Учебное пособие для спо 2-е издание, исправленное и дополненное Ðåêîìåíäîâàíî Ó÷åáíî-ìåòîäè÷åñêèì îòäåëîì

разделов
школьной
математики
, 
уровень
математического
и
логического
мышления
, 
первона
-
чальные
навыки
исследовательской
деятельности
. 
Как
показывает
практика
, 
учащиеся
, 
владеющие
методами
решения
задач
с
параметрами
, 
успешно
справляются
и
с
другими
задачами
. 
Безусловно
, 
решение
задач
с
параметрами
является
одним
из
мощных
инструментов
формирования
математического
мышления
в
силу
того
, 
что
они
: 
– 
обладают
большими
потенциальными
возможностями
для
развития
умственных
операций
(
сравнения
, 
аналогии
, 
классификации
, 
конкретизации
, 
обобщения
) 
и
для
развития
способности
к
анализу
и
синтезу
; 
– 
формируют
культуру
логических
рассуждений
, 
что
характерно
для
любой
задачи
, 
связанной
с
рассмотрением
хотя
бы
двух
альтернатив
, 
а
логи
-
ческая
структура
решения
параметрических
задач
, 
как
правило
, 
гораздо
мно
-
гообразнее
; 
– 
развивают
гибкость
мышления
, 
которая
характеризуется
умением
вы
-
ходить
за
пределы
привычного
способа
действия
(
так
как
при
решении
пара
-
метрических
уравнений
, 
неравенств
и
систем
параметр
может
выступать
как
равноправная
переменная
) 
и
т
.
п
.; 
– 
формируют
целенаправленность
и
активность
мышления
, 
для
которых
характерны
, 
например
, 
изучение
различных
подходов
к
решению
уравнений
, 
неравенств
или
их
систем
, 
стремление
к
поиску
рациональных
путей
реше
-
ния
(
многие
уравнения
и
неравенства
с
параметрами
допускают
качественно
отличающиеся
способы
решения
); 
– 
формируют
«
функциональное
мышление
», 
которое
характеризуется
умением
использовать
динамику
соотношений
между
объектами
или
их
свойствами
, 
видеть
переменные
и
их
изменения
; 
9

---

8
–
ɫɩɨɫɨɛɫɬɜɭɸɬ
ɮɨɪɦɢɪɨɜɚɧɢɸ
ɜɢɡɭɚɥɶɧɨɝɨ
ɦɵɲɥɟɧɢɹ
(
ɬɚɤ
ɤɚɤ
ɢɦɟɸɬ
ɦɟɫɬɨ
ɪɚɡɥɢɱɧɵɟ
ɝɪɚɮɢɱɟɫɤɢɟ
ɦɟɬɨɞɵ
ɚɧɚɥɢɡɚ
ɢ
ɪɟɲɟɧɢɹ ɩɚɪɚɦɟɬɪɢɱɟɫɤɢɯ
ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ
, 
ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜ
ɢ
ɢɯ
ɫɢɫɬɟɦ
)
.
ȼ
ɭɱɟɛɧɨɦ
ɩɨɫɨɛɢɢ
ɩɪɢɜɟɞɟɧɵ
ɪɚɡɥɢɱɧɵɟ
ɬɢɩɵ
ɡɚɞɚɱ
ɫ
ɩɚɪɚɦɟɬɪɚɦɢ
, 
ɩɨɤɚɡɚɧɵ
ɪɚɡɥɢɱɧɵɟ
ɦɟɬɨɞɵ
ɢɯ
ɪɟɲɟɧɢɹ
ɢ
ɝɞɟ
ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɥɨɫɶ
ɭɦɟɫɬɧɵɦ
ɦɵ
ɩɪɢɜɟɥɢ
ɪɚɡɥɢɱɧɵɟ
ɪɟɲɟɧɢɹ
ɨɞɧɨɣ
ɢ
ɬɨɣ
ɠɟ
ɡɚɞɚɱɢ
.
Ɉɫɧɨɜɧɚɹ
ɰɟɥɶ
ɧɚɫɬɨɹɳɟɝɨ
ɩɨɫɨɛɢɹ
–
ɩɨɜɵɫɢɬɶ
ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɭɸ
ɤɭɥɶɬɭ
-
ɪɭ
ɱɢɬɚɬɟɥɹ
ɜ
ɪɚɦɤɚɯ
ɷɥɟɦɟɧɬɚɪɧɨɣ
ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɢ
.
Ʉɧɢɝɚ
ɫɨɫɬɨɢɬ
ɢɡ
ɞɜɭɯ
ɱɚɫɬɟɣ
. 
ȼ
ɩɟɪɜɨɣ
ɱɚɫɬɢ
ɞɚɧɨ
ɩɨɧɹɬɢɟ
ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ
, 
ɩɪɨɫɬɟɣɲɢɟ
ɥɢɧɟɣɧɵɟ
ɢ
ɤɜɚɞɪɚɬɧɵɟ
ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ
ɫ
ɩɚɪɚɦɟɬɪɚɦɢ
ɢ
ɦɟɬɨɞɵ
ɢɯ
ɪɟɲɟɧɢɣ
.
ȼɨ
ɜɬɨɪɨɣ
ɱɚɫɬɢ
ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɵ
ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜɚ
ɫ
ɩɚɪɚɦɟɬɪɚɦɢ
, 
ɫɢɫɬɟɦɵ
ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ
ɢ
ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜ
ɫ
ɩɚɪɚɦɟɬɪɚɦɢ
, 
ɬɟɤɫɬɨɜɵɟ
ɫɸɠɟɬɧɵɟ
ɡɚɞɚɱɢ
ɫ
ɩɚɪɚ
-
ɦɟɬɪɚɦɢ
, 
ɚ
ɬɚɤɠɟ
ɪɚɡɥɢɱɧɨɝɨ
ɪɨɞɚ
ɡɚɞɚɱɢ
ɫ
ɩɚɪɚɦɟɬɪɚɦɢ
. 
Ɉɬɞɟɥɶɧɚɹ
ɝɥɚɜɚ
ɩɨɫɜɹɳɟɧɚ
ɨɪɝɚɧɢɡɚɰɢɢ
ɩɨɢɫɤɨɜɨ
-
ɢɫɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɫɤɨɣ
ɞɟɹɬɟɥɶɧɨɫɬɢ
ɭɱɚɳɢɯɫɹ
ɜ
ɩɪɨɰɟɫɫɟ
ɪɟɲɟɧɢɹ
ɡɚɞɚɱ
ɫ
ɩɚɪɚɦɟɬɪɚɦɢ
.
ȼ
ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɟ
ɢɡɭɱɟɧɢɹ
ɤɭɪɫɚ
ɫɬɭɞɟɧɬ
ɞɨɥɠɟɧ ɨɫɜɨɢɬɶ
:
ɬɪɭɞɨɜɵɟ
 
