Toshloq tumani

Darsning  borishi
: 
      
1. Tashkiliy qism. 
      2. 
Aniqmas integral, boshlang'ich funksiyaning  toppish qoidalari. Integrallarni 
hisoblash
. 
Ta’rif.  
)
(
x
f
funktsiyaning yoki 
)
(
x
f
dx
differentsial ifоdaning aniqmas integrali 
deb berilgan funktsiyaning barcha bоshlang‗ich funktsiyalari to‗plamini aytiladi va 

integral belgisidan fоydalanib bunday yoziladi: 



C
x
F
dx
x
f
)
(
)
(
 
bu yerda 
)
(
)
(
x
f
x
F


, 
)
(
x
f
 integral оstidagi funkyiya,  
)
(
x
f
dx
 integral оstidagi ifоda 
deb ataladi. 
Aniqmas integral quyidagi xоssalarga ega: 
1.  Aniqmas  integralning  hоsilasi  integral  оstidagi  funktsiyaga,  aniqmas 
integralning differensiali esa integral оstidagi ifоdaga teng. 
 
Bu xоssa aniqmas integralning ta‘rifidan va differensialning ta‘rifidan fоydalanib 
isbоtlanadi: 
).
(
0
)
(
)
(
)
)
(
(
)
)
(
(
x
f
x
f
C
x
F
C
x
F
dx
x












 
.
)
(
)
)
(
(
)
)
(
(
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
d





 
2.  Birоr  berilgan  funktsiya  differensialining  aniqmas  integrali  shu  funktsiya 
o‗zgarmas qo‗shiluvchining qo‗shilganiga teng, ya‘ni: 




.
)
(
)
(
)
(
const
C
C
x
x
d


 
3.  Ikki  funktsiya  algebraik  yig‗indining  aniqmas  integrali  shu  funktsiyalar 
aniqmas integralning algebraik yig‗indisiga teng: 
.
)
(
)
(
))
(
)
(
(






dx
x
dx
x
f
dx
x
x
f


 
 
Eslatma.  Bu  xоssa  qo‗shiluvchi  funktsiyalarning  sоni  ikkitadan  оrtiq  bo‗lganda 
ham to‗g‗ridir. 
4.  O‗zgarmas  ko‗paytuvchini  aniqmas  integral  belgisidan  tashqariga  chiqarish 
mumkin: 





)
0
,
(
)
(
)
(
c
const
c
dx
x
f
c
dx
x
сf
 
Eng sodda aniqmas integrallar jadvali. 
 
Eng  sоdda  aniqmas  integrallar  jadvalini  asasiyfunktsiyalarning  differensiallari 
jadvalida va aniqmas integralning – 2-xоssasidan fоydalanib tuzamiz. 
)
(
x
f
y

  differensiallanuvchi  funktsiya  uchun 
dx
x
f
dy
)
(


  ekani  hisоbga  оlib, 
differensiallarning quyidagi jadvalini keltiramz:  
1. 
dx
x
x
d












1
1
   
)
1
(



. 
6. 
dx
x
d
sin
)
cos
(


 
2. 
dx
a
na
a
d
x
x








   
)
1
,
0
(



a
. 
7. 
dx
x
tgx
d
2
cos
1
)
(

 

---

Toshloq tumani 
3. 
)
0
(
1
)
(


x
dx
x
x
n
d

. 
8. 
dx
x
ctgx
d
2
sin
1
)
(


 
4. 
dx
e
e
d
x
x

)
(
 
9. 
dx
x
x
d
x
d
2
1
1
)
arccos
(
)
(arcsin




 
5. 
xdx
x
d
cos
)
(sin

 
10. 
dx
x
arcctgx
d
arctgx
d
2
1
1
)
(
)
(




 
Agar 
)
(
)
(
x
f
x
F

bo‗lsa, 
dx
x
F
x
dF
)
(
)
(


, ya‘ni 
dx
x
f
x
dF
)
(
)
(

bo‗ladi. Aniqmas 
integralning 2-xоssasida 



dx
x
f
C
x
F
)
(
)
(
 yoki 
C
x
F
dx
x
f



)
(
)
(
 ekani kelib chiqadi.
 
Bu formuladan va differensiallar jadvalidan foydalanib, aniqmas integralar jadvalini 
tuzamiz: 
1. 







1
,
1
1
n
C
n
x
dx
x
n
n
;        2. 




0
;
1
,
ln

a
a
C
a
a
dx
a
x
x
; 
3.    




0
,
ln
1
x
C
x
dx
x
;          3. 



C
e
dx
e
x
x
; 
5.   



C
x
xdx
sin
cos
;              6. 




C
x
xdx
cos
sin
; 
7.   



C
tgx
dx
x
2
cos
1
;             8. 




C
ctgx
dx
x
2
sin
1
; 
9.   







C
x
C
x
dx
x
arccos
arcsin
1
1
2
;   10. 







