Tushunchasi

Logarifmik funksiya deb, ko‘rsatkichli funksiyaga teskari bo‘lgan

w  ln z

ushbu

ko‘rinishdagi funksiyaga aytiladi. Agar z  e^w bo‘lsa,

^{w  ln z} bo‘ladi.

wln z ln r e^i ln r i  2k i

k 0, 1,  2,...

Bunda

ln r  i

- logarifmik funksiyaning bosh qismi deyiladi. Bulardan

ko‘rinadiki, kompleks o‘zgaruvchining logarifmik funksiyasi ko‘p qiymatli ekan. Kompleks o‘zgaruvchining logarifmik funksiyasi ham haqiqiy o‘zgaruvchining logarifmik funksiyasining ko‘pgina xossalariga bo‘ysunadi.

Masalan: 1)

ln z₁

z₂  ln z₁
 ln z₂

3. 
   ^{ln zn  n ln z  2 k i}
   

2) ln z₁

/ z₂

 ln z₁

 ln z₂

3. 
   ln  ¹ ln Z n
   

2. 
   misol. 3 4i ning logarifmini toping.
   

Yechish.

z  3 4i 

5,

arg z  arctg ⁴

3

ln 3 4 i ln 5  i arctg ⁴

3

ln 3 4 i ln 5  i arctg ⁴  2 k i

3
k  0,

1,
 2,...

2. Kompleks o„zgaruvchilarning trigonometrik funksiyalari.

Ushbu

_ei z

cos z  i sin z

_{va e}i z

cos z i sin z

Eyler formulalari berilgan bo‘lsin.

Bu formulalarni hadlab qo‘shib va ayirib, quyidagi funksiyaning trigonometrik funksiyalarini aniqlaymiz.

w cos z 

_ei z _{ e} i z

,

2

sin z 

_ei z _{ e} i z

,

2i

tg z 

sin z

cos z

_ei z _{ e}i z



ⁱ _ei z _{ e} i z ^,

ctg z  i

_ei z _{ e} i z


_ei z _{ e}i z

Kompleks o‘zgaruvchilarning trigonometric funksiyalari ham haqiqiy o‘zgaruvchili funksiyalarning ko‘pgina xossalariga bo‘ysunadi. Bunda faqat

kompleks son mumkin.

cos z

va sin z

funksiyalarining modullari birdan katta ham bo‘lishi

Masalan: ^{sin i }

_eii _{ e} ii

2i

_ e^1  e _


i
2i

e² 1

2 e

1,17 i

cos i 

_eii _{ e}ii

2

_ e^1  e

2

_ e² 1 2 e

1, 54

sin i

• 
  1,
  

cos i 1

2. Teskari trigonometrik funksiyalar.

Agar

z sin w

trigonometrik funksiya berilgan bo‘lsa, w – o‘zgaruvchi unga teskari

funksiya bo‘lib, u z ning arksinusi deyiladi va bunday yoziladi w Arc sin z . Xuddi

shuningdek,

w Arc cos z,

w Arctg z,

w Arcctg z .

a) ^{z sin w }

_ei w _{ e}i w

2i

 _e2 i w _1 2ie^{i w}

_{ e}2 i w

 2i z e^{i w}

1 0

e^iw  y

desak, unda

y ² 2i z y 1 0

^y1,2

i z  i z² 1  i z 

1 z²


e^{i w}  i z 

1 z ² ;

i w ln e  ln i z   w  Arc sin z 

 ¹ ln i z 

i

 w  Arc sin z   i ln i z  

2. 
   
   

Xuddi shuningdek

w Arc cos z i ln z 

z ² 1

2. 
   (7)
   

w  Arcctg z   ⁱ ln ^{1 i z}

2. 
   
   

2 1 i z

w  Arcctg z  ⁱ ln ^{z  i}

2. 
   
   

2 z  i

Teskari trigonometric funksiyalar ln ga bog‘liq bo‘lganligi uchun ular ham ko‘p qiymatli funksiyalardir.

3. 
   misol. Arcsin 2 ning barcha qiymatlarini hisoblang.
   

Arc sin 2   i ln 2 i  i 3  i ln ^2  3 i ^  2 k i^ 

Yechish.

 ^ 

2

i ln 2  i

3 2 k

_

k  0,

₂ _

1,  2,...

4. 
   misol. Arctg 1 2ining barcha qiymatlarini toping.
   