ɞɟɣɫɬɜɢɹ
x
ɜɥɚɞɟɬɶ
ɩɪɢɟɦɚɦɢ
ɞɢɚɝɧɨɫɬɢɤɢ
ɬɢɩɢɱɧɵɯ
ɨɲɢɛɨɤ
, 
ɞɨɩɭɫɤɚɟɦɵɯ
ɭɱɚ
-
ɳɢɦɢɫɹ
ɩɪɢ
ɪɟɲɟɧɢɢ
ɡɚɞɚɱ
ɫ
ɩɚɪɚɦɟɬɪɚɦɢ
;
x
ɩɪɢɟɦɚɦɢ
ɨɛɭɱɟɧɢɹ
ɭɱɚɳɢɯɫɹ
ɪɟɲɟɧɢɸ
ɩɨɢɫɤɨɜɨ
-
ɢɫɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɫɤɢɯ
ɡɚɞɚɱ
ɫ
ɩɚɪɚɦɟɬɪɚɦɢ
;
ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɵɟ____ɭɦɟɧɢɹ'>ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɵɟ
 
ɭɦɟɧɢɹ
x
ɪɟɲɚɬɶ
ɪɚɡɥɢɱɧɵɟ
ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ
, 
ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜɚ
ɢ
ɢɯ
ɫɢɫɬɟɦɵ
, 
ɫɨɞɟɪɠɚɳɢɟ
ɩɚɪɚɦɟɬɪɵ
;
x
ɪɟɲɚɬɶ
ɬɟɤɫɬɨɜɵɟ
ɫɸɠɟɬɧɵɟ
ɡɚɞɚɱɢ
ɫ
ɩɚɪɚɦɟɬɪɚɦɢ
; 
x
ɪɟɲɚɬɶ
ɩɚɪɚɦɟɬɪɢɱɟɫɤɢɟ
ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ
, 
ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜɚ
ɢ
ɢɯ
ɫɢɫɬɟɦɵ
ɧɚ
ɨɫ
-
ɧɨɜɟ
ɢɧɬɟɝɪɚɰɢɢ
ɚɧɚɥɢɬɢɱɟɫɤɨɝɨ
ɢ
ɝɟɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɨɝɨ
ɦɟɬɨɞɨɜ
;
10

---

9
x
ɢɫɩɨɥɶɡɨɜɚɬɶ
ɫɜɨɣɫɬɜɚ
ɮɭɧɤɰɢɣ
ɞɥɹ
ɪɟɲɟɧɢɹ
ɪɚɡɥɢɱɧɵɯ ɭɪɚɜɧɟ
-
ɧɢɣ
, 
ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜ
ɢ
ɢɯ
ɫɢɫɬɟɦ
, 
ɫɨɞɟɪɠɚɳɢɯ
ɩɚɪɚɦɟɬɪɵ
;
ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɵɟ
 
