Tugunni aniqlash algoritm

Evklid algoritmi va uning o'zgarishi. Evklid algoritmi - eng katta umumiy bo'luvchini topish. Uchta va undan ko'p raqamlarning tugunini topish
Evklida algoritm - Bu eng katta umumiy ajratuvchi (tugun) butun sonlarni topish algoritmidir.

Eng katta umumiy divider (tugun) - Bu bir qator bir raqam ikki raqamni ajratib qo'yadi va boshqa raqamning boshqa dividerida muvozanatsiz qoladi. Oddiy qilib aytganda, bu ikkita raqamni qidirish uchun saqlanadigan qoldiqsiz ajratish mumkin bo'lgan eng katta raqam.

Tugunni aniqlash algoritm
Kichikroq katalog.
Agar u qoldiqsiz bo'lingan bo'lsa, undan kamroq va tugun bor (siz tsikldan chiqishingiz kerak).
Agar qoldiq bo'lsa, unda kattaroq raqam bo'linish balansi bilan almashtiriladi.
1-bandga o'ting.
Misol:
30 va 18 uchun tugunni toping.
30/18 \u003d 1 (12-sonli qoldiq)
18/12 \u003d 1 (qoldiq 6)
12/6 \u003d 2 (Reside 0)
Oxirida: tugun 6-dan ajratuvchi.
Tugun (30, 18) \u003d 6

a \u003d 50 b \u003d 130, a! \u003d 0 va b! Agar a\u003e b: a \u003d% b: b \u003d b% Bosma (A + B)

A yoki B o'zgaruvchisidagi tsiklda bo'linish balansi qayd etiladi. Kamida o'zgaruvchilar nolga teng bo'lganda tsikl tugallanadi. Bu shuni anglatadiki, ikkinchisida tugun mavjud. Biroq, aynan biz bilmaydigan narsa. Shuning uchun, tugunlar uchun biz ushbu o'zgaruvchilarning miqdorini topamiz. Nollangan o'zgaruvchilardan birida, natijaga ta'sir qilmaydi.

ALGORITM QURILMALARNI KO'RISh

Kattaroq raqamdan kichiklarni olib tashlaymiz.
Agar u 0 ga aylangan bo'lsa, bu raqamlar bir-biriga teng va tugunlar (siz tsikldan chiqishingiz kerak).
Agar ajratish natijasi 0 ga teng bo'lmasa, unda ajratish natijasini almashtiruvchi kattaroq raqam.
1-bandga o'ting.
Misol:
30 va 18 uchun tugunni toping.
30 - 18 = 12
18 - 12 = 6
12 - 6 = 6
6 - 6 = 0
Oxiri: tugun sust yoki echilgan.
Tugun (30, 18) \u003d 6

a \u003d 50 b \u003d 130, a! \u003d b! agar a\u003e a bo'lsa, el \u003d a \u003d b - b - bosish (a)

Evoritm evo tugun (eng katta umumiy bo'luvchi)
Salbiy bo'lmagan ikkita son va. Ularning eng katta umumiy bo'lmasligini topish talab qilinadi, i.e. Bir vaqtning o'zida bo'linadigan eng ko'p va va. Ingliz tilida "eng katta oddiy bo'linuvchi" "eng katta umumiy bo'linma" yozilgan va uning taqsimlanishi:

(Bu erda "" ashiqlik bilan, i.e. "" bo'linishni anglatadi ")

Raqamlardan nolgacha bo'lsa, ikkinchisi noldan farq qiladi, ta'rifga ko'ra, ularning eng katta qismi, bu ikkinchi raqam bo'ladi. Ikkala raqam nolga teng bo'lsa, natija aniqlanmaydi (har qanday cheksiz ko'p songa mos keladi), biz bu holatda eng katta umumiy bo'linmaga aylantiramiz. Shuning uchun biz bunday qoida haqida gaplashishimiz mumkin: agar raqamlardan biri nol bo'lsa, unda ularning eng katta bo'linuvchisi ikkinchi raqamga teng.

Evklida algoritmQuyida ko'rib chiqilgan deb hisoblanadi, ikki raqamning eng katta umumiy bo'luvchisini topish vazifasini hal qiladi.

Ushbu algoritm birinchi marta Evlidida "Boshlanishi" kitobida tasvirlangan (mil. 300 g.), Garchi bu mumkin bo'lsa-da, bu algoritm ilgari kelib chiqqan.

Algoritm
Algoritmning o'zi juda sodda va quyidagi formulada tasvirlangan:

Savdo
Int GCD (In A ,R B) (agar (b \u003d\u003d 0) a; yana gcd (b,% b) ni qaytaring;);)
Ternary Oddiy C ++ bayonidan foydalanib, algoritmni hatto qisqacha yozib olish mumkin:

Int GCD (In A ,R B) (B / B, A% b): a)

Va nihoyat, biz algoritmning aniqlanmagan shaklini beramiz va

Int gcd (int A, int) (B) (% \u003d B; almashinuvi (a, b);) Qaytish a;) Qaytish

To'g'ri ekanligini isbotlash
Birinchidan, biz Evklid algoritmining har bir iteratsiyasida, uning ikkinchi dalillari, shuning uchun qancha manfiy, shuning uchun ham salbiy, shuning uchun elektron qo'llab-quvvatlash algoritmi har doim tugaydi.

