Toshloq tumani

Teskari trigonometrik funksiyalarning asosiy formulalari: 
      
.
1
arccos
2
;
1
arcsin
2
;
1
arcsin
2
arccos
;
1
arccos
2
arcsin
2
2
2
2
x
x
arctgx
arcctgx
x
x
arcctgx
arctgx
x
x
arcctg
x
x
x
x
arctg
x
x




















 
Trigonometrik funksiyalarni  Teskari trigonometrik funksiyalar bilan 
bog’lanish formulalari: 
    
;
1
)
(
;
1
1
)
sin(
;
)
(
;
1
1
)
sin(
;
1
)
(arccos
;
1
)
sin(arccos
;
1
)
(arcsin
;
)
sin(arcsin
2
2
2
2
2
x
arcctgx
tg
x
arcctgx
x
arctgx
tg
x
arctgx
x
x
x
tg
x
x
x
x
x
tg
x
x













 

---

Toshloq tumani 
.
)
(
;
1
)
cos(
;
1
)
(
;
1
1
)
cos(
;
1
)
(arccos
;
)
cos(arccos
;
1
)
(arcsin
;
1
)
cos(arcsin
2
2
2
2
2
x
arcctgx
ctg
x
x
arcctgx
x
arctgx
ctg
x
arctgx
x
x
x
ctg
x
x
x
x
x
ctg
x
x













 
 
Teskari trigonometrik funksiyalarning yig’indisi va ayirmasi: 
.
1
;
1
;
1
;
1
;
1
1
arccos(
)
1
1
arccos(
arccos
arccos
);
1
1
arccos(
arccos
arccos
);
1
1
arcsin(
arcsin
arcsin
);
1
1
arcsin(
arcsin
arcsin
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
y
x
xy
arcctg
arcctgy
arcctgx
y
x
xy
arcctg
arcctgy
arcctgx
xy
y
x
arctg
arctgy
arctgx
xy
y
x
arctg
arctgy
arctgx
y
x
xy
y
x
xy
y
x
y
x
xy
y
x
x
y
y
x
y
x
x
y
y
x
y
x












































 
3. Mustahkamlash. 
Misollar yechiladi 
1. Hisoblang :     sin(агсtg(-
3
) + агсsin(-1) - агсtg 0). 
Yechish
: sin(агсtg(-
3
) + агсsin(-1) - агсtg 0)= sin(
0
)
2
(
3





)= sin(-
6
5

)=            
=-sin
6
5

=-
2
1
 
2. Hisoblang: tg (агсtg(-1) + 2агсtg(-1) + агсtg 
3
1
). 
Yechish.
 tg (агсtg(-1) + 2агсtg(-1) + агсtg 
3
1
)= -tg(
3
4
3
2
4






)= -ctg15
0 
=             
=-ctg(45
0
-30
0
)=
3
2
30
45
30
45
1
0
0
0
0





tg
tg
tg
tg
.  3. Hisoblang: tg ( агссоs(-1/4). 
  
Yechish.
 агссоs(-1) = α bo‘lsin, u holda соs α=-1/4;  demak, 
  
15
4
1
4
15
cos
sin
;
4
15
16
1
1
cos
1
sin
2















tg
  
      
4. Darsni yakunlash. 
       5. Uyga vazifa: test yechish tematik axborotnomalardan
 
Tayyorladi:          _________________________ 
Tekshirdi: O‘TIBDO‗ :   __________ _________________________   
  ―_____‖____  201  y. 
 
 
 
 
 
 
 

---

Toshloq tumani 
Sana:_____________ 
47-mashg‘ulot 
Dars mavzusi
.     
 
Trigonometrik tenglamalarni yechish usullari
.
 
Dars  maqsadlari
:      o‗quvchilarga  trigonometrik  tenglamalarni  yechish  usullarini  
o‗rgatish,  ularning fanga qiziqishlarini oshirish. 
Darsning  borishi
: 
      
1. Tashkiliy qism. 
      2. 
Trigonometrik tenglamalarni yechish usullari
. 
Odatda  trigonometrik  tenglamalarni  yechish  bitta  yoki  bir  nechta  eng  sodda 
trigonometrik tenglamalarni  yechishga keltiriladi. 
sin
ά
  =  m  ko'rinishdagi  eng  sodda  tenglama. 
sinά  =  m  teriglamani  yechish  birlik 
aylanadagi shunday 
B(ά) 
nuqtani topishdan  iboratki,  uning 
y 
= sinά ordinatasi 
m 
ga 
teng  bo'lishi  kerak.  Buning  uchun  gorizontal  diametrga  parallel  bo'lgan 
y=-  m 
to'g'ri  chiziq  bilan  birlik  aylananing  kesishish  nuqtalarini  topish  kerak.  Uch  hol 
bo'lishi mumkin: 
a) agar 
m
> 1 bo'lsa, 
y = m 
to'g'ri chiziq aylanani kesmay, undan yuqori yoki 
quyidan o'tadi (rasm). Demak, bu holda tenglama yechimga ega emas; 
b)  agar 
\m\  = 
1    bo'lsa,  to'g'ri  chiziq  aylanaga  yo  yuqoridagi  B
1
(
2