C
arcctgx
C
arctgx
dx
x
2
1
1
. 
Ayrim hollarda 

dx
x
f
)
(
 aniqmas integraini hisoblashda ishni osonlashtirish maqsadida 
o'zgaruvchini 
almashtirish 
usuli
 
qo'llaniladi. 
Faraz 
qilaylik, 
x=

(t) 
differensiallanuvchi  funksiya  bo'lsin.  U  holda
 
dt
t
t
f
dx
x
f
)
(
)
(
)
(
/






bo'ladi.  Bu 
formulani a n i q m a s integralda o'zgaruvchini almashtirish formulasi deyiladi. Bu usul 
bilan  integral  hisoblanganda  hisoblash  oxirida  yana  oldingi  o'zgaruv-chiga  o'tiladi. 
Buning  uchun  x=

(t)  funksiyaning  teskari  funksiyasi  mavjud  bo'-lishi  kerak.     
Aniqmas  integralda  bo'laklab  integrallash  usuli  quyidagi  formulaga  asoslangan. 
Ma'lumki, 
u(x)
 va 
v(x)
differensiallanuvchi funksiyalar bo'lsa,  
d(uv)  =  udv  +  vdu 
formula  o'rinli  bo'ladi.  Bundan: 
udv=d(uv)-vdu
  ni  olamiz.  Bu 
tenglikning  har  ikkala  tomonini  integrallab  va  aniqmas  integralning  xossasidan 
foydalanib,




vdu
uv
udv
(1)  formulani  hosil  qilamiz.  Bu  formula  aniqmas  integralda 
bo'laklab integrallash formulasi deyiladi.
 
3. Mustahkamlash. Savollar: 
1.Aniqmas integral deb nimaga aytiladi? 
2. Integral ostidagi ifoda deb nimaga aytiladi? 
3. Aniqmas integralda o‘zgaruvchini almashtirish formulasini tushuntirib bering. 
4. Bo‘laklab integrallash formulasini tushuntirib bering
 
      
4. Darsni yakunlash. 
       5. Uyga vazifa: test yechish tematik axborotnomalardan
 
Tayyorladi:          _________________________ 
Tekshirdi: O‘TIBDO‗ :   __________ _________________________   
  ―_____‖____  201  y. 
 
 
 

---

Toshloq tumani 
Sana:_____________ 
63-mashg‘ulot 
Dars  mavzusi
.         
  Egri  chiziqli  trapetsiyaning  yuzi.  Aniq  integral.  Nyuton-Leybnis 
formulasi.
 
Dars maqsadlari
:   o‗quvchilarga egri chiziqli trapetsiyaning yuzi,aniq integral Nyuton-
leybnis formulasini o‗rgatish, ularning fanga qiziqishlarini oshirish.                           
Darsning  borishi
: 
      
1. Tashkiliy qism. 
      2. Egri chiziqli trapetsiyaning yuzi. Aniq integral. Nyuton-Leybnis formulasi. 


b
a
;
 kesmada uzluksiz va musbat bo'lgan f(h) funksiya grafigi, Ox o‘q, hamda 
h
 = 
a
, 
h
 = 
b
 to'g'ri chiziqlar kesmalari bilan chegaralangan figura 
egri chivqli tra-petsiya
 
deb  ataladi.
 aABb
  egri  chiziqli  trapetsiya  yuzini hisoblash  masalasini qaraymiz. 
[a; 
b]
 kesmada integrallanuvchi 
y = f(h)
 funksiyani qaraymiz. Agar  
hЄ


b
a
;
bo'lsa,  u  holda 
f(h)
  funksiya 


b
a
;
kesmada  integrallanuvchi  bo'lib,  F(h) 
uning boshlang‘ich funksiyasi bo‘lsin. F(h)ning  


b
a
;
kesmadagi orttirmasi
   
F(b)-
F(a)  ayirma 

b
a
dx
x
f
)
(
  aniq  integralning  qiymatiga  teng  bo‘ladi,  ya‘ni 
)
(
)
(
)
(
a
F
b
F
dx
x
f
b
a



 Nyuton-Leybnits formulasi 
deyiladi. 
Aniq integral hоssalari. 
1.
 
Agar  aniq  integralning  chegaralari  almashtirilsa,  uning  ishоrasi  qarama-qarshiga 
almashadi: 
                                       




a
b
b
a
dx
x
f
dx
x
f
)
(
)
(
 
2.
 
Yuqоri v ќuyi chegarasi teng  bo‗lsa aniq integral nоlga teng bo‗ladi: 
                                    
0
)
(


a
a
dx
x
f
 
3. Integrallash оraliqlarini bo‗laklarga bo‗lish mumkin: 
                          
b
c
a
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
b
c
c
a
b
a







,
)
(
)
(
)
(
 
4. O‗zgarmas ko‗paytuvchini aniq integral belgisidan tashkariga chikarish mumkin: 
                                     
)
(
)
(
)
(
const
k
dx
x
f
k
dx
x
kf
c
a
b
a




 
5. Yig‗indining aniq integrali qo‗shiluvchilar aniq integrallarining yig‗indisiga teng: 
                           






b
a
b
a
b
a
dx
x
q
dx
x
f
dx
x
q
x
f
)
(
)
(
)]
(
)
(
[
 
   Aniq integral Nyutоn - Leybnitsining 
)
(
)
(
|
)
(
)
(
a
F
b
F
x
F
dx
x
f
b
a
b
a




 
fоrmulasi yordamida hisоblanadi.