Uchun to'g'ri ekanligini isbotlash Biz buni har qanday\u003e uchun ko'rsatishimiz kerak.

Biz tenglikning chap tomonida joylashgan qiymat o'ng tomonda turib, o'ng tomonda turib - chap tomonda bo'linadi. Shubhasiz, bu chap va o'ng qismlar Evlidid algoritmining to'g'riligini isbotlaydigan to'g'ri ekanligini anglatadi.

Bildirmoq . Keyin, ta'rif bilan va.

Ammo keyin quyidagicha:

Shunday qilib, bayonotni eslab, biz tizimni olamiz:

Endi biz keyingi oddiy faktni ishlatamiz: agar ba'zi uchta raqam bo'lsa: keyin u amalga oshiriladi:. Bizning ahvolimizda biz olamiz:

Yoki uning ta'rifi o'rniga almashtirish, qanday qilib olamiz:

Shunday qilib, biz dalilning yarmini o'tkazdik: chap qismi o'ng tomonga o'girilishini ko'rsatdi. Isbotning ikkinchi yarmi ham xuddi shunday amalga oshiriladi.

Ish vaqti

Algoritmning ishlash vaqti taxmin qilinmoqda teorema lamaProblid algoritm va fibonachchi ketma-ketligini keltirib chiqaradigan ajoyib ulanishni belgilaydi:

Agar\u003e va ba'zilari uchun evkidli algorid algoridi endi rekurli qo'ng'iroqlarni amalga oshirmaydi.

Ikki ton-ri qishda eng keng tarqalgan dement-lit-tel turlari $ va $ B $ - $ (A, B) $ - Og'riq, raqamlar sonida $ a. va qolgan $ de-Lid-Xia.

Do-Yu-Du-zo-zo-zo-zo-zo-zo-zo-zo-dan keyin De-Yu-zo-zo-zo-dan keyin stu-dan ichish uchun bo'lishi mumkin (A, B). Si-qishloqlar: $ a \u003d 2 ^ (\\ alpha_1) \\ cdot \\ ldots \\ cdot p ^ (\\ alpha_n) _n $ b \u003d 2 ^ \\ cdot 3 ^ ( \\ beta_2) \\ cdot \\ ldots \\ cdot p ^ (\\ ata_n) _N $ ($ \\ alfa_k $ va $ \\ ata_k $ yaxshi). Keyin-GDA $$ tugun (A, B) \u003d 2 ^ (\\ mina (\\ mina_1)) \\ cdot 3 ^ (\\ ata_2)) \\ CDOT \\ LDOTS \\ CDOT P ^ (\\ min (\\ alfa_n, \\ beta_n)) CDOT 3 ^ 1 cdot 5 ^ 3 cdot 7 ^ 1, 8100 \u003d 2 \\ cdot 5 ^ 2 \\ cdot $ 5 ^ 0 $ 26100) \u003d 2 ^ 0 \\ Cdot 3 ^ 1 cdot 5 ^ 2 \\ cdot 7 ^ 0 \u003d $ 75.

Barqaror isitma - yuz oqimli spo-ba-ba bu farq shunga o'xshash yuzta, unchalik ko'p bo'lmagan yuz va aniq - bu unchalik tez emas.

"Na-Fan" OPI manbasi 7 ta kitobda "NA-FAL" OPI manbasi "Ikkita" Naj-de-qishloqni olish "- bu" Naj-de-qishloqni olish "ning al-logm. Ikki-sonli metrdan biri sifatida OPI-San-Geo-met-ri-ritmning al-ritmi. U mini-th-kesishning bo'ynidagi bo'yning azobidan "Ustundan keyin va" telekanal-tiyo "ga parhezidir. Devorlarning al-yugurish ritmining o'g'ri, "Xit de-La-La-Llo" ikki-on-pog'onali Si-qishloqlar "da.

OS-Yangi g'oyasi, aylanma On-Na-Na-Van al-Ritm, bu $ Chi-Vilucies $ va $ b $ tilli ovchilar $ B $ va AB $ . -So-ha, ular Evropa Ittifoqi $ B $ga $ B $ga $ B $ kunigacha deb o'ylamaydilar, ya'ni Vi de $ a \u003d b \\ cdot Q + R $, undan keyin $ (a, b) \u003d tugun (b, r).

Opsi-Seed-ari-a asalari-ri-chaan-ri-chaan-fenness al-Go-Rit-ma, in-AKATIV-NA-Li-Li-Li-Sarf .

