Funksiyaning limiti haqidagi teoremalar:
1. O’zgarmas
C
y
funksiyaning limiti shu o’zgarmasning o’ziga teng:
c
c
x
x
0
lim
2. O’zgarmas ko’paytuvchini limit ishorasidan tashqariga chiqarish mumkin:
)
(
lim
)]
(
[
lim
0
0
x
f
k
x
kf
x
x
x
x
3. Funksiyalar yig’indisining (ayirmasining) limiti shu funksiyalar limitlarining
yig’indisi (ayirmasiga) teng:
)
(
f
lim
(x)
f
lim
(x)
f
lim
(x)]
f
(x)
f
(x)
[f
lim
n
0
2
0
1
0
n
2
0
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
4.
Funksiyalar ko’paytmasining limiti shu funksiyalar limitlarinng
ko’paytmasiga teng:
)
(
lim
(x)
2
limf
(x)
1
f
lim
(x)]
f
)
2
f(x
)
1
[f(x
lim
0
0
0
n
x
f
n
x
x
x
x
x
x
Natija: Agar
A
(x)
limf
0
x
x
bo’lsa, u holda
n
x
x
A
[f(x)]
lim
0
n
bo’ladi,
0
A
da
/n
1
n
A
f(x)
lim
0
x
x
bo’ladi.
5. Agar bo’luvchi f
2
(x) ning limiti 0 ga teng bo’lmasa, f
1
(x) va f
2
(x)ikki
funksiya nisbatining limiti shu funksiyalar limitlarining nisbatiga teng:
0
0
0
x
x
li m
( x )
1
( x )
1
li m
( x )
li m
( x )
2
2
x
x
x
x
f
f
f
f
Misollar. Quyidagi limitlarni hisoblang
1.
)
5
3
2
(
lim
2
1
x
x
x
6
5
1
3
1
2
5
lim
3
lim
2
lim
)
5
3
2
(
lim
2
1
1
2
1
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
2.
4
2
1
1
2
lim
1
x
limx
x
lim
2)
x
2
(x
lim
1
x
2
1
x
1
x
3.
3
2
/
1
6
/
Sinx
lim
x
lim
Sinx
x
lim
6
x
6
x
6
x
4.
100
1
100
lgx
lim
x
lim
lgx)
(x
lim
10
x
10
x
10
x
2
2
5.
1
1
lim
2
1
x
x
x
2
1
1
)
1
(
lim
'
)
1
(
1
)
1
)(
1
(
lim
1
1
lim
1
1
2
1
x
lamiz
bo
x
mahrajini
surat
kasrning
x
x
x
x
x
x
x
x
6.
6
2
2
lim
6
x
x
x
6
2
2
lim
6
x
x
x
(kasrnisurat mahrajini suratining qo’shmasiga ko’paytiramiz)=
4
1
2
2
6
1
2
2
1
lim
)
2
2
)(
6
(
6
lim
)
2
2
)(
6
(
4
2
lim
)
2
2
)(
6
(
)
2
2
)(
2
2
(
lim
6
6
6
6
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
7.
1
2
3
3
4
2
lim
2
3
3
x
x
x
x
x
3
2
1
2
3
3
4
2
lim
1
2
3
3
4
2
lim
)
'
(
1
2
3
3
4
2
lim
3
3
2
3
3
2
3
3
3
3
3
3
2
3
3
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
linadi
bo
darajasiga
yuqori
eng
ning
x
mahrajini
surat
kasrning
x
x
x
x
x
x
x
Ish sharti.
I -guruh
II - guruh
III - guruh
0
0
ko’rinishidagi
limitga oid 5 ta
misol
ko’rinishidagi
limitga oid 5 ta
misol
Misollar farqi
Amaliy mashg`ulotlar uchun mashqlar.
1.
)
6
7
2
(
lim
2
3
x
x
x
javob: 3
2.
4
6
3
2
5
4
lim
2
2
2
x
x
x
x
x
javob: 2
3.
6
7
12
8
lim
2
2
6
x
x
x
x
x
javob:
5
4
4.
1
1
lim
2
1
z
z
z
javob: -2
5.
2
3
2
3
2
lim
2
2
2
x
x
x
x
x
javob: 5
6.
5
2
1
lim
5
x
x
x
javob:
4
1
7.
2
7
3
lim
2
x
x
x
javob:
6
1
8.
x
x
x
2
2
lim
0
javob:
2
2
1
9.
