Toshkent davlat pedagogika universiteti mustaqil ish

8-misol. lim sinx  0 isbotlansin.
x0
Yechish. Radiusi 1 ga teng aylanani qaraymiz. 87-chizmadan: x>0 bo’lsa ^АС  sin x; АС=sinx, А_В^=х
ОА

(markaziy burchak o’zi tiralgan yoy bilan o’lchanadi), AC< АВ yoki sinx<x ekani ayon bo’ladi. x<0 bo’lganda |sinx|<|x| bo’lishi ravshan.
Shunday qilib x>0 uchun 0x<x va x<0
87-chizma.
uchun 0<|sinx|<|x| tengsizliklarga ega bo’ldik. lim 0 lim x0 ekanligini hisobga olsak 17.6-
x0 x0
teoremaga binoan lim sinx  0 ekanligi kelib chiqadi.
x0
x
9-misol. lim sin  0 isbotlansin.
x0 2
Yechish. 0  sin  sin x ekani ravshan. lim 0 limsinx0 bo’lgani uchun 17.6-

x0 x0 x teoremaga binoan lim sin  0 yoki lim sin  0 kelib chiqadi.
x0x0 2
10-misol. lim соsx 1 ekanligi isbotlansin.
x0
Yechish. 2s i n^{2 х} 1с o sx yoki сos x 1 2sin^{2 х} ekanligini e‘tiborga olsak

2 2

lim сosx  lim ^_1 2sin^{2 х}_ =
x0 x0  2

1 2limsin^{2 х} 1 20² 1 hosil bo’ladi. x0 2

Birinchi ajoyib limit sin x funksiya faqat х=0 nuqtada aniqlanmagan, chunki bu nuqtada kasrning surati ham,
x
mahraji ham 0 ga aylanib uni o’zi ko’rinishga ega bo’ladi. Shu funksiyaning х0 dagi limitini topamiz. Bu limit birinchi ajoyib limit deb ataladi.
sin x
Teorema. funksiya х0 da 1 ga teng limitga ega. x

Isboti. Radiusi 1 ga teng aylana olib АОВ markaziy burchakni х bilan belgilaymiz va u ^0, ^_ intervalda yotadi deb faraz qilamiz (87-chizma). _
 2 
Chizmadan ko’rinib turibdiki,
 АОВ yuzi<АОВ sektor yuzi< DOB yuzi (17.2).
Biroq,  АОВ yuzi = ОАОВsin x  11sin x  sin x (uchburchakning yuzi ikki tomoni va
ular orasidagi burchak sinusi ko’paytmasining yarmiga teng).

АОВ sektor yuzi = 1 2 1 12  х  1 x, ОВ  АВ 
2 2 2

1. 
   1 BD 1 1
   

 DOB yuzi = ОВ ВD  ОВ  1tgx  tg x.

2. 
   2 1 2 2
   

S hu sababli (17.2) tengsizliklar sin xx tgx ko’rinishni yoki ga qisqartirilgandan so’ng
sin xx  ^tgx ko’rinishni oladi. Buning barcha hadlarini sinx>0 ga bo’lamiz ^0 x ^ ₂ ^_. U

holda 1_ ^х _ ¹ yoki 1_ ^{sin x} _ сos x sin x сos x x
tengsizliklarga ega bo’lamiz. Bu tengsizliklar x>0 deb faraz qilinib chiqarildi.
sin(x) sin x
 , сos(x)  сosx ekanligini e‘tiborga olib, bu tengsizliklar x<0 bo’lganda ham
(x) x
to’g’ri degan xulosaga kelamiz. Ammo lim1 1 va lim соsx 1.
x0 x0
sin x
Demak, funksiya shunday ikki funksiya orasidaki, ularning ikkalasi ham bir xil 1 ga x
teng limitga intiladi. Shuning uchun oraliq funksiyaning limiti haqidagi 16.6-teoremaga binoan sin x sin x sin x
oraliqdagi funksiya ham ana shu 1 limitga intiladi, ya‘ni lim =1. у  x x0 x x
funksiyaning grafigi 88-chizmada tasvirlangan.
sin x

11-misol. lim x0	=lim ^cos^x=lim =lim lim =1 1. x x0 x x0 x cos x x0 x x0 cos x 1
12-misol. lim x0	sinmx sinmx sinmx =lim m =mlim =m1=m (m-o’zgarmas son). x x0 mx x0 mx

tg x sin x 1 sin x 1 1
sinx sinx
lim
13-misol. lim sinx =lim x = x0 x =.
x0 sin x x0 sin^x lim sinx 
x x0 x

88-chizma.