To'g'ridan-to'g'ri Mo-Ke-da bir yuz tirnoq va $ b $ si-siro Mca-Si-Mal -, lekin kim Kvad kVad kalamushlari bor. SHEM-SIA, to'g'ridan-to'g'ri-E-KO-KO-VA-KO-VA-KO-VA-V. Mac-Si-Mal - lekin kim KaD kalamushni kimlar. Va ha, "butun" Ni - Kra-Chen bo'lmaydi. SA-ma lena-kvad-kvad-rom-ta ta-TA-TA va bu-bolalarning ravshanligi uzunligi (A, B).

OP AP API-SA-SARA-TER-TER-TER-TER-TER-TER-TER-TER-TER-TER-TER-TER-RI-TER-RI-TER-TER-MEAF-TI-TI-SUS-RITE-MA Ev-kli-ha.

Al-Go-Rit-M-ni tekshiruvdan oldin davolash Al-thtmm evo-kli-ha
To'g'ri-ni-ke strand $ va $ b $ $ (A \\ GT b) $ (A \\ GT b) $ cvad-rat MC- Si-Mal-Nom-Me-Ra. yuz-1 B $). Ushbu opera ratsioni Qora bo'lmaganlar bo'lmagan Cro-Cu-Em-Cu-Em-Em-etoslar uchun kim bo'lishlari mumkin. $ De $ B $ SHASIYA RAQAMNING SAQLANGAN $ B $ A \u003d B \\ CDOT Q_1 + R_1 $.
Evropa Ittifoqi yolg'onligining to'rtburchagi - siz mening butun tekisligi - laqab, keyin $ B $ bu $ EU-Lee PES-Joriy $ r_1 $ r_1 $ de_10 raqami $ B $ va $ bo'shatuvchini tashkil etadi.
Evropa Ittifoqi-Si-Sia-Cog-Nic-Nik ($ biti va $ bir), u Ra-Shi-Vasya fvad-riv mad-si ni biladigan kim Malo-Ra-Ra-Ra (yuzli $ r_1 $). EI-Lee Ste Steige $ r_1 $ yaxshi emas, keyin $ de-lyuks-xia $ B $ Lim-Xia $ B $ LET-XIA ning minimal soni $ b $ b \u003d r_1 \\ r_2 + r_2 $.
Evropa Ittifoqi-Lee to'rtburchak r_1 $ CH_1 $ CT_1 $ CT_1 $ CT_ROST - butun to'g'ri ko'mir taxalluslari, keyin $ r_1 $ va $ bo'shation. EI-Zul -ta-Te-Ro de Le-Ro-Ro De ligasidami yoki yo'qmi, $ r_2 $ RoTnu ISO, keyin $ r_1 $ va $ bo'shatishingiz kerak.
Evropa Ittifoqi - LE-ni to'g'ri-mi-laqab qoldiq ($ r_1 va $ r_1 $ va $ 1 uchun), unda ki-lo to'rtburchak RAB-TV th-tob bo'yog'i Mac-Si-Mal-Ra-Ra-Ra (yuzli $ r_2 $). WT leuu wto-fon fondidagi $ r_2 $ OT-De Le-Funde-ning qolgan $ r_1 $ r_2 $ r_3 $.
Va ha, barcha NIK-Nikx-la lahline tirik emas, Kvad-Ra-Mi. (RA-lekin, yoki kech, bu, u yuz kvadrat-rod-Rau-TOV bir savol va Tyu-Bom-choy, va Poly-mavzu barglari-Si'a Roma-Mi-Mi-Ni-Na-Nava Siema-ni-militkau). Va ha, ha, bu lu-chit bo'lmasa, amaldagi $ r_n $ Liuga teng (RA-STOP-KI Redunday-SMTA).
Yuz-ni-na-gvans-reynning uzunligi va $ si-si-qishloqlar mavjud. Amaldagi yaxshilab quyish $ r_ (N-1) $ va $ Si-Si-qishloqlar mavjud.
Al-Go Crtme-Kli-Ha Java-La - Tom - Tom - bu bir martalik kottejning bo'yniga - Pol-ZU-e-Mamp. Amalda, u hech qachon - - - hech qachon - yoki yo'q) dro-bayda bo'lgan raqamlar sonidagi tengliklar uchun U foydalanuvchis-dems-smata. Hog de-Li-La-qora yangi.

Adabiyot
Evklid. Cha va ev-kli-ha. Kni Gay Vii, X. - M.-L: 1950 yil.

R. Ku-Rant, RO BINS. Ma-t-ka nima? - m .: McNMO, 2010 yil.

Kamaytirishning ikkita asosiy usulini ko'rib chiqing: ikkita asosiy usulda: Evlidid algoritmidan foydalanish va oddiy omillarni kengaytirish orqali. Ikkala usulni ikki, uch va undan ortiq raqamlar uchun qo'llang.