Yechish. Arctg 1 2i ¹ l n ^{1 i 1 2i}  ¹ ln ^{i 1}
kasrning maxrajini

2i 1 i 1 2i 2i 3 i

komplekslikdan ozod qilib, uning moduli va argumentini topaylik:

i 1 _{ } 2 _ i _;

  ²    ¹

3  i 5 5 5

arg ^ ²  ^{i }  tg  ^{1 } ^{2 }   ¹ ;   arctg ^ ^{1 }   arctg ¹   arcctg 2

     

2

2

5

5

5

5

2
     

ln ^ ²  ^{i }  ln ¹  i arcctg 2  2 k 

 

5

5
 

U holda ^{Arctg 1 2i k  1 arcctg 2  i ln 5}

2 4

2. Giperbolik funksiyalar.

Kompleks o‘zgaruvchilarning giperbolik funksiyalari ham haqida o‘zgaruvchilarning giperbolik funksiyalari kabi aniqlanadi.

sh z 

_ez _{ e} z

;

2

ch z 

_ez _{ e} z

;

2

th z 

sh z _

ch z

_ez _{ e} z

_ez _{ e} z ^;

cthz 

_ez _{ e} z


_ez _{ e} z

Bunda shz, chz lar

2 i davrli, shz, chz lar

 i davrli funksiyalar. Kompleks

o‘zgaruvchining giperbolik va trigonometrik funksiyalar orasida quyidagi bog‘lanish mavjud.

shz  i sin iz,

ch z cos iz,

th z itgiz ,

cthz  ictgiz .

Isboti.

• 
  i sin iz  i
  

_ei iz  _{ e}i iz 

2i

 _e z _{ e}z

2

 _e z _{ e}z

2

 shz

5. 
   misol. cos 1 i ning qiymatini hisoblang.
   

Yechish.

     



_  _ _e1 i _{ e}1 i   _{1 } 1 i 

^{i 1}  ¹  ¹   

cos 1 i

ch i 1 i

ch 1 i

e e e

2 2 2

cos1

i sin1

 e^1 cos1

i sin1

cos1

e  e^1 _

2

i sin1

e  e^1

2

6. 
   Agar E kompleks sohada
   

w  f z

funksiya berilgan bo‘lib va bu

sohaning biror z₀ nuqtasidagi argument va funksiya orttirmalari quyidagicha

bo‘lsin:  z  z  z₀ ,  w f z₀  z f z₀ .

1. 
   ta‟rif. Agar  z
   

har qanday yo‘l bilan nolga intilganda ^{ w}

 z

nisbat faqat

birgina aniq limitga intilsa, u limitning qiymati

f z

funksiyaning

z₀ nuqtadagi

hosilasi deyiladi va

w¹,

f ¹ z ,

d w

yoki

^{d f} kabi belgilanadi, demak

^{0 d z} d z

f ^z

 lim ^{ w}  lim

f z₀   z f z₀ 

(1)

⁰  z

 z  0 _{ z}

yoki

w f z₀ u x, y i v x, y;

 w u  i  v

bo‘lgani uchun (1) ni quyidagicha

yozish mumkin:

f ^z lim ^{ w}  lim

 u  i  v

(2)

 y  0
chunki

 z  0 _{ z}

^{ z  0}  x  i  y

 w f z  z f zu x  x, y  y u x, yi v x  x, y  y) v x, yu  i  v

bunda

 u  u x   x, y   y)  u x, y

  x   x, y   y)  x, y

2. 
   ta‟rif. Agar
   

w  f z funksiya z₀ nuqtada hosilaga ega bo‘lsa, uni bu

nuqtada differensiallanuvchi yoki monogen funksiya deyiladi.

1-ta’rifdan ko‘rinadiki, agar f z z nuqtada hosilaga ega bo‘lsa, (1) limitining

0

qiymati

 z nolga qaysi yo‘l bilan intilishiga bog‘liq emas. Demak, biz

z₀   z

nuqtani z₀ nuqtaga parallel holda ham intiltirishimiz mumkin. Bu holda

 z  x,

 y  0 bo‘ladi (1 a) rasm).

y y


Z₀   z

 z

Y₀
0 X ₀

a)

Z₀   z

x

X ₀   x

1. 
   rasm
   

 y  z

Y₀ Z ₀ x

0 X ₀

b)

f ^z

_  u _{ i}  y

(3)

⁰  x  x

Xuddi shuningdek

z₀   z

nuqta

z₀ ga Oy ga parallel holda intiltirsak

 x  0,

 z i  y

bo‘ladi va (2) dan ushbu kelib chiqadi (1 b –rasm).