ɡɧɚɧɢɹ
x
ɩɨɧɹɬɢɟ
ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ
ɢ
ɟɝɨ
ɫɭɳɟɫɬɜɟɧɧɵɟ
ɩɪɢɡɧɚɤɢ
;
x
ɦɟɬɨɞɵ
ɪɟɲɟɧɢɹ
ɥɢɧɟɣɧɵɯ
ɢ
ɤɜɚɞɪɚɬɧɵɯ
ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ
ɢ
ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜ
ɫ
ɩɚɪɚɦɟɬɪɚɦɢ
;
x
ɝɪɚɮɢɱɟɫɤɢɣ
ɩɪɢɟɦ
ɪɟɲɟɧɢɹ
ɡɚɞɚɱ
ɫ
ɩɚɪɚɦɟɬɪɚɦɢ
;
x
ɦɟɬɨɞɵ
ɪɟɲɟɧɢɹ
ɪɚɰɢɨɧɚɥɶɧɵɯ
ɩɚɪɚɦɟɬɪɢɱɟɫɤɢɯ
ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ
ɢ
ɧɟ
-
ɪɚɜɟɧɫɬɜ ɜɵɫɲɢɯ
ɫɬɟɩɟɧɟɣ
;
x
ɦɟɬɨɞɵ
ɪɟɲɟɧɢɹ
ɢɪɪɚɰɢɨɧɚɥɶɧɵɯ
ɩɚɪɚɦɟɬɪɢɱɟɫɤɢɯ
ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ
ɢ
ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜ
;
x
ɦɟɬɨɞɵ
ɪɟɲɟɧɢɹ
ɬɪɚɧɫɰɟɧɞɟɧɬɧɵɯ
ɩɚɪɚɦɟɬɪɢɱɟɫɤɢɯ
ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ
ɢ
ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜ
(
ɩɨɤɚɡɚɬɟɥɶɧɵɟ
, 
ɥɨɝɚɪɢɮɦɢɱɟɫɤɢɟ
, 
ɬɪɢɝɨɧɨɦɟɬɪɢɱɟ
-
ɫɤɢɟ
)
;
x
ɦɟɬɨɞɵ
ɪɟɲɟɧɢɹ
ɫɢɫɬɟɦ
ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ
ɢ
ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜ
ɫ
ɩɚɪɚɦɟɬɪɚɦɢ
.

---

Глава I. Знакоìство с ïараìетроì. 
Простейшие ïараìетри÷еские линейные 
и кваäратные óравнения и неравенства с 
оäной неизвестной 
§1. Понятие ïараìетра
10 
ГЛАВА
 I. 
ЗНАКОМСТВО
 
С
 
ПАРАМЕТРОМ
. 
ПРОСТЕЙШИЕ
 
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ
 
ЛИНЕЙНЫЕ
 
И
 
КВАДРАТНЫЕ
 
УРАВНЕНИЯ
 
И
 
НЕРАВЕНСТВА
 
С
 
ОДНОЙ
 
НЕИЗВЕСТНОЙ
 
§1.
 
П
ОНЯТИЕ
 
ПАРАМЕТРА
 
Известно
, 
что
в
программе
по
математике
для
неспециализированных
математических
школ
задачам
с
параметрами
отводится
незначительное
ме
-
сто
. 
Поэтому
, 
в
первую
очередь
, 
укажем
разделы
общеобразовательной
ма
-
тематики
, 
в
которых
вообще
присутствует
сама
идея
параметра
. 
Так
, 
с
параметрами
учащиеся
встречаются
при
введении
некоторых
по
-
нятий
. 
Не
приводя
подробных
определений
, 
рассмотрим
в
качестве
примеров
следующие
объекты
: 
• 
функция
прямая
пропорциональность
: 
у
 = k
х
(
х
и
у
– 
переменные
; 
k
– 
параметр
, 
k
≠
0); 
• 
линейная
функция
: 
у
 = k
х
 + b
(
х
и
у
– 
переменные
; 
k
и
b
– 
параметры
); 
• 
линейное
уравнение
: 
ах
 + b
= 0 (
х
– 
переменная
; 
а
и
b
– 
параметры
); 
• 
уравнение
первой
степени
: 
ах
 + b
= 0 (
х
– 
переменная
; 
а
и
b
– 
парамет
-
ры
, 
a
≠
0); 
• 
квадратное
уравнение
: 
ах
2
+ 
b
х
+ 
с
= 0 (
х
– 
переменная
; 
а
, b
и
с
– 
пара
-
метры
, 
а
≠
0). 
К
задачам
с
параметрами
, 
рассматриваемым
в
школьном
курсе
, 
можно
отнести
, 
например
, 
поиск
решений
линейных
и
квадратных
уравнений
в
об
-
щем
виде
, 
исследование
количества
их
корней
в
зависимости
от
значений
па
-
раметров
. 
Читателю
следует
усвоить
главное
: 
параметр
, 
будучи
фиксированным
, 
но
неизвестным
числом
, 
имеет
как
бы
двойственную
природу
. 
Во
-
первых
, 
предполагаемая
известность
позволяет
«
общаться
» 
с
параметром
как
с
чис
-
лом
, 
а
во
-
вторых
, – 
степень
свободы
общения
ограничивается
его
неизвест
-
ностью
. 
Так
, 
деление
на
выражение
, 
содержащее
параметр
, 
извлечение
корня
четной
степени
из
подобных
выражений
требуют
предварительных
исследо
-
12