Algoritm evlida ishni topish uchun
Evklid algorida algoritm sizga eng katta umumiy dividerni ikki ijobiy raqamga osongina hisoblash imkonini beradi. Biz "Evkokid algorini" Explidlid algoritmining "eng katta umumiy bo'luvchi" bo'limida tasdiqladik: aniqlovchi, misollar. "

Algoritmning mohiyati doimiy ravishda qoldiq bilan izchil olib borishdir, ularda bir qator tengliklar olinadi:

a \u003d b · Q 1 + R 1, 0< r 1 < b b = r 1 · q 2 + r 2 , 0 < r 2 < r 1 r 1 = r 2 · q 3 + r 3 , 0 < r 3 < r 2 r 2 = r 3 · q 4 + r 4 , 0 < r 4 < r 3 ⋮ r k - 2 = r k - 1 · q k + r k , 0 < r k < r k - 1 r k - 1 = r k · q k + 1

Biz bo'limni qachon tugatishimiz mumkin R k + 1 \u003d 0, bunda R k \u003d tugun (a, b).

1-misol.

64 va 48 .

Qaror

Biz notani taqdim etamiz: a \u003d 64, b \u003d 48.

Evkokid algoridi algoritm bo'linadi 64 ustida 48 .

Biz 1 va qoldiqni olamiz. Ko'rinib turibdiki, Q 1 \u003d 1, R 1 \u003d 16.

Ikkinchi bosqichni ajratamiz 48 16. Biz 3 ga egamiz. Ya'ni 2 \u003d 3, lekin R 2 \u003d 0. Shunday qilib, 16 raqami - bu holatlar uchun eng katta umumiy divider.

Javob: Tugun (64, 48) \u003d 16.

2-misol.

Tugunlarga teng bo'lgan narsa 111 va 432 ?

Qaror

Delim. 432 ustida 111 . Evkidid algoritmiga ko'ra, biz 432 \u003d 111 · 99 99, 111 \u003d 99 · 12, 99 \u003d 12 · 3, 12 \u003d 3 · 1.

Shunday qilib, raqamlarning eng katta umumiy divideri 111 va 432 - Bu 3.

Javob: Tugun (111, 432) \u003d 3.

3-misol.

661 va 113 raqamlarining eng katta jami bo'luvchisini toping.

Qaror

Biz doimiy ravishda ajratuvchi raqamlarni olib boramiz va tugunlarni olamiz (661 , 113) = 1 . Bu shuni anglatadiki, 661 va 113 o'zaro oddiy raqamlar. Agar ular bosh raqamlar jadvaliga murojaat qilsak, hisob-kitoblarning boshlanishidan oldin bilib olishimiz mumkin.

Javob: Tugun (661, 113) \u003d 1.

Oddiy multiplierlarga raqamlarning parchalanishidan foydalanib, tugunni topish

Ikki sonning katta umumiy bo'linuvchisini ko'paytirish orqali ko'paytirish orqali ushbu ikki raqamning parchalanishi natijasida olingan barcha oddiy omillarni ko'paytirish kerak va ular uchun odatiy hol.

4 misol.

Agar biz 220 va 600 raqamlarni oddiy ko'paytirgichlarga ajratib qo'ysak, biz ikkita asarni olamiz: 220 \u003d 2 · 2 · 5 va 600 \u003d 2umulaning 2 · 3 · 5. Ushbu ikki asarda 2, 2 va 5 keng tarqalgan. Bu degani bu tugun (220, 600) \u003d 2 · 2 \u003d 20.

5-misol.

Raqamlarning eng katta umumiy bo'linmasini toping 72 va 96 .

Qaror

Biz barcha oddiy sonlarning ko'paytirgichlarini topamiz. 72 va 96 :

72 36 18 9 3 1 2 2 2 3 3

96 48 24 12 6 3 1 2 2 2 2 2 3

Ikki raqam uchun, oddiy ko'paytirgichlar uchun: 2, 2, 2 va 3. Bu degani bu tugun (72, 96) \u003d 2 · 2 \u003d 3 \u003d 24.

Javob: Tugun (72, 96) \u003d 24.

Ikkita raqamning eng katta jami bo'luvchining eng katta umumiy diverini topish qoidasi (M · 1, m · 1) \u003d m · nod (a 1, B 1) ga muvofiq M - bu ijobiy raqam.

Uchta va undan ko'p raqamlarning tugunini topish
Biz tugunni topishimiz kerak bo'lgan raqamlar sonidan qat'i nazar, biz bir xil algoritmda harakat qilamiz, bu ikki raqamning tugunining izchil topilishi bilan bog'liq. U ushbu algoritmga quyidagi kuzatuvchidan foydalanish bo'yicha asoslanadi: bir nechta raqamlarning tuguni A 1, a 2, ..., K raqamga teng D k.eng munosib hisoblash tuguni ostida (A 1, a 2) \u003d d 2, Tugun (d 2, a 3) \u003d d 3, nod (d 3, a 4) \u003d d 4, ... d 4, a k) \u003d d k.

6-misol.

To'rt raqamning 78, 294, 570 va to'rt raqamning eng katta umumiy bo'linishini toping 36 .

Qaror

Biz notani taqdim etamiz: a 1 \u003d 78, a 2 \u003d 294, a 3 \u003d 570, a 4 \u003d 36.