)
 
nuqtada 
yoki quyidagi 
B
2
(-
2

)
 
nuqtada urinib o'tadi ( rasm). Bu holda tenglama yagona il-
dizga  ega:  ά=
2

  yoki  ά=-
2

. 
Agar  funksiyaning 
T= 
2

 
asosiy  davri  ham  e'tiborga 
olinsa, yechimni 
Z
k
k
Z
k
k







,
2
2
;
,
2
2






ko'rinishda yozish mumkin; 
d) 
\m\ < 
1 bo'lsa, 
y 
= 
m 
to'g'ri chiziq aylanani B
1
(ά
0
) va 
B
2
(π 
- ά
0
) nuqtalarda 
kesadi. Demak, tenglamaning yechimi shu nuqtalarning koordinatalar 
bo'lgan barcha sonlar to'plamlarining birlashmasi bo'ladi. 
Yechimning geometrik tahlilida 
y 
= m to'g'ri chiziq bilan sinusoida-ning kesishish 
nuqtasi haqida ham gapirilishi mumkin. 
2. 
cosά = 
m 
ko'rinishdagi eng sodda tenglama. 
 
Koordinatali  aylanada  olingan  har  qaysi 
B(
ά
) 
nuqtaning  abssissasi  x=cosά  ga  teng. 
Shunga  ko'ra  berilgan  m  bo'yicha  cosά=m  tenglamani  yechish  nuqtaning  x  =  m 
abssissasi  bo'yicha  unga  mos  ά  =  ά
0
  yoy  kattaligini  topishdan  iborat.  Uch  holni 
qaraymiz: 
1- h o 1. 
\m\ > 
1 da x = 
m 
vertikal to'g'ri chiziq aylanani kesmaydi.  Bu holda 
tenglama yechimga ega emas.  
 

---

Toshloq tumani 
2- h o 1. Agar 
\m\ 
= 1 bo'lsa, to'g'ri chiziq aylanani faqat bir nuqtada, ya'ni yo 
,4(1; 0) nuqtada kesadi . 
A 
nuqtaning aylana bo'yicha koordinatasi ά=
2πk, k€Z. 
Shunga ko'ra cosά=1  ning yechimi 
a = 2πk, k€Z 
sonlar to'plami bo'Iadi.  cosά = -1 
ning yechimi ά=π+
2πk 
sonlar to'plami bo'ladi. 
3- h o l .  
\m\ < 
1 bo'lsa, 
x=m 
to'g'ri chiziq aylanani ikki nuqtada kesadi. Ulardan biri B
1
(ά
0
) 
nuqta 0 < ά
0
 < π
 
yuqori yarim aylanada joylashadi.  
1.
tgά 
= 
m 
va ctgά 
= 
m 
ko'rinishdagi eng sodda tenglamalar.  
Koordinatali aylananing har bir 
B(ά) 
nuqtasi  Dekart  koordinatalar  sistemasidagi  biror 
B 
(x, 
y) 
nuqta  bilan ustma-ust  tushishini va  x=  cosά,  y= sinά ekanini bilamiz. Shunga 
ko'ra, noma'lum ά qatnashayotgan tgά 
= m 
tenglamaning yoki 
m



cos
sin
 
tenglamaning barcha yechimiarini koordinatali aylana bilan  
m
x
y

,
 
ya'ni 
y = mx 
to'g'ri 
chiziqning kesishish nuqtalari yordamida aniqlash mumkin. 
m 
ning har qanday qiymatida  
y = mx 
to'g'ri chiziq aylanani 
0 
(0; 0) nuqtaga nisbatan simmetrik bo'lgan 
B
] 
va 
B
2
 
nuqta-
larda kesadi . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ulardan biri 
2
2






  o'ng  yarim  aylanada  yotadi. Bu nuqta  B
1
(ά
1
) bo'lsin. Ikkinchi 
nuqta 
B
2
(a
0
+π) 
bo'Iadi. Demak, tgά = 
m 
tenglamaning barcha yechimlari to'plami ά = ά
0
 + 
2kπ, 
k€Z 
va  ά  =  (ά
0
  +π)+  2kπ, 
k€Z 
sonlar  to'plamlari  birlashmasidan  iborat.  Barcha 
yechimlar ά = ά
0
 + kπ, 
k€Z 
(1) formula bilan aniqlanadi. 
        Tenglamalar 
            chegarasi 
yechimlari 
           