3
3
9
lim
2
3
x
x
x
javob: - 2
10.
6
2
2
lim
6
x
x
x
javob:
4
1
11.
25
1
2
lim
2
5
x
x
x
javob:
40
1
12.
x
x
x
1
9
1
lim
0
javob: 2
13.
6
2
3
5
3
lim
2
2
x
x
x
x
x
javob:
3
1
14.
9
2
3
12
5
lim
2
2
x
x
x
x
x
javob: - 4
15.
2
3
1
5
lim
x
x
x
x
javob: 0
16.
7
5
1
lim
2
2
x
x
x
x
javob:
5
1
17.
1
2
5
lim
x
x
x
x
javob:
2
5
18.
x
x
x
x
x
2
14
3
1
5
7
lim
2
2
javob:
2
1
19.
2
3
2
lim
2
x
x
x
javob: 0
20.
5
3
1
4
lim
2
x
x
x
x
javob:
3
1
Mustaqil yechish uchun misollar
21.
2
2
2
5
6
li m
.
2
6
2 0
x
x
x
x
x
javob:
22.
2
2
5
3
1 0
li m
.
2
1 5
x
x
x
x
x
javob:
23.
2
2
5
3
1 0
li m
.
2
1 5
x
x
x
x
x
javob:
8
7
24.
2
2
1
2
li m
.
1
x
x
x
x
javob:
2
3
25.
2
2
3
2
3
li m
.
9
1 8
x
x
x
x
x
javob:
3
4
26.
2
2
1
4
5
li m
.
6
7
x
x
x
x
x
javob:
4
3
27.
2
2
1
1 0
5
li m
.
3
2
6
x
x
x
x
x
javob:
11
4
28.
2
2
2
2
li m
.
4
x
x
x
x
javob:
4
3
29.
2
3
9
li m
.
3
x
x
x
javob: - 6
30.
2
2
1
5
6
li m
.
1
x
x
x
x
javob:
2
7
Ba’zi bir muhim limitlar:
1.
1
x
Sinx
lim
0
x
x
yoki
1
Sinx
x
lim
0
x
x
2.
e
/x)
1
(1
lim
x
x
yoki
e
x)
(1
lim
/x
1
0
x
Limitlarning yuqoridagi teoremalardan foydalanib, ba’zi funksiyalar limitlarini
hisoblaymiz:
1.
x
x
x
4
sin
lim
0
x
x
x
x
x
x
4
4
sin
4
lim
4
sin
lim
0
0
(ajoyib limitga ko’ra)
4
1
4
2.
7
7
7
1
1
lim
7
7
1
lim
7
lg
7
1
lim
e
t
t
t
x
x
t
kiritamiz
ilash
be
x
t
t
t
t
x
x
Amaliy mashg`ulotlar uchun mashqlar.
1.
x
x
x
3
sin
lim
0
javob: 3
2.
2
2
0
sin
lim
x
x
x
javob: 1
3.
tgx
x
x
5
sin
lim
0
javob: 5
4.
2
0
3
2
cos
1
lim
x
x
x
javob: 2/3
5.
x
x
x
x
sin
2
2
sin
3
lim
0
javob: 4
6.
3
9
sin
lim
0
x
x
x
javob: 6
7.
x
x
x
x
sin
2
cos
1
lim
0
javob: 2
8.
1
1
7
sin
lim
0
x
x
x
javob: 14
9.
1
2
2
0
2
1
lim
x
x
x
x
javob: e
10.
x
x
x
10
1
lim
0
javob: e
10
11.
x
x
x
x
2
5
lim
javob: e
7
Adabiyotlar
9. Соатов Ё. У. Олий математика икки жилдлик Тошкент “Ўқитувчи”,
1992й
10. Курош А. Г. Олий алгебра курси Тошкент “Ўқитувчи”, 1976й
11. Демидович Б. П., Кудрявцев В.А. Краткий курс высшей математики:
Учеб. пособие для вузов. М.: Астрель,2003.656с.
12. Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа. В 2 т. 7-е изд. М.:
Физматлит, 2002. Т. 1: 416 с; Т. 2: 440 с.
13. Н.Л.Лобацкая «Основы высшей математики» Москва 1978, 1987 год
14. Н.С.Пискунов «Деффиренциал ва интеграл хисоб» I –том. Тошкент
1972 йил.
15. Сборник задач по математики для под ред. А.В.Ефимова. Москва 1984
год.