Keling, 78 va 294 ta tugunlarni topamiz: D 2 \u003d.Tugun (78 , 294) = 6 .

Endi d 3 \u003d tugun (D 2, a 3) \u003d tugun (6, 570) ni toping. Evklidea algoritmiga ko'ra 570 \u003d 6 · 95.Bu shuni anglatadiki D 3 \u003d.Tugun (6 , 570) = 6 .

Biz D 4 \u003d tugunni (D 3, a 4) \u003d tugunni (6, 36) topamiz. 36 U 6-ga qadar qoldiqsiz bo'linadi. Bu bizga olishimizga imkon beradi D 4 \u003dTugun (6 , 36) = 6 .

D 4 \u003d 6, ya'ni tugun (78 , 294 , 570 , 36) = 6 .

Javob:

Endi bu va boshqa raqamlar uchun tugunni hisoblashning boshqa usulini ko'rib chiqamiz. Biz barcha umumiy sonli oddiy sonlarni qayta harakatlantiradigan tugunni topamiz.

7 misol.

Hisoblash 78, 294, 570 va 36 .

Qaror

Biz bu raqamlarni oddiy ko'p marotaba parchalaymiz: 78 \u003d 2 · 3 vatali 2, 294 \u003d 2, 570 \u003d 270 \u003d 261, 36 \u003d 26, 36 \u003d 26. 3.

Barcha to'rtta raqam uchun umumiy ko'payuvchilar 2 va 3 raqamlari bo'ladi.

Bu tugunning paydo bo'ladi (78, 294, 570, 36) \u003d 2 \u003d 6.

Javob: Tugun (78, 294, 570, 36) \u003d 6.

Notal raqamlarni topish
Agar biz salbiy raqamlar bilan shug'ullanishimiz kerak bo'lsa, unda eng katta umumiy dividerni topish uchun biz ushbu raqamlarning modullaridan foydalanishimiz mumkin. Biz qarama-qarshi belgilar bilan raqamlarning xususiyatlarini bilib, buni amalga oshirishimiz mumkin: raqamlar N. va - N. Bir xil bo'lingan holda.

8 misol.

Tugunni toping salbiy butun sonlarni toping − 231 va − 140 .

Qaror

Hisob-kitoblarni amalga oshirish uchun raqamlar modullarini, shart bo'yicha ma'lumotlar oling. Bu 231 va 140 raqamlari bo'ladi. Biz uni qisqacha yozamiz: tugun (− 231 , − 140) = Tugun (231, 140). Endi biz Expect Algoridm-ni ikkita raqamning oddiy ko'paytirgichlarini topish uchun qo'llaymiz: 231 \u003d 140 · 1 + 91; 140 \u003d 91 · 1 + 49; 91 \u003d 49 · 1 + 42; 49 \u003d 42 · 1 + 7 va 42 \u003d 7 · 6. Biz bu tugunni (231, 140) \u003d 7 olamiz .

Va tugundan beri (− 231 , − 140) = Tugun (231 , 140) keyin tugunlar − 231 va − 140 Qarg'a 7 .

Javob: Tugun (- 231, - 140) \u003d 7.

9-misol.

Uch sonning tugunini aniqlang - 585, 81 va − 189 .

Qaror

Biz salbiy raqamlarni ularning mutlaq qiymatlari ro'yxatida almashtiramiz, biz tugunlarni olamiz (− 585 , 81 , − 189) = Tugun (585 , 81 , 189) . Keyin oddiy omillardagi raqamlarning barcha ma'lumotlarni parchalaydi: 585 \u003d 3 · 3 · 5, 81 \u003d 3 · 3 · 3 va 3 189 \u003d 3 · 3 · 7. Uch raqam uchun 3 va 3-sonli oshiq. Ma'lum bo'lishicha, tugun (585, 81, 189) \u003d tugun (- 585, 81, - 189) \u003d 9.

Javob: Tugun (- 585, 81, - 189) \u003d 9.

Agar siz matnda xatoga duch kelsangiz, uni tanlang va Ctrl + Enter ni bosing

Elektron tijoratda keng tarqalgan. Shuningdek, algoritm chiziqli diofika tenglamalarini, doimiy kasrlarni asoratda qurishda qo'llaniladi. Evklid algoritmi - bu raqamlar nazariyasida, masalan, to'rtta kvadrat va arifmetik nazariy qismida ggrant teorema kabi boshliqlar tomonidan tasdiqlangan asosiy vositadir.

