Учебное пособие для бакалавров педагогических вузов. Настоящее учебное пособие предназначено для студентов-бакалавров

2-§. Normalangan fazolar 
Ta’rif. Aytaylik X haqiqiy chiziqli fazo bo‘lib, uning har bir x elementiga
haqiqiy, ||x|| orqali belgilangan sonni mos qo‘yuvchi ||
⋅||:X→ akslantirish
berilgan bo‘lsin. Agar bu akslantirish
R
1. Har doim ||x||
≥0. Shuningdek, x=θ uchun ||x||=0 va aksincha, agar ||x||=0
bo‘lsa, u holda x
=θ;
2. Ixtiyoriy
λ son uchun ||λx||=|λ|⋅||x||;
3. Ixtiyoriy ikki x va y elementlar uchun ||x+y||
≤||x||+||y||
shartlarni qanoatlantirsa, u norma deyiladi.

Bu shartlar norma aksiomalari deb ham yuritiladi. Uchinchi shart

uchburchak aksiomasi deyiladi.
Norma kiritilgan chiziqli fazo normalangan fazo deyiladi. Odatda ||x|| son
x elementning normasi deyiladi. Agar
ρ(x,y)=||x-y|| belgilash kiritsak, u holda
ρ(x,y) metpika ekanligi bevosita ko‘rinib turibdi. Demak, har qanday normalangan
fazo metrik fazo bo‘ladi.
Aytaylik X normalangan fazo bo‘lsin.
Ta’rif. Nol,
θ elementning
ε
>0 atrofi deb, U={x: ||x||<
ε
} to‘plamga
aytiladi.

Bu kiritilgan U to‘plam, norma yordamida aniqlangan metrika tilida,

markazi
θ
nuqtada, radiusi
ε bo‘lgan ochiq shar deyiladi.
Shuningdek, x
∈
X elementning
ε
atrofi deb x+U to‘plamga aytiladi.
Eslatib o‘tish lozim, V={x: ||x||
≤ε
} to‘plam markazi
θ
nuqtada, radiusi
ε

bo‘lgan yopiq shar deyiladi.

Kelgusida, X
1
={x: ||x||
≤
1} to‘plam X normalangan fazoning birlik shari
deyiladi.
Normalangan fazolar metrik fazolarning xususiy holi bo‘lgani uchun,
normalangan fazolarning to‘la yoki to‘la emasligi haqida gap yuritish mumkin.
Norma yordamida fazoning to‘laligi quyidagicha ifodalanadi:
Aytaylik X normalangan fazoda {x
n
} ketma-ketlik berilgan bo‘lsin.
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

Ta’rif. Agar biror x element uchun {||x
n
-x||} sonli ketma-ketlikning limiti 0
ga teng bo‘lsa, u holda {x
n
} ketma-ketlik x ga yaqinlashadi deyiladi va x
n
→x kabi
belgilanadi.
Shuningdek, agar {||x
n
-x
n+m
||} sonli ketma-ketlikning limiti, ixtiyoriy m
uchun 0 ga teng bo‘lsa, u holda {x
n
} ketma-ketlik fundamental deyiladi.
Agar X normalangan fazoda ixtiyoriy fundamental ketma-ketlik
yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda bu fazo to‘la deyiladi.
To‘la normalangan fazo qisqacha Banax fazosi yoki B-fazo deyiladi va
normalangan fazolar ichida muhim rol o‘ynaydi.
Misollar. 1) Agar x haqiqiy son uchun ||x||=|x| deb olsak, u holda
1