Trigonometrik funksiyalarni integrallash

Aim.uz

Trigonometrik funksiyalarni integrallash
Trigonometrik funksiyalar qatnashgan integrallar quyidagi ko’rinishlarda bo’lishi mumkin:
I. ; ;

Bu yerda m va n lar haqiqiy sonlar

II.

III. ,

IV.

V.

VI.

Bu integrallarning har biriga alohida -alohida to’xtalamiz.

I. ; ; ko’rinishdagi integrallar trigonometrik funksiyalar ko’paytmasini yig’indiga almashtirish formulalari yordamida integrallanadi.

Ular:

.

II. ko’rinishdagi integrallarda quyidagicha hollar bo’lishi mumkin:

1-hol. Sinusning daraja ko’rsatkichi m toq musbat son, ya’ni m=2k+1. Bu holda integral ostidagi ifoda quyidagicha o’zgartiriladi.

bo’lganligi uchun integral ostidagi ifoda

ko’rinishga keladi.

Agar bu yerda deb olsak, u holda bo’lib, integral ostidagi ifoda ko’rinishga keladi va integral darajali funksiyalar yig’indisini integrallashdan iborat bo’ladi.

2-hol. Kosinusning daraja ko’rsatkichi n toq manfiy son, ya’ni n= 2k+1 bo’lsin. U holda



bo’lib, integral ostidagi ifoda

ko’rinishiga keladi. Agar deb olsak, u holda bo’ladi va berilgan integral ko’rinishga kelib, u yana darajali funksiyalar yig’indisining integralidan iborat bo’ladi.

3- hol. Sinus va kosinuslar daraja ko’rsatkichlari yig’indisi juft manfiy son, ya’ni

()

Bu holda integral ostidagi ifoda ikki xil ko’rinishga ega bo’ladi:

1) Integral ostidagi funksiya kasr bo’lib, uning surati sinusning darajasidan, maxraji esa kosinusning darajasidan yoki aksincha bo’lib, ularning daraja ko’rsatkichlari bir vaqtda juft yoki toq.

m+n manfiy bo’lganligidan maxrajning daraja ko’rsatkichi suratning daraja ko’rsatkichidan katta ekanligi kelib chiqadi.

2) Integral ostidagi funksiya surati o’zgarmas sondan, maxraji esa daraja ko’rsatkichlari bir xil (juft yoki toq) bo’lgan sinus va kosinusning ko’paytmasidan iborat.

Qaralayotgan holda yoki almashtirish yordamida berilgan integral ko’phad yoki yangi o’zgaruvchi ning butun manfiy ko’rsatkichli daraja yig’indisini integralidan iborat bo’ladi. almashtirish qilinganda

, ,

hosil bo’lishini, agar almashtirish qilinsa

, ,

lar hosil bo’lishini nazarda tutamiz.

4-hol. Sinus va kosinuslar daraja ko’rsatkichlari yig’ndisi nolga teng. Bunda m va n lar butun sonlar deb qaraladi.

Bu holda, integral ostidagi ifoda

yoki

ko’rinishda bo’ladi. Agar bo’lsa, berilgan integral ko’rinishga, agar bo’lsa ko’rinishga keladi. Bu integrallarning birinchisini , almashtish bilan, ikkinchisini esa almashtish bilan hisoblanadi.

III. (n butun musbat son) ko’rinishdagi integrallar va formulalar yordamida soddaroq integrallarga keltiriladi va hisoblanadi.

IV. (m va n lar butun musbat sonlar) ko’rinishdagi integrallarni hisoblashda ham va formulalardan foydalaniladi. Ba’zi hollarda bu formulalar bir necha marta qo’llanilishi mumkin.

V. integral sinus va cosinusning ratsional funfsiyasini integralidan iborat bo’lib, u universal almashtirish deb ataluvchi

almashtirish yordamida integrallanadi. Bunda biz har qanday trigonometrik funksiya orqali ratsional ifodalanishini nazarda tutamiz. Ya’ni,

bo'lib, universal almashtirish natijasida

bo'lishiga ishonch hosil qilamiz.

VI. integral , almashtirish yordamida integralga keltirladi. integral esa , almashtirish yordamida integralga keltiriladi.

Mavzuga doir yechimlari bilan berilgan topshiriqlardan namunalar

1. integral hisoblansin.

Yechish: Berilgan integralni hisoblash uchun ko’paytmani yig’indi bilan almashtiramiz.

2. integral hisoblansin.

Yechish: Berilgan integralni hisoblash uchun ni yig’indi bilan almashtiramiz.

3. integral hisoblansin.

Yechish: Berilgan integralni hisoblash uchun ni yig’indiga aymashtiramiz.

4. integral hisoblansin.

Yechish:

bo’lganligi uchun

=

5. integral hisoblansin.

Yechish:

bo’lgani uchun

6. integral hisoblansin.

Yechish: bo'lgani uchun



.

7. integral hisoblansin.

Yechish: Bu yerda juft manfiy son. almashtirish qilamiz. U holda, .

Bularni berilgan integralga qo’yamiz :

8. integral hisoblansin.

Yechish: almashtirish qilamiz. U holda

9. integral hisoblansin.

Yechish: almashtirish qilamiz. U holda va bo’ladi. Bularni berilgan integralga qo’yamiz:

10. integral hisoblansin.

Yechish:

Shuning uchun

11. integral hisoblansin.

Yechish:

Demak,

12. integral hisoblansin.

Yechish:

Shuning uchun

13. integral hisoblansin.

Yechish: Berilgan integral ko’rinishdagi integraldir. Uni hisoblash uchun almashtirish qilamiz. U holda bo’ladi. Shuning uchun,

14. integral hisoblansin.

Yechish : Bu integral ko’rinishdagi integraldir.

Uni hisoblash uchun almashtirish qilamiz.U holda

Mustaqil yechish uchun topshiriqlar:

1. Quyidagi integrallar hisoblansin:

4)

5) 6)

Javob : 1)
3)
5)
6)

2. Quyidagi itegrallar hisoblansin:

1) 2) 3)
5) 6)

Javob : 1) - 2)

3)
4)
5) 6)
3. Quyidagi intgrallar hisoblansin:

1) 2) 3) 4)

Javob: 1)

2) 3)

4).

4. Quyidagi integrallar hisoblansin:

1) 2) 3) 4)

Javob : 1) 2)

3)4)

5. Quyidagi integrallar hisoblansin:

1) 2) 3) 4)

Javob : 1)

2)

3)

4)

6. Quyidagi integrallar hisoblansin:

1) 2)

3) 4)

Javob : 1) 2)

3)

4)

7. Quyidagi integrallarni hisoblang.

1); 2);

Javob: 1) - ;

2)

Aim.uz