Trigonometrik tenglama va tengsizliklarni yechish

Aim.uz

Trigonometrik tenglama va tengsizliklarni yechish.

Reja:

1. 
   Trigonometrik tenglamalarni yechish usullari
   

2. Trigonometrik tengsizliklarni yechish usullari

Noma’lum son faqat trigonometrik funksiyalarning argumenti sifatida qatnashgan tenglama (tengsizlik) trogonometrik tenglama (trigonometrik tengsizlik) deyiladi.

sinx=a, cosx=a, tgx=a, ctgx=a ko’rinishdagi tenglamalar eng sodda trigonometrik tenglamalardir. Bu tenglamada tenglik belgisi bilan almashtirilsa, eng sodda trigonometrik tengsizliklar hosil bo’ladi.Umuman, cosx=a, bunda -1≤a≤1,tenglama 0≤x≤_{ } kesmada faqat bitta ildizga ega. Agar a≥0 bo’lsa, u holda ildiz [0; _{ }] oraliqda joylashadi; agar a<0 bo’lsa ,u holda ildiz [_{ };_{ }] oraliqda joylashadi. Bu ildiz a sonining arcsinusi deb ataladi va arccosa kabi belgilanadi. Shunday qilib, a_{ }[-1;1] sonining arccosinusi deb, kosinusi a teng bo’lgan _{   }(0; _{ }) songa aytiladi: arccosa=_{ }, bunda cos_{ }=a va 0≤_{ }≤_{ }.

cosx=a (bunda _{ }≤1) tenglamaning barcha ildizlari _{ }arccos_{ }+2_{ }n, n_{ }Z formula bilan ifodalanadi. arccos(-a)=_{ }-arccosa formula o’rinli.

1-misol. Sinx=0,5 tenglamani yeching. x=(-1)ⁿarcsina+_{ }n,n_{ }z formulaga ko’ra quyidagiga egamiz: x=(-1)ⁿarcsin0,5+_{ }n,n_{ }z

2-misol. cos3x=_{ } tenglamani yeching.

Yechish: _{ }arccos_{ }+2_{ }n, n_{ }Z formuladan foydalanib, quyidagiga ega bo’lamiz:

3x=_{ } x=_{ }

Trigonometrik tenglamalarni yechishdan oldin uning aniqlanish sihasini topish kerak. So’ngra tenglamaning aniqlanish sohasida teng kuchli tenglamalar haqidagi teoremalardan va shakl almashtirishlardan foydalanib berilgan tenglamani bir yoki bir necha eng sodda trigonometrik tenglamalarga keltiriladi. Bu sodda tenglamalar yechilib, topilgan yechimlarning qaysi biri berilgan tenglamaning yechimi ekanligi aniqlanadi.

1. 
   Kvadrat tenglamaga keltirib yechiladigan tenglamalar, ya’ni
   

_{ } yoki

_{ }

4sin²x-3sinx-1=0 tenglamani yeching.

Bu tenglama sinx ga nisbatan kvadrat tenglama. sinx=y deb olib, 4y²-3y-1=0 tenglamani hosil qilamiz. Uning ildizlari _{ }

sinx=_{ }tenglama _{ }

sinx =1 tenglama _{ }ildizlarga ega.

2. 
   Ko’paytuvchilarga ajratish usuli.
   

sin5x-cos3x=sinx tenglamani yeching

(sin5x-sinx)-cos3x=0

2sin2xcos3x-cos3x=0

cos3x(2sin2x-1)=0

berilgan tenglama quyidagi ikkita tenglamaga ajraladi, ularni yechamiz :

1) _{ }

2) _{ }

3. To’ldiruvchi burchak kiritish usuli.

_{ } tenglamani yeching.

Tenglamaning har ikkala qismini ikkiga bo’lamiz : _{ }

Agar _{ } ekanini e’tiborga olsak, berilgan tenglama _{ } ko’rinishni oladi. Bu tenglamani yechamiz x+30⁰=(-1)ⁿ30⁰+180⁰n, n=2k va n=2k+1 desak, x=360⁰k va x=120⁰(3k+1) yechimlarni olamiz.

Ushbu sinx >a, cosx>a, tgx>a, ctgx>a, sinx ≤ a, cosx ≤a, tgx≤a, ctg≤a ko’rinishdagi tengsizliklarni eng sodda trigonometrik tengsizliklar deyiladi. Murakkab tengsizliklarni yechish bu sodda tengsizliklardan birini yechishga keltiriladi.

Tengsizlikning ko’rinishi	Tengsizlikning yechimlari to’plami
sinx>a	 
sinx	 
cosx.>a	 
cosx	 
tg>a	 
tg	 
ctgx>a	 
ctgx	 
	 

2sin²x-7sinx+3 > 0 tengsizlikni yeching

2y²-7y+3 > 0 ; <sub> 

 </sub> tengsizlikning yechimi bo’ladi.

_{ } tengsizlikni yeching

Berilgan tengsizlikdan _{ } tengsizliklarni olamiz. Birinchi tengsizlikning yechimlari to’plami : _{ }

Ikkinchi tengsizlikning yechimlari to’plami : _{ }.