Trigоnоmetrik funksiyalarni integrallash

Trigоnоmetrik funksiyalarni integrallash
ko’rinishidagi integral berilgan bo’lsin bu integral almashtirish yordami bilan integrallanadi, sinx va cosx funksiyalar t bilan ifodalaymiz:


so’ngra , shunday qilib bilan ratsional ifodalanadi.
Natijada integralga kelamiz
misol-1 ushbu ko’rilgan almashtirish ko’rinishidagi xar qanday funksiyani integrallash uchun imkon beradi shuning uchun uni bazan “universal triginometrik almashtirish” deb aytiladi lekin bu almashtirish ko’pincha ancha murakkab ratsional funksiyaga olib keladi shuning uchun “universal” almashtirish bilan bir qatorda bazi xollar uchun maqsadga tez olib keladigan boshqa almashtirishlarni ham bilish foydalidir
2⁰1) agar integral Ko’rinishida bo’lsa u holda lmashtirish bu integralni ko’rinishiga olib keladi,
2) ko’rinishida bo’lsa u holda lmashtirish yordamida bu integral ratsional funksiyaga keltiriladi
Misol-1


3) agar integral ostidagi funksiya faqat bog’liq bo’lsa u holda
almashtitish yordamida bu integral ratsiopnal funksiyanig integraliga keltiriladi:

4) Agar integral ostidagi funksiya o’rinishida bo’sa ammo faqat juft darajalarga kirsa, u holda lmashtirish tadbiq etiladi chunki ratsional ifodalanadi:

Misol-2

Mustaqil yechish uchun misollar

5. ko’rinishidagi integralni integral ostidagi

ko’paytama turgan integralni qaraymiz (m,n-butun sonlar) Bunda uch xolni qaraymiz
A) integralda m va n dan kamida bittasi toq son. Aniqlik uchun n toq son deb faras qilamiz n=2p+1

o’zgaruvchini alamashtiramiz:
, ya’ni o’zgaruvchini berilgan integralga qo’yamiz:
bu esa t ratsional funksiyasining integralidir
misol-1

misol-2


mustaqil yechish uchun misollar

B)
Integralda m va n manfiy bo’lmagan juft son m=2p, n=2q deb faras qilamiz triganametriyadan ,
Ma’lum funksiyalarni yozamiz
Bularni belgilangan integralga qo’yamiz
darajaga ko’tarib qavslarni ochib,juft va toq son darajalarini o’z ichiga olgan xodisalarni xosil qilamiz toq darajali xadlar a) holda ko’rsatilgan integrallanadi darajalarni juft ko’rsatgichlarni formulalar bo’yicha yana darajasini pasaytirib integrallaymiz daraja ko’rsatgichlarini pasaytirishni osson integrallanadigan ko’rinishidagi xadlar xosil bo’lgunuicha shunday davom ettiramiz
misol-1

misol-2

mustaqil yechish uchun misollar
Ko’rinishidagi integrallarni qaraymiz.
Bular quyidagi formulalar yordamida hisoblanadi bularni integrallariga qo’yib integrallaymiz Qolgan ikki integral xam shunga o’xshash xisoblanadi (



Misol-1
Misol-2
Misol-3
Mustaqil yechish uchun misollar

1. 
   
   
2. 
   ;
   

Ba’zi irratsional funksiyalarni integrallash
Irratsional funksiyalarni integralashda mos almashtirishlar yordamida ratsional funksialarni integaralshada keltiriladi.

Ko’rinishidagi integralni qaraymiz, bunda o’z argumentiga nisbatan ratsional funksiya. kasrlarni umumiy maxrakji bo’lsin. alamashtirish bajaramiz. Bu holda ning xar biri kasrli darajasi ning butun darajasi bilan ifoda etiladi. Demak integral ostidagi funksiya t ning ratsional funksiyasiga aylanadi

1. 
   Misol Yechish: ½ , ¾ kasrlarni umumiy maxraji 4 bo’ladi shuning uchun
   

almashtirishni bajaramiz, u holda

2- Misol

Yechish: kasrlarning umumiy maxraji 12 bo’ladi shuning uchun almashtirishni bajaramiz u holda
Mustaqil yechish uchun misollar

ko’rinishidagi integralni qaraymiz, bu integralda almashtirish yordamida ratsional funksiyaning integraliga keltiriladi, bunda k bilan kasrning umumiy maxraji belgilangan
Misol-1 Bu integralga lmashtirish bajaramiz


Misol-2
Bu integralda lmashtirish bajaramiz.

Mustaqil yechish uchun misollar
1
ko’rinishidagi integralni qaraymiz bunday integralda lamashtirish bajaramiz natijada ratsiona funksiyaning integrallashga keltirib integrallanadi
Misol-1
Misol-2
Mustaqil yechish uchun misollar
Irratsional funksiyalarni trigonometric almashtirishlar yordamida integralash

Ildiz ostidagi uch xadni o’zgartirib yozamiz

Faras qilib o’zgaruvchini almashtiramiz

Mumkin bo’lgan barcha xollarni qaraymiz
Belgilashlarni kiritamiz Bu holda
bo’ladi.
o’lsin bu xolada demak
o’lsin bu holda Ifoda x ning barcha qiymatlarida kompleks sondir.
Shunday qilib (1) integral quyidagi integrallar tiplarining biriga keltiriladi



(1,1) integral
(1,2) integral ,
(1,3) integral lmashtirishlar yordamida integrallanadi
Misol-1
Misol-2
Misol-3.
Misol-4