Учебно-методический комплекс по учебной дисциплине вибрационные машины в строительстве для специальности 1-36 11 01 «Подъемно-транспортные, строительные, дорожные машины и оборудование

Схематизация работы вибромашин 
При теоретических исследованиях сложных объектов, обычно прибегают к 
схематизации (идеализации).Сложный объект заменяется упрощенной схемой, 
изучить которую можно доступными математическими средствами. 
Под понятием система будем называть совокупность предметов (элемен-
тов),выделяемых для решения какой либо задачи. 
Положение системы определяется значениями ее координат в данный момент 
времени, а состояние системы -значением координат скоростей.. 
Линейные системы описываются линейными уравнениями относительно ко-
ординат и их производных. Если коэффициент при координатах и их производных 
зависит от времени , система называется параметрической. Нелинейные системы 
описываются нелинейными уравнениями. 
Свободные движения линейных систем с одной степенью свободы 
Рассмотрим систему:

---

8 
Тело 1 постоянной массы соединено с неподвижной 
стойкой 3 линейными пружинами 2 (коэф. жёсткости 
с
) и демпфером
5 (с коэф. сопротивления 
в
). Поскольку пружина и демпфер линейны, то 
c
и 
в 
=
соnst.
Движение осуществляется в идеальных направляющих 4.Система не под-
вергается внешним воздействиям, и поэтому ее движение называют свободным. 
Дифур-ние свободных движений системы
(1)
m 
х̈
 + в
х̇
+ с
x= 0
, где х - 
координата тела 1, отсчитываемая от положения 
равновесия. 
Тело является носителем( накопителем) кинетической энергии системы

m=
х̇
2
2
. 
Пружина является носителем (накопителем) потенциальной энергии
П= с
𝑥
2
2
. 
Демпфер осуществляет диссертацию (рассеяние)) энергии системы. За время 
t система теряет энергию 
𝐷 = 𝑏 ∫ 𝑥
2
̇
𝑡
0
𝑑𝑡
В зависимости от отсутствия или наличия обмена энергией с окружающим 
миром системы делят на консервативные, которые энергетически изолированы 
(не обмениваются энергией с окружающей средой)и неконсервативные, у которых 
обмен энергией с окружающей средой) имеет место. Т.е. диссипативные системы 
- неконсервативные сиcтемы. 
При отсутствии демпфера , 
в=0, 
уравнение будет
 
(2) 
m
𝑥̈
+cx=0, 
𝑥̈
+
𝜔
0
2
x=0 где 
𝜔
 0
=
√
с
𝑚
-собственная угловая частота 
Решение уравнения 2 имеет вид х=х
а
∙
cos(
𝜔
0
∙ 𝑡 − ⁡𝜑
0
),где
 
Х
а
=
√х
0
2
+
х
0
2
𝜔
0
2
,
𝜑
0 = 
arctg
𝑥̇
0
𝑥
0⁡𝜔0
 .
Вывод: свободное движение консервативной линейной системы, обладающей
накопителями потенциальной и кинетической энергии, осуществляется в виде 
незатухающих гармонических колебаний, с собственной угловой частотой 
𝜔
0
, 
зависящей от параметров системы и не зависящей от начальных условий, с ам-
плитудой Х
а
и начальной фазой 
𝜑
0
, зависящими от начальных условий 
𝑥
0⁡
,
⁡𝑥̇
0
и 
от параметров системы 
с
и 
m. 
𝜔
0
 
не зависит от амплитуды. Системы , обладаю-
щие таким свойством , называют 
изохронными. 
Дифур-ние 1 диссипативной системы можно записать

---

9 
(3)
х̈
+ 2h
х̇
+ 
𝜔
0
2
x=0, где 
х̈ +
в
𝑚
𝑥̇
+
𝑐
𝑚
x=0 
 h = 
в
2𝑚
 -
коэф. демпирования 
 
Решение уравнения 3 имеет различный вид в зависимости от соотношения h и 
𝜔
0
.