16. П.Е.Данко и др. «Высшая математика в упражнениях и задачах» 1,2-
часть. Москва 1986 год.
“CHARXPALAK” TЕXNOLOGIYASI.
“CHARXPALAK” tеxnologiyasi talabalarda mantiqni shakllantirishga
imkoniyat yaratadi; xotirani, g’oyalarni, fikrlarni dalillarni bayon qilish
ko’nikmalarini rivojlantiradi.
Bunda talabalar o’zlarining kichik guruhlariga bеrilgan tarqatma
matеriallarida mavzuga oid bir nеchta misollar kеltiradilar. So’ngra bu qog’ozlar
boshqa guruhlar bilan almashtirilib, ular bir – birining xatosini tuzatadilar va
bеlgilangan qog’ozlar bir nеcha marta guruhlarga almashtirilib, yana
boshlang’ich holiga qaytariladi. Guruhlarga o’qituvchi to’g’ri javobni o’qiydi,
talabalar qog’ozlarida to’g’ri javobni bеlgilaydilar va ular o’z baholarini o’zlari
chiqara oladilar.
Funksiya hosilasi
1-misol
2-misol
3-misol
1. Tеskari
funksiya
hosilasi.
2. Asosiy
elеmеntar
funksiya hosilasi.
3. Murakkab funksiya
hosilasi.
4. Oshkormas
funk-
siya hosilasi.
5. Yuqori
tartibli
hosila
“YELPIG’ICH”TEXNOLOGIYASI.
«Yelpig’ich» texnologiyasidan foydalanib, talabalarda:
-ishga ijodiy yondashish;
-muammoga diqqatini jamlay olish,
-murosali qarorlarni topa olish mahoratini oshirish mumkin.
Bu tеxnologiya talabalar tomonidan oson qabul qilinadi, chunki u
o’quvchilar tajribasidan foydalanishni ko’zda tutadi, faol ijodiy izlanish va fikriy
tajriba o’tkazish imkoniyatlariga ega.
4. Funksiyaning hosilasi.
Mashg’ulotni o’tkazish joyi: auditoriya.
Mashg’ulotning jihozlanishi: o’quv uslubiy majmua, ma’ruzalar matni,
tarqatma materiallar, kalkulyator, daftar.
Mashg’ulotning davomiyligi: 80’
Mashg`ulotning maqsadi: Funksiyaning hosilasi. Hosilaning mexanik va
geometric ma`nolari. Hosilaolish qoidalari.Sodda funksiyalarning hosila jadvali
bilan tanishtirish.
Vazifalar: Funksiyaning hosilasi. Hosilaning mexanik va geometric ma`nolari.
Hosila olish qoidalari.Sodda funksiyalarning hosila jadvali bilan tanishtirish.
Talaba bilishi lozim:
Funksiyaning hosilasining ta`rifini.
Hosilaning mexanik va geometric ma`nosini
Hosila olish qoidalari.
Sodda funksiyalarning hosila jadvali.
Talaba bajara olishi lozim: Funksiyaning hosilasini ta`rifini. Hosilaning
mexanik
va
geometric
ma`nolarini.
Hosila
olish
qoidalari.
Sodda
funksiyalarning hosila jadvalini o`rganishlari kerak.
Motivasiya: Miqdorlarni asosiy kattaliklarini o`rganishda hosila tushunchasi
asosiy o`rinni egallaydi. Miqdorni eng katta qiymati, o`sish oralig`I, kamayish
oralig`ini aniqlash jarayonni to`g`ri kechishi haqida ma`lumot beradi.
Fanlararo va fan ichidagi bog`liqlik: Kimyo va fizikadagi turli jarayonlarni
o`rganishda ishlatiladi.
Mashg`ulotning mazmuni: Funksiyaning hosilasi. Hosilaning mexanik va
geometric ma`nolari. Hosila olish qoidalari.
Nazariy qism:
Ta'iif. Agar
)
( x
f
y
funksiyaning
0
x
x
nuqtadagi orttirmasi
y
ning
argument orttirmasi
x
ga nisbatining
x
nolga intilganda chekli limiti
mavjud bo’lsa, bu limit
)
( x
f
funksiyaning
0
x
nuqtadagi hosilasi deb ataladi
va
'
y
yoki
)
(
'
0
x
y
yoki
)
(
'
0
x
f
yoki
dx
dy
yoki
dx
df
ko’rinishlarda belgilanadi.
