
−
=
+
.
1
5
10
2
,1
4
4
,1
,1
d
c
b
a
d
c
b
a
d
b
d
c
Решив
эту
систему
уравнений
относительно
а
, b,
с
, d
,
находим
а
= 3,
b
= 5,
с
= –3,
d
= 4.
Подставляя
их
в
исходное
равенство
и
раскрывая
скобки
,
проверяем
,
что
оно
верно
при
всех
значениях
х
.
Замечание
.
Мы
подставили
только
четыре
значения
х
,
так
как
этого
дос
-
таточно
,
чтобы
определить
четыре
неизвестных
.
С
другой
стороны
,
послед
-
ний
шаг
решения
(
проверка
)
тоже
обязателен
(
рассмотрите
равенство
(
x
– l)
2
(
ax + b
) + (
x
2
+
x
– l)(
cx
+
d
) = 1
в
точках
х
= 1,
х
= 0,
х
= –1).
При
решении
уравнений
и
неравенств
с
параметрами
чаще
всего
встре
-
чаются
две
задачи
:
1.
Найти
формулы
для
решения
уравнения
(
неравенства
),
выражающие
эти
решения
как
функции
от
параметров
.
Типичный
пример
–
формула
кор
-
ней
квадратного
уравнения
.
2.
Исследовать
решения
уравнения
(
неравенства
)
в
зависимости
от
из
-
менения
значений
параметров
.
Скажем
,
встречается
такая
задача
:
найти
чис
-
ло
корней
уравнения
в
зависимости
от
параметра
или
определить
,
при
каких
значениях
параметра
уравнение
не
имеет
корней
.
Очень
часто
исследование
корней
в
зависимости
от
параметра
можно
провести
,
не
вычисляя
самих
кор
-
ней
.
§2.
Л
ИНЕЙНЫЕ
И
КВАДРАТНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
И
НЕРАВЕНСТВА
С
ПАРАМЕТРАМИ
Ведущими
при
решении
задач
с
параметрами
являются
линейные
и
квадратные
уравнения
и
неравенства
с
параметрами
.
Рассмотрим
вопросы
,
связанные
с
указанными
объектами
.
Начнем
с
простой
задачи
.
Задача
1.3.
Решить
линейное
уравнение
20
19
6
х
– 1 =
х
+ 6.
(
а
)
Решение
Перенесем
в
левую
часть
уравнения
слагаемые
,
содержащие
х
,
а
в
пра
-
вую
–
не
содержащие
х
.
Получим
:
6
х
–
х
= 6 + 1,
5
х
= 7,
х
= 1,4.
Если
в
уравнении
(
а
)
заменить
какое
-
либо
число
,
например
число
6,
дру
-
гим
числом
,
то
можно
получить
новые
уравнения
:
5
х
– 1 =
х
+ 5,
(
б
)
4
х
– 1 =
х
+ 4,
(
в
)
3
х
– 1 =
х
+ 3.
(
г
)
Каждое
из
этих
уравнений
(
б
)–(
г
)
решается
тем
же
способом
,
что
и
уравнение
(
а
).
Чтобы
не
решать
несколько
однотипных
уравнений
одним
и
тем
же
способом
,
решим
задачу
в
общем
виде
,
заменив
изменяемое
число
(
параметр
)
буквой
:
ах
– 1 =
х
+
а
.
Действуя
по
тому
же
плану
,
что
и
при
решении
уравнения
(
а
),
придем
к
уравнению
(
а
– 1)
х
=
а
+ 1.
(
д
)
Только
не
будем
торопиться
с
делением
на
а
– 1,
ведь
это
выражение
при
а
= 1
обращается
в
нуль
,
а
на
нуль
делить
нельзя
.
Случай
а
= 1
надо
рас
-
сматривать
отдельно
.
1)
Если
а
= 1,
то
уравнение
(
д
)
имеет
вид
0
⋅
х
= 2.
Очевидно
,
что
в
этом
случае
уравнение
(
д
)
не
имеет
корней
.
2)
Если
же
а
≠
1,
то
уравнение
(
д
)
имеет
единственный
корень
1
1
−
+
=
a
a
x
.
Нетрудно
убедиться
,
что
по
формуле
1
1
−
+
=
a
a
x
мы
получим
корни
урав
-
нений
(
б
)–(
г
),
если
в
качестве
а
возьмем
числа
5, 4
и
3
соответственно
.
21
20
Задание
,
которое
мы
только
что
выполнили
,
обычно
формулируют
так
:
для
всех
значений
параметра
а
решите
уравнение
(
а
– 1)
х
=
а
+ 1.
Ответ
к
этому
заданию
можно
записать
так
:
Ответ
:
1
1
−
+
=
a
a
x
при
а
≠
1;
нет
корней
при
а
= 1.
Заметим
,
что
наши
рассуждения
о
параметре
начались
с
уравнения
(
а
),
имевшего
единственный
корень
,
но
после
замены
числа
6
на
букву
а
оказа
-
лось
,
что
полученное
уравнение
имеет
единственный
корень
не
при
всех
зна
-
чениях
а
.
При
а
= 1
оно
не
имеет
корней
.
Рассмотрим
в
качестве
примера
линейное
уравнение
с
параметром
.
Do'stlaringiz bilan baham: |
