Toshloq tumani

Aniq integralni integrallash usullari 
1. O‗zgaruvchini almashtirish usuli. 

---

Toshloq tumani 
Agar 
y=f(h)
  funktsiya 
[a,b]
  da  uzluksiz  bѝlib 
h=

(t)  [

,

]
  da  bir  qiymatli  va 
uzluksiz  ћamda 

(

)=a, 

(

)=b
  bo‗lsa,  u  ћоlda 
f(

(t))
  funktsiya 
[a,b]
  da  uzluksiz 
bo‗lib 
dt
t
t
f
dx
x
f
b
a







))
(
'
))(
(
(
)
(
 
fоrmula o‗rinli bo‗ladi. 
2. Aniq integralni bo‗laklab integrallash. 
   Agar 
u
 va v funktsiyalar 
[a,b]
 da differentsiallanuvchi bo‗lsa 
                                   
vdu
uv
udv
b
a
b
a



|
 
fоrmula o‗rinli bo‗ladi.
 
3. Mustahkamlash.  
1-misоl 






















2
1
2
1
3
2
1
3
2
1
6
7
2
1
4
2
1
2
6
7
4
2
|
3
6
|
3
4
8
6
4
8
6
4
x
x
dx
x
dx
x
dx
x
dx
x
x
x
 








































8
7
2
3
7
4
1
1
2
1
48
1
1
2
1
2
3
1
3
2
4
|
6
1
8
6
6
3
3
3
3
2
1
6
1
x
 
6
6
6
6
6
6
2
6
6
6
2
)
2
1
(
48
12
5
7
2
)
2
1
(
48
12
89
2
)
2
1
(
48
12
89
2
)
2
1
(
48
4
7
3
28
2
2
1
48




















 

 
2-misоl. 



3
3
2
9
xdx
x
 ni hisоblang 
 
Yechish: Bu aniq integralni hisоblash uchun 
h=3cоs

 almashtirish bajaramiz, u 
hоlda 
h=–3
   da 
 

=

 




sin
3
cos
9
9
)
cos
3
(
9
9
0
3
2
2
2








x
ва
да
x
 
dh=–3sin

 d

  
bo‗ladi.   Demak,  












0
2
2
0
2
3
3
2
cos
sin
81
sin
)
3
(
sin
3
cos
9
9









d
d
xdx
x
 



















0
2
0
2
0
2
2
2
sin
4
81
)
cos
sin
2
(
4
81
cos
sin
81
d
d
d
 

















0
0
0
0
|
4
sin
4
1
8
81
|
4
81
cos
8
81
8
81
d
d
 



8
81
0
4
sin
32
81
4
sin
32
81
0
4
81
4
81







 
      
4. Darsni yakunlash. 
       5. Uyga vazifa: test yechish tematik axborotnomalardan
 
Tayyorladi:          _________________________ 
Tekshirdi: O‘TIBDO‗ :   __________ _________________________   
  ―_____‖____  201  y. 

---

Toshloq tumani 
Sana:_____________ 
64-mashg‘ulot 
Dars mavzusi
.     
 Integralning ba'zi  tatbiqlari.
 
Dars maqsadlari
:   o‗quvchilarga integralning ba'zi  tatbiqlarini o‗rgatish, ularning fanga 
qiziqishlarini oshirish.                           
Darsning  borishi
: 
      
1. Tashkiliy qism. 
      2. Integralning ba'zi  tatbiqlari. 
1)
 
Faraz qilaylik, f(h) funksiya 


b
a
,
kesmada uzluksiz va musbat funksiya bo‗lsin. 
U holda mos egri chiziqli trapetsiyaning yuzi 
)
(
)
(
|
)
(
)
(
a
F
b
F
x
F
dx
x
f
S
b
a
b
a





formula 
yordamida hisoblanadi. 
2)
 
Agar 


b
a
,
kesmada f(h)‹0 bo‗lsa, mos egri chiziqning yuzini hisoblash uchun 



a
b
dx
x
f
S
)
(
 formula yordamida hisoblanadi. 
3)
 
Faraz  qilaylik  f(h)  funksiya 


b
a
,
kesmada  uzluksiz  bo‗lib,  musbat  va  manfiy 
qiymatlarni  qabul  qilsin.  Bunda 


b
a
,
kesmani  shunday  qismlarga  bo‗lamizki, 
ularning har birida f(h) funksiya o‗z ishorasini o‗zgartirmasin. So‗ngra bu oraliqlarning 
har  birida  egri  chiziqli  trapetsiyalar  yuzlarini  yuqoridagi  formulalardn  mos  keluvchi 
biri 
yordamoda 
hisoblab, 
chiqqan 
natijalarni 
qo‗shamiz: 






b
c
c
a
b
a
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
)
(
)
(
)
(
 
4)
 