YouTube entsiklopedik.
1 / 5

✪ Matematika. Tabiiy raqamlar: Evklidea algoritm. Foxford onlayn o'quv markazi

✪ algoritm evxenida

✪ Algoritm Evkorida, tugunni topishning tezkor usuli

✪ Matematika 71. eng katta umumiy ajratuvchi. Everitm everitm - Malakali fanlar akademiyasi

✪ 20 tsikl, everitm evoritm piton

Subtitrlar
Tarix
Qadimgi yunon matematikasi ushbu algoritmni deb atashdi ἀνθυφαίρεσις yoki ἀνταναίρεσις - "o'zaro evazti." Ushbu algoritmni etkazib berish bilan ochilmagan, chunki u haqida eslatma allaqachon mavjud Mavzu Aristotel. Evluklidning "boshlanishi" da ikki marta tavsiflangan - VII-kitobning ikki xil umumiy sonining eng katta umumiy bo'luvchisini va ikkita bir hil qiymatning eng katta umumiy o'lchovini topish uchun eng katta umumiy bo'linishni topish uchun. Ikkala holatda ham, algoritmning geometrik tavsifi ikki segmentning "umumiy o'lchovi" ni topish.

Tavsif
Butun sonlar uchun Evklid algoritmi

Bo'linmoq A (\\ displeysty a) va B (\\ displeystle b) - bir vaqtning o'zida nol va raqamlarning ketma-ketligi teng bo'lmagan sonlar

A\u003e B\u003e R 1\u003e R 2\u003e R 4\u003e R 4\u003e R_ (1)\u003e R_ (2)\u003e R_ (3)\u003e R_ (3)\u003e R_ (4)\u003e R_ (4)\u003e Nuqta \\\u003e r_ (n))

har biri bilan belgilanadi R k (\\ displey r_ (k)) - Bu asosiy raqamni avvalgilarga bo'lishning sari muvozanat va so'nggi maqsadga to'g'ri keladi, ya'ni:

A \u003d b Q 0 + R 1, (\\ displstle a \u003d BQ_ (0) + R_ (1),) B \u003d R 1 Q 1-+ R 2, (\\ displstle b \u003d r_ (1) (1) + R_ (2),) R 1 \u003d R 2 Q 2-Q 3, (1) \u003d R_ (2) q_ (2) + R_ (3),) ⋯ (\\ displeystle \\ cdots) R K - 2 \u003d R K - 1 Q K - 1 + R K, (K-2) \u003d R_ (K - 1) (K - 1) + R_ (K),) ⋯ (\\ displeystle \\ cdots) R n - 2 \u003d r n - 1 Q N - R_ (n-2) \u003d r_ (n - 1) + r_ (n),) R n - 1 \u003d r n q n. (\\ Displeystle r_ (n - 1) \u003d r_ (n) q_ (n).)

Keyin tugun ( a., b.), eng katta umumiy bo'luvchi a. va b.Qarg'a r. N, oxirgi ketma-ketlikning oxirgi nodavlat notijorati a'zosi.

Mavjudlik shunday r. 1 , r. 2 , ..., r. n, ya'ni qoldiq bilan bo'lishish imkoniyati m. ustida n. Butun uchun m. va butun n. ≠ 0, induktsiya natijasida isbotlangan m..

To'g'rilik Ushbu algoritm quyidagi ikkita bayonotdan amal qiladi:

Bo'linmoq a. = b.⋅savol: + r., keyin tugun (a, b) \u003d tugun (b, r).

Dalil

Tugun ( r., 0) = r. Har qanday nolilik uchun r. (0 yildan boshlab noldan tashqari har qanday butun songa bo'lingan).

Evklida geometrik algoritm
Ikkita kesilgan uzunlik beriladi a. va b.. Kattaroq kesilgan kichikroq va farq bilan olingan kattaroq segmentni almashtirish. Biz segmentlar teng bo'lguncha ushbu operatsiyani takrorlaymiz. Agar bu ro'y bersa, boshlang'ich segmentlar juda mos keladi va olingan oxirgi segment ularning eng katta umumiy o'lchovidir. Agar umumiy o'lchov bo'lmasa, jarayon cheksizdir. Ushbu shaklda algoritmni etkazib beriladigan va qon aylanishiga va hukmdor yordamida amalga oshiriladi.

Misol
Evklidea algoritmini tasvirlash uchun tugunni topish uchun ishlatiladi a. \u003d 1071 I. b. \u003d 462. 1071-dan boshlash uchun 462-sonni o'zgartirmagunimizcha, 462 dan kamrog'iga ega bo'lgunimizcha, biz 462 ikki marta olishimiz kerak ( savol: 0 \u003d 2), qoldiq bilan qolgan 147:

1071 \u003d 2 × 462 + 147.

Keyin, 462 yildan 147-sonni o'zgartirmagunimizcha, 147-dan kam farq qilgunimizcha bir nechta qiymatga ega bo'ling. Biz 147 uch marta olishimiz kerak ( savol: 1 \u003d 3), 21-sonli 21:

462 \u003d 3 × 147 + 21.

Keyin, 147 yildan boshlab 21-sonli qiymatga ega bo'ling, shunda biz 21 yoshdan kam bo'lgunimizcha biz 21 etti marta olishimiz kerak ( savol: 2 \u003d 7), qoldiqsiz qolish:

147 \u003d 7 × 21 + 0.

Shunday qilib, a\u003e b\u003e ketma-ketligi r. 1 > r. 2 > r. 3 > … > r. Ushbu holatda n bunday holatda quyidagicha ko'rinadi:

1071 > 462 > 147 > 21.

