Туташ мухитнинг харакат тенгламаси. Эластиклик назариясининг динамик чегаравий масаласининг қўйилиши

Туташ мухитнинг харакат тенгламаси. Эластиклик назариясининг динамик чегаравий масаласининг қўйилиши.

Назарий механикадан маълумки, массалари , тезликлари бўлган n та моддий нуқталар системаси учун ҳаракат миқдори

(1)
дир. Бу тушунчани сиртли, V ҳажмда жойлашган ва тезлик майдони ҳамда маълум боълган туташ муҳит учун умумлаштирайлик.
Туташ муҳит ҳаракат миқдори деб, таърифга кўра, ушбу миқдорга айтилади:
(2)
Ҳаракат миқдорининг ўзгариши тенгламаси худди моддий нуқталар системаси учун ёзиладиган муносабатга ўхшаш бўлиб, қуйидагича ёзилади:
(3)
Ҳажми V бўлган туташ муҳит ҳаракат миқдоридан вақт бўйича олинган ҳосила таъсир этувчи барча массавий ва сирт кучларининг йиғиндисига тенгдир. Бу ерда V ҳажм ихтиёрий, лекин унга жойлашган туташ муҳит ўз моддий зарраларини жараёнда чегараланган сирт ичида сақлайди деб тушунилади.
Агар туташ муҳитда ҳажми V ва сирти да тақсимланган кучлардан ташқари кучлар бўлса, уларни тенгламанинг ўнг томонига қўшиб ёзиш керак.
Келтирилган тенглама ҳаракат миқдорининг оъзгаришини интеграл формасидаги ифодасидир. Шунинг учун бу формула ҳаракат жараёнини характерловчи параметрлар узилишларга эга бўлганда ҳам оъринли бўлаверади. Умуман айтганда, бу тенглама ихтиёрий туташ муҳит учун ўринли бўлишдан ташқари, назарий механикада Ньютоннинг иккинчи қонуни қанчалик аҳамиятли бўлса, ТММда ҳам бу тенглама шу қадар кенг ишлатилади ва катта аҳамиятга эга.
Ҳаракат миқдори тенгламасини ушбу кўринишда ёзиш мумкин:
(4)
Бу тенгламани импульслар тенгламаси ҳам дейилади.
Равшанки, келтирилган интеграл ифодали тенгламалар узлуксиз ва узлуксиз ҳосилали жараёнларга ишлатилганда, дифференсиал тенгламаларга келтирилиши мумкин.
Ҳаракат миқдорининг чекли V ҳажмдаги туташ муҳит учун ўзгариши тенгламасида ушбу Гаусс Остроградский формуласидан фойдаланамиз
(5)
алмаштириш бажарайлик:


(6)
Бундан ёза оламиз:
. (7)
Бу дифференциал тенглама ихтиёрий туташ муҳит ҳаракати дифференциал тенгламаси дейилади. Бу тенглама узлуксиз ва узлуксиз дифференц иалли параметрлари билан характерланувчи туташ муҳит учун ҳосил қилинди ва узлуксизлик бажарилганда чекли ҳажм учун келтирилган ҳаракат миқдорининг оъзгариши ҳақидаги тенгламага эквивалентдир. Демак, чекли ҳажми учун олинган ҳаракат миқдори оъзгариши тенгламаси умумийроқ ва ундан хусусий ҳолда юқорида келтирилган дифференциал тенгламани олиш мумкин.
Қуйидаги ифодани эътиборга олган холда

ҳаракат тенгламаси (7) ни қуйидагича ёзиб олиш мумкин
(8)
Бу ифода деформацияланувчи қаттиқ жисмнинг харакатланиш тенгламасини ифодалайди.
Энди, умумий холда анизотроп жисмлар учун эластиклик назариясининг чегаравий масалани қўйиш мумкин. У харакат тенгламисидан
(9)
умумлашган Гук қонунидан
, (10)
Коши муносабати
, (11)
мос равишда, бошланғич
(12)
ва, чегаравий шартлардан
, (13)
ташкил топади. Бу ерда кучланиш тензори, деформация тензори, кўчишвектори. хажмий куч,. 4-ранли тензор, зичлик.
(11) ифодани (10) тенгламага куйиб қуйидаги ифодани топиш мумкин
(14)
Охирги ифодани эътиборга олган холда, анизотроп жисмлар учун эластиклик назариясининг кўчишларга нисбатан ёзилган динамик масаласи қуйидаги кўринишга эга бўлади:
(15)
бошланғич шартлар
, (16)
чегаравий шартлар
(17)
. (18)
Одатда, Гук қонуни ўрнига термоэластик муносабатлар, пластиклик назариясининг муносабатлари қаралиши мумкин ва уларни умумий холда қуйдагича ёзиб олиш мумкин
(19)
У холда (15-18) чегаравий масала куйидаги кўринишга эга бўлади
(20)
с начальными
(21)
и, краевыми условиями
(22)
(15) тенгламани компонентларга нисбатан куйидаги кўринишга эга бўлади
(23)
Бир ўлчовли холда (23) тенглама ушбу кўринишга эга бўлади
(24) ва қуйидаги бошланғич
(25) ва чегаравий шартлар
(26)
асосида стерженда тўлқин тарқалиш жароёнини ифодалайди.