Agar  soha  yuqoridan 
)
(
2
2
x
f
y

funksiyz grafigi bilan, chapdan h=a, o‗ngdan =b 
to‗gri  chiziq  kesmalari  pastdan 
)
(
1
1
x
f
y

grafigi  bilan  chegaralangan  bo‗lsa,  yuza 







b
a
b
a
b
a
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
x
f
S
)
(
)
(
)]
(
)
(
[
1
2
1
2
 formula yordamida hisoblanadi. 
5)
 
Agar jismning O o‗qqa perpendikulyar bo‗lgan ko‗ndalang kesimining S(h) yuzi 
ma‘lum bo‗lsa,uning hajmini 


a
b
dx
x
S
V
)
(
 formula yordamida hisoblanadi. 
6)
 
Agar jism yuqoridan y=f(h) uzluksiz (a‹ h‹ b)funksiy grafigining AB yoyi bilan 
chegaralangan  aABb  egri  chiziqli  trapetsiyani  Oh  o‗qi  atrofida  aylantirishdan  hosil 
qilingan bo‗lsa, uning hajmi 
dx
x
f
V
dx
y
V
x
f
y
r
x
S
b
a
x
b
a
x







)
(
;
);
(
)
(
2
2
2
2
2





 formula yordamida 
hisoblanadi. 
7)
 
CcdD  egri  chiziqli  trapetsiyani  Oy  o‗qi  atrofida  aylantirishdan  hosil  bo‗lgan 
jismning 
hajmi 
dy
y
V
dy
x
V
b
a
y
b
a
y




)
(
;
2
2



 
formula 
yordamida 
hisoblanadi.bu yyerda  CD chiziq h=φ(y)   c‹ y‹ d egri chiziq yoyidan iborat. 

---

Toshloq tumani 
8)
 
Agar v(t) to‗gri chiziqli harakat qilayotgan moddiy nuqtaning t vaqt momentidagi 
tezligi  bo‗lsa,  u  holda 


a
b
dt
t
v
X
)
(
;  v(t)  ≥  0  moddiy  nuqtaning  t=a  dan  t=b  gacha 
vaqt oralig‘ida o‗tgan yo‗liga teng.
 
3. Mustahkamlash.  
1-misol. 
2
)
2
(


x
y
; y=0 ;  h=0 chiziqlar bilan chegaralangan yuzani hisoblang. 
Yechish: 
2
)
2
(


x
y
 funksiya grafiga Oh o‗qqa h= -2 nuqtada urinadi. 
3
)
2
(
3
1
)
(



x
x
F
funksiya f(h) ning boshlang‘ich funksiyalaridan biri. Izlanayotgan 
yuz: 

















0
2
3
0
2
3
3
2
3
2
2
3
8
)
2
2
(
)
2
0
(
3
1
)
2
(
3
1
)
2
(
x
dx
x
S
 kv.birlik. 
 
2-misol
. 
x
x
y
2
2


 va y=0 chiziqlar bilan chegaralangan yuzani hisoblang. 
Yechish: 
 
2
;
0
 kesmada 
x
x
y
2
2


≤0, shuning uchun izlanayotgan yuza  




2
0
2
)
2
(
dx
x
x
S
 formula bilan topiladi. 
3
1
1
3
4
3
8
12
4
3
8
)
0
2
(
)
0
2
(
3
1
2
2
3
1
2
2
2
3
3
2
0
2
0
2
0
2
2
0
3
2






















x
x
xdx
dx
x
S
kv. 
birlik. 
3-misol. 
Y=sinh funksiyaning 



2
;
0
 kesmadagi grafigi va O o‗q bilan chegaralangan yuzani 
hisoblang. Bu egri chiziqli trapetsiyaning yuzini 
1
S
 va 
2
S
 yuzalar yig‘indisi 
ko‗rinishida izlaymiz, hЄ
 

;
0
 da sinh >0 ekanligidan 















0
0
1
2
1
)
1
(
0
cos
cos
cos
sin
x
xdx
S
; hЄ
 

;
0
 da sinh≤0 
ekanligidan 
















2
2
2
2
)
1
(
1
cos
2
cos
cos
sin
x
xdx
S
. Demak  
S=
1
S
+
2
S
= 2 + 2 = 4 kv.birlik.