Demak ta'rifga ko’ra
x
x
f
x
x
f
x
y
x
f
x
x
)
(
)
(
lim
lim
)
(
'
0
0
0
0
0
Misollar.
1. y=f(x)=c=const bo’lsin.
y=f(x+
x)-f(x)=c-c=0 y'=
0
lim
0
x
y
x
2. y=f (
X
)=x bo’lsin
x
x
x
x
x
y
)
(
l ; y'=
x
y
x
lim
0
= 1
3. y=x
2
funksiyaning x=3 nuqtadagi hosilasini toping;
y
o
=9; y
o
+
y=(3+
x)
2
=9+6
x+(
x)
2
y’=
6
)
6
(
lim
0
)
6
(
lim
0
lim
0
x
x
x
x
x
x
x
y
x
4.y=f(x)=
x
,(x>0)
y’=
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y
x
2
1
1
lim
0
lim
0
lim
0
Hosilaning geometrik ma'nosi.
Funksiya hosilasi deb, funksiya grafigining
0
x
nuqtasida o’tkazilgan
urinmaning burchak koeffisiyentiga aytiladi:
)
(
'
0
x
f
tg
k
Agar M
o
(x
o
, y
o
) ya'ni M
o
(x
o
; f(x
o
)) nuqtaga o’tkazilgan urinma tenglamasini
y=kx+b ko’rinishda olsak, urinma shu M
0
(x
0
, f(x
o
)) nuqtadan o’tgani uchun
f(x
0
)=kx
0
+b
b=f(x
0
)-kx
0
.
Bu holda
y=kx+b
y=kx+f(x
o
)-kx
0
y=f(x
o
)+k(x-x
o
)
y=f(x
o
)+f’(x
o
)(x-x
o
) -urinma
tenglamasi.
Misol. y=
x
1
giperbolaning x=x
o
=l ya'ni (1;1) nuqtasiga o’tkazilgan
urinma tenglamasini tuzing.
y(x
o
)=f(l)=l; f '(x)=-
2
1
x
; f'(l)=-l
y=l-l(x-l) => y=2-x.
Hosilaning mexanik ma’nosi.
Hosilaning mexanik ma'nosi harakatlanayotgan moddiy nuqtaning ma’lum
momentdagi oniy tezligini ifodaydi.
Teskari funksiyaning hosilasi.
Teskari funksiyaning mavjudligi haqidagi teoremani isbotsiz keltirib o’taylik.
1-teorema. Agar y=f(x) funksiya [a,b] kesmada aniqlangan va uzluksiz bo’lib, shu
kesmada o’suvchi (kamayuvchi) bo’lsa, bu funksiyaga teskari bo’lgan x=φ(y)
funksiya mavjud bo’ladi. y=f(x) ga teskari bo’lgan funksiyani topish uchun
tenglamani x ga nisbatan yechish kerak.
2-teorema. Agar y=f(x) funksiya x nuqtada chekli f '(x) ≠0 hosilaga ega bo’lsa,
u holda bu funksiyaga teskari bo’lgan x= φ (y) funksiya ham shu nuqtada
φ’(y)=
)
(
'
1
x
f
hosilaga ega bo’ladi.
Yig’indi, ko’paytma va bo’linmaning hosilasi.
Teorema. Agar u(x) va v(x) funksiyalar X
(a,b) nuqtada u'(x) va v'(x)
hosilalarga ega bo’lsa, u holda ularning algebraik yig’indisi, ko’paytmasi
vabo’linmasi shu x nuqtada hosilaga ega bo’lib, quyidagi formulalar bo’yicha
topiladi:
(u±v)'=u'±v';
(uv)'=u'v+uv'
v
u
’
=
)
0
)
(
(
'
'
2
x
v
v
uv
v
u
Asosiy elementar funksiyalarning hosilalari.
1. y=x
n
(x>0) darajali funksiyamng hosilasini topaylik. Funksiya hosilasining
ta'rifiga ko’ra
y=(x+
x)
n
-x
n
=x
n
1
1
[
n
x
x
,
;
1
1
1
1
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y
n
n
n
n
x
x
x
n
x
1
1
lim
0
= n ajoyib limitni e’tiborga olsak,
1
1
0
0
1
1
lim
lim
n
n
n
x
x
nx
x
x
x
x
x
x
y
1
)'
(
'
n
n
nx
x
y
.
2.y=a
x
(a>0 , a ≠ \ ) ko’rsatkichli funksiyaning hosiJasi.