---

11 
ваний
. 
Как
правило
, 
результаты
этих
исследований
влияют
и
на
решение
, 
и
на
ответ
. 
Основное
, 
что
нужно
усвоить
при
первом
знакомстве
с
параметром
, – 
это
необходимость
осторожного
, 
даже
, 
если
хотите
, 
деликатного
обращения
с
фиксированным
, 
но
неизвестным
числом
. 
Параметр
(
от
греческого
παραμετρων
– 
отмеривающий
) – 
величина
, 
значения
которой
служат
для
различения
элементов
некоторого
множества
между
собой
. 
Например
, 
в
декартовых
прямоугольных
координатах
уравне
-
ние
(
х
 – 
а
)
2
+ (
у
 – b
)
2
= 1 
определяется
множество
окружностей
радиуса
1 
на
плоскости
хОу
; 
полагая
, 
например
, 
а
= 3, 
b
= 4, 
выделяют
из
этого
множества
вполне
определенную
окружность
с
центром
в
точке
(3; 4), 
следовательно
, 
а
и
b
суть
параметров
уравнения
окружности
в
рассматриваемом
множестве
. 
Посмотрим
на
уравнение
ax
2
+ 
bx
+ 
c
= 0. 
Выражение
, 
стоящее
в
его
ле
-
вой
части
, 
содержит
четыре
буквы
– 
х
, a, b, 
с
. 
Хотя
все
эти
четыре
буквы
равноправны
, 
мы
смотрим
на
это
уравнение
как
на
квадратное
уравнение
от
-
носительно
неизвестного
х
, 
считая
а
, b, 
с
буквенными
коэффициентами
, 
па
-
раметрами
. 
Разумеется
, 
то
, 
что
в
уравнении
одни
буквы
мы
считаем
неизвестными
, 
а
другие
параметрами
, 
в
значительной
степени
условно
. 
В
реальной
практике
из
одного
и
того
же
соотношения
между
переменными
приходится
выражать
одни
переменные
через
другие
, 
т
. 
е
. 
решать
уравнение
относительно
одной
буквы
, 
считая
ее
обозначением
неизвестного
, 
а
другие
буквы
параметрами
. 
По
традиции
неизвестные
обозначаются
последними
буквами
латинско
-
го
алфавита
– 
х
, 
у
, z
, 
а
параметры
– 
первыми
– 
а
, b, 
с
или
вообще
буквами
другого
алфавита
(
например
, 
греческими
). 
Решить
задачу
с
параметрами
– 
это
значит
найти
все
те
и
только
те
зна
-
чения
параметров
, 
при
которых
задача
имеет
решения
. 
Условились
считать
, 
что
параметры
принимают
действительные
значе
-
ния
и
в
задачах
с
параметрами
отыскиваются
действительные
числа
. 
13

---

12 
Понятию
«
параметр
» 
даются
различные
определения
. 
Рассмотрим
, 
на
-
пример
, 
определение
, 
приведенное
в
книге
С
.
И
. 
Новоселова
«
Специальный
курс
алгебры
», 
которое
послужило
основой
определений
большинства
по
-
следующих
изданий
: «
Если
в
уравнение
кроме
неизвестных
входят
числа
, 
обозначенные
буквами
, 
то
они
называются
параметрами
». 
Очевидно
, 
что
обозначение
буквой
не
является
существенным
признаком
такого
понятия
, 
как
«
параметр
». 
Во
-
первых
, 
существуют
постоянные
величины
, 
которым
также
присвое
-
но
«
имя
собственное
» – 
например
: 
π
, 
е
и
т
.
д
. 
Во
-
вторых
, 
отсутствие
в
задаче
переменных
кроме
неизвестной
также
не
может
служить
признаком
того
, 
что
данная
задача
не
является
задачей
с
параметрами
. 
Остановимся
на
определении
, 
данным
В
.
В
. 
Мирошиным
. 
Приведем
его
комментарий
к
нему
.