_  w

 u  i  y

^  y  u ^   u

f z₀  lim _{ z}  lim

i  y

 lim

^  y ^i  y ^  y ^i  y

 z  0

 y  0
f ^z

_  v _{ i}  u

 y  0 _{ }

(4)

⁰  y  y

(3) va (4) lardan ushbu tenglamalarni hosil qilish mumkin

 u _{ i}  _  _i  u _  u _  _;  _  u

(5)

 x  x  y  y  x  y  x  y

5. 
   Koshi-Riman shartlari. Teorema. f z funksiya
   

z₀ nuqtada differensiallanuvchi bo‘lishi uchun

u x, y,

v x, y

funksiyalar

z₀ da differensiallanuvchi va Koshi – Riman

shartlarining bajarilishi zarur va yetarlidir.

1. 
   misol. wx²  y ²  2 x yi hosilaga egaligi yoki ega emasligini toping.
   

Yechish.

^{ u}  2 x,

 x

^{ u}  2 y,

 y

^{ v}  2 y,

 x

^{ v}  2 x

 y

Koshi-Riman shartlarini

 u _  v _;

 x  y

 u _  v

 y  x

tekshiramiz.

2 x  2 x;

• 
  2 y 2 y. Demak, bu funksiya hosilaga ega.
  

f ^z w^ ^{ u}  i ^{ v}  2 x  i 2 y  2 x  i y 2 z

yoki

 x  x

2. misol.

f zx²  y²  i 2 x y x  i y²  z²

f ^zz² ^  2 z

w y  i x hosilaga ega ekanligini tekshiring.

Yechish.

u  y,

v  x,

^{ u}  0,

 x

^{ u} 1,

 y

^{ v} 1,

 x

^{ v}  0.

 y

 u _  v _{ 0}

^{ u}   ^{ v} 1 1



bitta shart bajarilmagani uchun bu funksiya

 x  y  y  x

hosilaga ega emas.

Biz ko‘rdikki, agar funksiyaning nuqtadagi hosilasini topish kerak bo‘lsa, quyidagi 4 ta formulaning biridan foydalanish mumkin.

f ^z ^{ u}  i ^{ v} ,

f ^z ^{ v}  i ^{ u} ,

f ^z ^{ v}  i ^{ v} ,

f ^z ^{ u}  i ^{ u}

5. 
   
   

 x  x

 y  y

 y  x

 x  y

Lekin f z funksiyaning haqiqiy va mavhum qismlari ajralmagan holda bo‘lsa, bu

formulalardan foydalanish noqulay bo‘ladi.

f z

ning hosilasiga matematik

analizdagi haqiqiy o‘zgaruvchili funksiyaning hosilasi qoidalarini qo‘llash mumkin, ya’ni:

1. c^  0

2. z^  1

3. 
    f
   

z f z^  f ^z f ^ z

1 2 1 2

4. c f z^  c f ^z

5. ^ f ^{n } z^  n f




^n1 z f ^z^





3. 
   ta‟rif. Agar
   

f z

funksiya E sohaning

z₀ nuqtasida va uning atrofida ham

differensiallanuvchi bo‘lsa, u funksiya shu nuqtada analitik deyiladi.

3. 
   ta‟rif. Agar f z funksiya E sohaning barcha nuqtalarida hosilaga ega
   

bo‘lsa, u funksiya E da analitik deyiladi.

3. 
   ta‟rif. f z funksiya analitik bo‘lgan nuqtalar uning to‘g‘ri nuqtasi,
   

analitik bo‘lmagan nuqtalari esa maxsus nuqtalari deyiladi.

3-misol.

tekshirilsin.

w x²  y ²  i x y³ funksiyaning analitik yoki analitik emasligi

Yechish. u  x²  y ² ,

v  x y³ ,

^{ u}  2 x,

 x

^{ v}  2 y,

 y

^{ v}  y³ ,

 x

^{ v}  3 x y ²

 y

2 x  3 x y²  x 2  3 y²  0;

x  0, y 

y³  2 y  y y²  2 0;

y  0,

y0, 0

- shu nuqtadagina hosila mavjud, boshqa

nuqtada hosila yo‘q, ya’ni funksiya analitik emas.

Foydalanilgan adabiyotlar

1	Ё.У.Соатов	Олий математика 1,2,3,4,5-кисмлар	Тошкент 1992, 1994, 1996
2	В.П.Минорски	Сборник задач по высшей математике.	Москва 1977, 1987 й
3	А.Саъдуллаев	Математик анализ курси. 1,2,3- кисмлар	Тошкент 1993
4	В.Е.Шнейдер	Олий математика киска курси. 1-кисм	Тошкент 1985
5	В.С. Шипачев	Высшая математика.	Москва 1985
6	Х.Латипов	Олий математика.	«Алокачи», Тошкент, 2005