So'nggi qoldiq nolga teng bo'lganligi sababli, algoritm 21 raqami va 1071, 462) \u003d 21.

Jadval shaklida quyidagilar bor edi:

Arizalar
Erouchuked algoritm va inqilobi

Formulalar uchun R i (\\ displey r_ (i)) Quyidagicha yozilishi mumkin:

R 1 \u003d a + b (- Q 0) (1) \u003d a + b (-q_ b))) R 2 \u003d b - R 1 Q 1 \u003d A (1-Q 1 Q 0) (2) \u003d b-r_ \u003d 1) \u003d a (-q_ (-q_) 1)) + b (1 + q_ (1) q_ (0))) ⋮ (\\ displeystle \\ vdots) Tugun (a, b) \u003d r n \u003d a s + b t (\\ dossstang (A, B) \u003d R_ (n) \u003d as + bT)

Bu yerda s. va t. butun. Bu eng katta umumiy bo'luvchining bu ifodalanishi loyni qaytarish deb ataladi va s. va t. - Manto koeffitsientlari. Mushakning nisbati Evkmidiya Lemma va arifmetik nazariyani tasdiqlovchi hujjatdir.

Fraksiyalar

Evklid algoridi zanjirli fraktsiyalar bilan juda yaqindan bog'liq. Munosabat a./b. Nuqtai nazarni zanjirli fraktsiya shaklida ruxsat beradi:

a b \u003d [5 Q 0; Q 1, Q 2, ⋯, Q N] (\\ displeystle (A) (B)) \u003d).

Shu bilan birga, so'nggi a'zolarsiz zanjirli fraksiya koeffitsientlarning nisbatiga tengdir t./s.minus belgisi bilan olingan:

[2-savol; Q 1, Q 2, ⋯, Q N - 1] \u003d - Tas (\\ displeystle \u003d - (\\ frac (t))))) ".

Evlididm algoritmini tenglikning ketma-ketligi shaklda qayta yozilishi mumkin:

AB \u003d Q 0 + R 0 \u003d Q 1 R 0 R 0 R 0 R 0 R 0 R 0 R 0 R 0 R 0 R 0 R 0 R 0 R 0 R 0 RK - 1 \u003d QK + RM - 2 R N 1 \u003d q n (\\ displeystle (Anict (A) (B)) & \u003d Q_ (0)) (b)) (b)) \\\\ (\\ frac (b) ) (R_ (0)))) (1) (1) + (R_ (1)) (R_ (0))) (R_ (0))) (R_ (1))) (R_ (1)))) va \u003d Q_ (2) + (r_ (1))) (R_ (1))) \\\\ \\ \\ vdots \\\\ (\\ fracs (r_ 1)) (R_ 1)) )))) & \u003d Q_ (k) + (r_ (k - 1))) (r_ (k - 1))) \\\\ \\ \\ vdots \\\\ (r_)) (r_) (N - 1))) & \u003d q_ (n) \\ oxiri (hizalanmagan))))

Tenglikning o'ng qismidagi oxirgi muddat har doim keyingi tenglamaning chap tomonining teskari qiymatiga teng. Shuning uchun birinchi ikkita tenglamani shaklda birlashtirish mumkin:

AB \u003d Q 0 + 1 Q 1 Q 1 R 0 (\\ FRFAC (0) + (1) (1) + (\\ cfrac (r_) 1)) (R_ (0))))))

Uchinchi tenglikni aniqlashning ifodasini almashtirish uchun ishlatilishi mumkin. r. 1 /r. 0, biz olamiz:

Ab \u003d Q 0 + 1 Q 1 Q 28 Q 2 R 1 (\\ FRESSSTLANBE (B)) \u003d Q_ (1) (1) + (\\ CFRAC (1) (Q_ (2) + (r_ (2)) (R_ (1))))))))

Qoldiqlarning so'nggi munosabatlari r. k K. /r. k K.-1 har doim ketma-ketlikdagi quyidagi tenglikdan va shu sababli oxirgi tenglamaga almashtirilishi mumkin. Natijada zanjirli fraktsiya:

a b \u003d Q 0 + 1 Q 1 Q 28 Q 23 1 1 Q 0 + 1 [Q 0; Q 1, Q 2, ..., Qn] (\\ disserstle (b)) \u003d (0) (1) (1) (1) + (1) + (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) Q_ (2) + (\\ cfrac (1) (\\ ddmos + (1) (1) (N))))) \u003d)

Molinomiyalar uchun Evklid algoritmi
Evklid algoritm va keng ko'lamli evribid algoritmi tabiiy ravishda polinomlar halqasini umumlashtiradi k K.[x.] Bitta o'zgaruvchidan o'zboshimchalik bilan k K.Chunki bu polinomlar uchun qoldiq bilan bo'linishning ishlashi aniqlandi. Evlididiy algoritmni ko'paytirishda, butun sonlar uchun evkid algoridi algoridem (PRS) ning ketma-ketligi natijasida olinadi.