                      sinx=a 
            cosx=a 
            tgx=a 
            ctgx=a 
              
               /a/≤1 
               /a/≤1 
         chegaralanmagan 
         chegaralanmagan 
 
x=(-1)
n 
arcsin a+πn 
x= ± arccos a +2 πn 
x= arctg a + πn 
x=arcctg a + πn 
 
Xususiy hollar
: 
 sinx=0, x= πn ; sinx=1, x=(4n+1)π/2 ; sinx=-1 , x=(4n-1)π/2. 
 cosx=0, x=(2n+1)π/2 ; cosx=1, x=2πn ; cosx=-1, x=(2n+1)π. 
 tgx=0 , x=πn ; tgx=1, x= π/4+ πn ; tgx=o, x=- π/4+ πn. 
 ctgx=0 , x=(2n+1)π/2 ; ctgx=1, x= π/4+ πn ; ctgx=-1, x=3π/4+ πn.
 
3. Mustahkamlash. 
Test yechiladi. 
TESTLAR. 
Xususiy usullar. 
 
 

---

Toshloq tumani 
 
1) Agar tenglama tarkibida har xil trigonometrik funksiyalar qatnashsa, ularni bir ismli 
funksiyaga keltirish, so'ngra almashtirishlarni bajarish kerak. 
2) Chap qismi sinx va cosx ga nisbatan ratsional funksiya bo'lgan R(sinx, cosx) = 
0  tenglama.  Oldingi  bandlarda  ko'rsatib  o'tilganidek, 
u 
va 
v 
ga  nisbatan 
ratsional 
funksiya 
deb,  qiymatlari 
u 
va 
v 
larni  qo'shish,  ko'paytirish  va  bo'lish  orqali  hosil 
bo'ladigan funksiyaga aytiladi. 
R(sinx, 
cosx) = 0 tenglamada: 
a)
 
agar sinx (yoki cosx) faqat juft daraja bilan qatnashayotgan bo'lsa, cosx= 
u 
(mos ravishda sinx = 
u) 
almashtirish bajariladi; 
b)
 
agar bir vaqtda sinx ifoda -sinx ga, cosx esa -cosx ga almashtirilganda R(sinx; 
cosx) funksiya o'zgarmasa, ya'ni R(sinx; cosx) = R(-sinx; -cosx) bo'lsa, tgu = 
z 
almashtirish bajariladi. 
1)
 
R(sinx; cosx) = 0 tenglamaning chap qismi sinus va kosinusga nisbatan bir jinsli 
funksiya, ya'ni, agar sinx va cosx bir vaqtda biror λ
 
ga ko'paytirilsa, tenglamaning 
chap qismi λ
n
 ga ko'paytirilgan bo'ladi:R(λ ,sinx; λ cosx) = λ
n
R(sinx; 
cosx), bunda 
n 
— 
funksiyaning bir jinslilik darajasi, o'zgarmas miqdor. Bu holda tenglikning ikkala 
qismi cos
n
x ga bolinadi va tgx = 
u 
almashtirish bajariladi. Agar  tenglikning barcha 
hadlari  cos
m
xga  bo'linadigan  bo'lsa,  u  holda  cos
M
x  qavsdan  tashqari  chiqarilsa, 
berilgan tenglama ikki tenglamaga ajraladi. 
4) Agar trigonometrik tenglamada x dan boshqa yana 2x, 3x va hokazo 
argumentning ko'p karrali trigonometrik funksiyalari ham qatnashayotgan bo'lsa, 
ular ikkilangan, uchlangan argument trigonometrik funksiyalari yordamida faqat bir 
argumentga bog‘liq trigonometrik funksiya orqali ifodalanishi mumkin.  
5) 
a 
sinx + 
b 
cosx = 
c 
ko'rinishdagi tenglamalarni yechishning engj qulay usuli 
yordamchi burchak kiritish usulidir.Agar 
c = 
0 bo'lsa, yechish usuli bizga tanish 
bo'lgan bir jinsli tenglama hosil bo'ladi. 
6)  Ba'zi trigonometrik tenglamalar chap yoki o'ng tomonini  baholash yo'li 
bilan oson yechiladi. 
7) P(sinx ± cosx, sinxcosx) = 0 ko'rinishdagi tenglamalar (bu yerda 
P 
bilan sinx 
± cosx ga nisbatan ratsional funksiya belgilangan).Bu kabi tenglamalar sinx ± cosx = 
t 
almashtirish yo'li bilan yechiladi.