);
1
(
x
a
x
a
x
a
x
x
a
y
x
x
a
x
a
x
y
)
1
(
,
na
x
x
a
x
1
1
lim
0
ajoyib limitga ko’ra
x
a
x
x
a
x
a
x
x
y
x
y
)
1
(
lim
0
lim
0
'
na
x
a
x
x
a
x
1
1
lim
0
Demak, y'=(a
x
)'=a
x
lna
3 . y= log
a
x (a>0, a≠ 1) logarifmik funksiyaning hosilasi ham
y'=(log
a
x)'=
x
1
log
a
e formula bilan topiladi.
Agar log
a
e=
e
n
1
1
; log
e
a=lna ; log
e
x=lnx ; log
x
e=
x
n
1
1
. ekanligini
e’tiborga olsak y'=(log
a
x)'=
na
x1
1
kelib chiqadi.
Agar a=e desak lna=lne=l bo’lib, y=lnx ; y'=(1nx)'=
x
1
bo’ladi.
4. y=sinx funksiyaning hosilasini topish uchun x ga
x
orttirma bersak
y
ham
y
orttirma olib
y
=sin(x+
x)-sinx=2sin
2
x
cos
,
2
2
x
x
.
cos
2
2
cos
2
sin
lim
0
lim
0
'
x
x
x
x
x
x
x
y
x
y
x
x
y
cos
)'
(sin
'
xuddi shuningdek o’rta maktab dasturidan bizga ma'lum bo’lgan boshqa
trigonometrik funksiyalarning hosilalarini hisoblash mumkin:
x
ctgx
x
tgx
x
x
2
sin
1
'
)
(
;
2
cos
1
'
)
(
;
sin
)'
(cos
5. Endi y=arcsinx teskari trigonometrik funksiyaning hosilasini hisoblashni
ko’raylik.
y=arcsinx funksiya x=siny funksiyaga teskari funksiya bo’lgani uchun,
teskari funksiyalarning hosilalariga ko’ra
2
2
2
1
1
1
1
'
( a r c s i n
) '
( s i n
) '
c o s
1
s i n
1
1
( a r c s i n
) '
,
(
1
1) .
1
y
x
y
y
y
x
x
x
x
=
=
=
=
=
-
-
=
-
<
<
-
Xuddi shuningdek (arccosx) '
.
2
1
1
'
)
(
;
2
1
1
'
)
(
;
2
1
1
x
arcctgx
x
arctgx
x
6.
y=lnx
bo’lsa,
y'
;
1
'
.
1
x
x
x
Agar
y=lnu
bo’lib
u=f(x)
bo’lsa,
;
)
(
)'
(
'
'
)
1
(
'
x
f
x
f
u
u
nu
y
Agar y=u
v(x)
(x) bo’lsa, lny=vlnu - bundan hosila olsak,
.
'
1
'
'
,
'
1
'
'
u
u
v
nu
v
u
y
u
u
v
nu
v
y
y
v
Misollar yechish namunasi:
1.
?
'
4
cos
5
4
3
2
y
x
x
x
y
x
x
x
x
x
x
y
sin
5
2
6
)
sin
(
5
2
1
4
2
3
'
1
2
1
1
2
2.
?
'
sin
3
2
y
x
x
y
)
cos
sin
2
(
3
cos
3
sin
6
'
2
x
x
x
x
x
x
x
x
y
3.
?
'
cos
2
y
x
x
y
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y
2
2
2
cos
)
sin
cos
2
(
cos
)
sin
(
cos
2
'
Adabiyotlar
17. Соатов Ё. У. Олий математика икки жилдлик Тошкент “Ўқитувчи”,
1992й
18. Курош А. Г. Олий алгебра курси Тошкент “Ўқитувчи”, 1976й
19. Демидович Б. П., Кудрявцев В.А. Краткий курс высшей математики:
Учеб. пособие для вузов. М.: Астрель,2003.656с.
20. Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа. В 2 т. 7-е изд. М.:
Физматлит, 2002. Т. 1: 416 с; Т. 2: 440 с.
21. Н.Л.Лобацкая «Основы высшей математики» Москва 1978, 1987 год
22. Н.С.Пискунов «Деффиренциал ва интеграл хисоб» I –том. Тошкент
1972 йил.
23. Сборник задач по математики для под ред. А.В.Ефимова. Москва 1984
год.
24. П.Е.Данко и др. «Высшая математика в упражнениях и задачах» 1,2-
Do'stlaringiz bilan baham: |