Ring uchun misol Z.[x.]

Con (F) ta'rifga ko'ra, Z [x] dan polinomial f (x) koeffitsientlar koeffitsientlarining tugunini qo'ying - tarkib Molynom. F (x) Bo'limdan (F) bo'linmasidan (F) identifikatori deyiladi ibtidoiy qism Polinomial F (x) primpart (x)) tomonidan belgilanadi. Ushbu ta'riflar ikkita polinomlarning tugunini topish uchun kerak bo'ladi. p 1 (x) va p 2 (x) Ring z [x] ichida. Butun sonlar ustidan polinomlar uchun quyidagilar to'g'ri:

C o n t ((\\ displey statori ()Qing'ir (C Ont (X)), CO NT (p 2 (1)), (P_ (1) (x)), Con (x)) (x)) ,)

P r i m p a r t ((\\ displeystle pripart ()Tugun (P 1 (x), p 2 (x))) \u003d (p_ (1) (x) (x), p_ (2) (x) \\)) \u003d)Tugun (P r i m p a r t (x 1 (x)), p r i p a r t (p 2 (x))). (\\ Displeystle \\ (pri_ (1) (x)), primpart (p_ (2) (x)).).).).

Shunday qilib, ikkita o'zboshimchalik polinomining tugunini qidirish vazifasi ibtidoiy polinomlar tugunini topish vazifasiga qisqartirildi.

Ikki ibtidoiy polinomiyalar p 1 (x) va p 2 (x) dan (x) ning o'lchovi amalga oshirilsin: di (p 1 (x)) \u003d M va di 1 (x) ) \u003d N, m\u003e N. Qoldiqlar bilan polinomiyalar taqsimoti Dividentning yuqori koeffitsiyasining katta koeffitsiyasining aniq bo'linmasligini, qolgan qismi bilan bo'linish mumkin emasligini anglatadi. Shu sababli, psevdododing algoritmi kiritiladi, bu esa, butun sonlar ustidan ko'plab ko'paytmalarga tegishli bo'lgan soxta o'z joniga qasd qilish va psevo kanalni (aviakompaniya) olib borishga imkon beradi.

Soxta modellarda, biz taqqoslashning oldini olishdan oldin, bizdan avvalgi bo'linish kerakligini tushunamiz. P 1 (x) (\\ displeystle p_ (1) (x)) ustida (L c (p 2 (x))) M - N + 1 (LC (\\ displstyle (x))) (m-n + 1))), ya'ni

L c (p 2 (x)) m - n + 1 p 1 (x) \u003d p 2 (x) (x) + R 2 (x), Deg \u2061 (R (x))< deg ⁡ (p 2 (x)) , {\displaystyle lc(p_{2}(x))^{m-n+1}p_{1}(x)=p_{2}(x)q(x)+r_{2}(x),\deg(r(x))<\deg(p_{2}(x)),}

qayerda Q (x) (\\ displeyStle q (x)) va R (x) (\\ displey r (x)) - Shunga ko'ra, soxta qurbongoh va psevdoostat.

Shunday qilib, p 1 (x), p 2 (x) ∈ Z [x] (x) (x) (x) (x) (x) \\ da zh [x]Bundan tashqari Deg \u2061 (p 1) \u003d n 1 ≥ dume (\\ displstle \\ dog '(1) \\ GEEQ \\ DAZ (P_ (2)) \u003d N_ (2) ). Shunda Evklid algoritm quyidagi amallardan iborat:

1. Tarkibning tugunlarini hisoblash:

C: \u003d (\\ displeySty c: \u003d)Tugun (C o n t (p 1), c o n t (p 2)) (Con (P_ (1)), Con (P_ (2))).

2. Ichki qismlarni hisoblash:

P 1 '(x): \u003d p r i m p a r t (p 1 (x)); (\\ Displeystle p_ (1) "(x): \u003d pri_ (1) (x));)

P 2 '(x): \u003d p r i m p a r t (p 2 (x)). (\\ Displeystle p_ (2) "(x): \u003d primpart (p_ (2) (x)).).

3. Mulinomial qoldiqlar ketma-ketligini qurish:

P 1 '(x), (\\ displeystle p_ (1) "(x))

P 2 '(x), (\\ displeystle p_ (2) "(x))

P 3 (x): \u003d x) (x), p 2 '(3)), (X) (x) (x): \u003d x) (x) (x), p_ (2) ) "(x)),)

P 4 (x): \u003d x) (x), p 3 (x)), (X) (x) (x) (x) (x): (p_) (x), p_, p_ (3) (x))),)

P 5 (x): \u003d PEST (X), p 4 (x)), (X) (x) (x): \u003d x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) ),),)

. . . (\\ displeystle ...)

P h (x): \u003d p r e m (p h - 2 (x), p h - 1 (x)). (\\ Displeystle p_ (h) (x): \u003d P_ (H - 2) (x), p_ (H - 1) (x)).).).