Треугольника паскаля и его обобщения

1.Треугольник паскаля и его свойства
Одной из самых известных таблиц в истории математики является так называемый “арифметический треугольник” названный треугольником Паскаля в часть выдающегося французкий математик и философа XVII века Блеза Паскаля (1623-1662) результаты своих исследований Паскаля изложил в трактате “Traite du triangle arithmetique”, опубликованном после смерти автора Паскал обобщил известные и привел много новых свойств треугольника, которые сформулированы в девятнадцати теоремах.
Различные свойства чисел, образующих арифметический треугольник, Паскаля выписал в общем виде, без алгебраической записи результатов. С арифметическими и теоретико – вероятностными исследованиями Паскаля непосредственно связаны некоторые принципиально важные его открытия: метод полной математической индукции, применение арифметического треугольника к задачам теории вероятностей и др.
Исследования треугольника Паскаля и биномиальных коэффициентов в связи с вознакновением и развитием комбинаторного анализа связаны с именами Лейбница, Бернулли, Эйлера, Люка, Лежандра и др.выдающихся математиков XVIII вв.
Интерес к треугольника Паскаля не ослабевает и в нашем веки. Это связано с открытием новых и часто неожиданных свойств, относящихся к проблемам делимости и распределения его элементов по модулю , построению и изучению фракталей и графов, а также с приложениями к различным практическим задачам.
Мы знаем, что треугольник Паскаля часто выписывают в виде равнобедренного треуг.

…………………………………………………………………………….

Строка с номером состоит из коэффициентов разложения бинома , которые здесь будем обозначать их символам , введенным ещё Эйлером вместо обозначения , появивщеюся в XIX в.

2.Биномиальные коэффициенты и их обобщения
Как известно, элементами треугольника Паскаля является биномиальные коэффициенты, которые были известны ещё до появиня треугольника Паскаля. Однако первым их начат применять и для определения Паскаль.
Биномиальные коэффициенты являются простейшими комбинаторными объектами, определяющими число различных сочетаний из элементов по биномиальные коэффициенты можно получить путем разложения производящем функции, являющейся степенью бинома:
(1.1)
где 1, 2, –, .
Биномиальные коэффициенты удовлетворяют рекуррентному соотношению
. (1.2)
а также простейшим равенствам

(1.3)
, . (1.4)
В ХХ веке между биномиальными коэффициентами установлены новые соотношения. Приведем некоторые из них:
1. M.Boskarol, для неотри уательных целых и получил тождество

2. H.Scheid показал, что число различных простых множителей в биномиальном коэффициенте больше если 2< .
Биномиальные коэффициенты, их тождества и ражличные соотношения играют важную роль при решении многих задач математики, механики и физики. Это послужило основанием для всевозможных обобщений биномиальных коэффициентов. Обобщенные биномиальные коэффициент и S-го порядка , и полиномиальные коэффициенты будем подробно исследовать дальше. Некоторые на обобщений рассмотрим здесь:
;
Для итерированных биномиальных коэффициентов при конкретных значениях , установливаются различные тождества, неравенства, формулы преобразований, асимптотические и другие формулы и соотношения.
3. Гауссовы биномиальные коэффициенты, которые часто называют биномиальными коэффициентами, определяются так :
(1.5)
(1.6)
Где неотриуательные целые числа, действительное число. Известно, что биномиальные коэффициенты входят в разложение.
, (1.7) из которого следует, что биномиальные коэффициенты представляют собой полиномы относительно при обращаются в обычные биномиальные коэффициенты коэффициенты удовлетворяют реккурентному уравнению , . (1.8)