Учебное пособие для бакалавров педагогических вузов. Настоящее учебное пособие предназначено для студентов-бакалавров

5-§. Kompaktlik kriteriyasi 
Aytaylik,
A va B lar
( , )
X
ρ
metrik fazodan olingan to‘plamlar va
ε
musbat
son bo‘lsin.
Ta’rif. Agar A dan olingan ixtiyoriy x element uchun B da ( , )
x y
ρ
ε
<
tengsizlikni qanoatlantiruvchi y element mavjud bo‘lsa, B to‘plam A to‘plamga
nisbatan
ε
to‘r deyiladi. Agar ixtiyoriy
0
ε
>
son uchun A to‘plam chekli
ε
to‘rga
ega bo‘lsa, u holda A to‘la chegaralangan to‘plam deyiladi.

1-misol.

da koordinatalari butun sonlardan iborat to‘plam 1 to‘rni tashkil
etadi.
2
R

2-misol.

fazoda har qanday chegaralangan A to‘plam chekli
n
R
ε
to‘rga
ega, ya’ni A to‘la chegaralangan bo‘ladi.

3-misol. fazoda A to‘plamni quyidagicha aniqlaymiz:

2
l
1
2
( ,
,... ,...)
,
n
x
a a
a
A
=
∈
bu yerda
1
2
1
1
1,
,...,
,...
2
2
n
n
a
a
a
≤
≤
≤

bu to‘plam ixtiyoriy

0
ε
> uchun chekli
ε
to‘rga ega. Haqiqatdan ham,
1
2
4
n
ε
<
berilgan bo‘lsin.

A dan olingan har bir

1
2
( ,
,... ,...)
n
x
a a
a
=
nuqtaga shu to‘plamning o‘zidan
olingan
1
2
* ( ,
,... ,0,0,...)
n
x
a a
a
=

(1)
nuqtani mos qo‘yamiz. U holda

1
2
2
1
1
1
1
( , *)
(
)
(
)
4
2
k
k
k n
k n
x x
a
ε
ρ
∞
∞
−
= +
= +
=
≤
∑
∑
< bo‘lib, (1)
ko‘rinishdagi nuqtalardan iborat B to‘plam
fazoda chegaralagan, demak, B
to‘plam ixtiyoriy
n
R
0
ε
>
son uchun chekli
2
ε
to‘rga ega bo‘lib, to‘la chegaralangan
bo‘ladi.
4-misol.
fazoda {e
2
l
n
} to‘plam e
n
=(0,0,…,1,0,0,…) chegaralangan, lekin
to‘la chegarlangan emas. Chunki
2
2
ε
<
bo‘lganda, unga
ε to‘r qurib bo‘lmaydi.
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

Quyidagi teorema to‘plam kompakt bo‘lishining zaruriy va yetarli shartlarini

ifodalaydi.

Teorema
.
X to‘la metrik fazoda joylashgan A to‘plamning kompakt bo‘lishi
uchun uning to‘la chegaralangan bo‘lishi zarur va yetarli.

Isboti
.
Zarurligi. Aytaylik A kompakt to‘plam to‘la chegaralangan
bo‘lmasin, ya’ni biror
0
ε
> uchun A dan olingan ixtiyoriy x
1
nuqta uchun shunday
x
2
nuqta mavjudki,
1
2
( ,
)
x x
ρ
ε
≥
bo‘ladi. So‘ng shunday
x
3
nuqta mavjud bo‘ladiki,
1
3
2
3
( ,
)
,
( ,
)
x x
x x
ρ
ε ρ
ε
≥
≥
bo‘ladi. Bu jarayonni cheksiz davom ettiramiz. Natijada

( ,
)

,
n
m
x x
m
n
ρ
ε
≥
≠

tengsizliklarni qanoatlantiruvchi

{ }
n
x
ketma-ketlikka ega bo‘lamiz:

Ravshanki, bunday

{ }
n
x
ketma-ketlikdan yaqinlashuvchi qism ketma-ketlik
ajratib olish mumkin emas. Bu esa A ning kompaktligiga zid.

Yetarligi. X to‘la fazo, A unda to‘la chegaralagan to‘plam bo‘lsin. A ning

kompaktligini ko‘rsatamiz.
Faraz qilaylik, A to‘plamning elementlaridan tuzilgan ixtiyoriy
{ }
n
x
ketma-
ketlik berilgan bo‘lsin. Har bir
1
(
1, 2,...
k
k
k
ε
=
=
) uchun
A da mos
k
ε to‘rni
qaraymiz.
Aytaylik
ixtiyoriy 0
ε
> uchun chekli
ε
to‘r mavjud bo‘lsin. Monoton
kamayuvchi va 0 ga intiluvchi ketma-ketlikdan olingan har bir
ε
i
(
i=1, 2, 3, …)
uchun
ε
i
to‘r tuzib olamiz:
1
1
1
1
1
2
,
,...,
, ...
k
x
x
x
,
2
2
2
2
1
2
,
,...,
, ...
k
x
x
x
,
…………………
Endi
A to‘plam elementlaridan tuzilgan
{ }
n
x
cheksiz ketma-ketlikni
qaraymiz va undan yaqinlashuvchi qism ketma-ketlik ajratib olish mumkinligini
isbotlaymiz.
1
ε to‘rning har bir nuqtasini markazi
1
ε
to‘r nuqtalarida
1
1
2
3
,
, ,...,
k
x x x
x
′ ′ ′
′

www.ziyouz.com kutubxonasi

---

va radiusi
1
ε ga teng sfera bilan o‘rab chiqamiz. Bu holda
{ }
n
x
ketma-ketlikning
barcha hadlari qurilgan sferaning ichida joylashgan bo‘ladi.
{ }
n
x
ketma-ketlik
hadlar chekiz ko‘p sferalar esa chekli bo‘lganligi sababli qurilgan sferalardan
kamida biri
{ }
n
x
ketma-ketlikning cheksiz ko‘p hadlarini o‘z ichiga oladi. Shu
sferani T
1
bilan belgilaymiz.
Bu sferada joylashgan
{ }
n
x
ketma-ketlikning cheksiz ko‘p hadlaridan
tuzilgan to‘plamni
A
1
bilan belgilaymiz.
2
ε
to‘rning
T
1
sfera ichida joylashgan
nuqtalarini qaraymiz. Bu nuqtalarning har birini markazi shu nuqtada va radiusi
2
ε

ga teng bo‘lgan sferalar bilan o‘rab chiqamiz. A

1
to‘plamning barcha nuqtalari
radiusi
2
ε
ga teng bo‘lgan sferalar ichida joylashadi. Bu sferalardan kamida biri
A
1

to‘plamning cheksiz ko‘p nuqtalarini o‘z ichiga oladi. Shu xossaga ega bo‘lgan

sferani T
2
bilan
A
1
ning shu sferaga tegishli qismini
A
2
bilan belgilaymiz.
Bu jarayonni cheksiz davo ettirib
1
2
3
...
T
T
T
⊃ ⊃
sferalar ketma-ketligiga ega
bo‘lamiz. Bu sferalar radiusi shartga ko‘ra 0 ga intiladi.
Endi

{ }
n

x
ketma-ketlik elementlarini quyidagicha ajratib olamiz:

1
1

2
2
1
2
2
3
,
,
,
,
..........................
n
n
n
n
x
T x
T
x
T x
T
∈
∉
∈
∉

Bu xolda

{ }
1
n
x
fundamental ketma-ketlik bo‘lib,
X fazoning to‘laligiga ko‘ra uning
limiti
X ga tegishli bo‘ladi. Demak,
{ }
1
n
x
yaqinlashuvchi ketma-ketlik bo‘ladi.

www.ziyouz.com kutubxonasi

---